デ・フィネッティの定理

デ・フィネッティの定理（）またはデ・フィネッティの表現定理（）とは確率論における定理であり、ある潜在変数に対し認識論的な確率分布が与えられたという条件の下で、な観測値は条件付き独立であるということを述べる。定理の名前は発見者の一人であるブルーノ・デ・フィネッティに因む。

交換可能なベルヌーイ変数の列の特別な場合として、独立同分布 (i.i.d.) なベルヌーイ列の「混合」した列がある。交換可能な列の個々の確率変数はそれら自身では i.i.d. ではなく、交換可能なだけだが、その根底には i.i.d. な確率変数の族が存在する。

したがって、列が交換可能であるために観測値が i.i.d. である必要はないが、その背景には一般には観測可能でない i.i.d. である量が存在する。交換可能な列は i.i.d. な列の混合であり、それは必ずしも i.i.d. ではない。

背景ベイズ主義の統計学者はしばしば与えられたデータを条件とした確率変数の条件付き確率分布を求める。確率変数のはデ・フィネッティによって導入された。デ・フィネッティの定理は独立性と交換可能性の間の数学的関係を説明する参考: Steffen Lauritzen によるオックスフォード大の講義ノート (pdf)。。

確率変数の無限列

が交換可能であるとは、任意の順序に置換した2つの有限の確率変数列がいずれも同じ結合分布に従うことをいう。つまり、を任意の有限な基数とし、同士で互いに異なる有限列および同士で互いに異なるを用意したとき、2つの確率変数の列

が同一の結合分布に従う場合、確率変数は交換可能である。

同分布な列が独立であるならば、その列は交換可能である。しかしながら、その逆は成り立たない。交換可能だが独立でない確率変数の例としてポリアの壺モデルが挙げられる。

定式化確率変数はベルヌーイ分布に従い、その確率分布は実数を用いて , と表すことができる。

デ・フィネッティの定理は次のことを述べる：な任意のベルヌーイ変数の無限列に対する確率分布は独立同分布 (i.i.d.) なベルヌーイ変数の列の分布の混合分布であることを示す。混合とはこの場合、加重平均であることを意味する。ただし、有限であったり可算無限である（つまり離散的である）必要はなく、この加重平均は一般に積分として与えられる。

より正確には、次のように述べることができる。をベルヌーイ分布に従う確率変数の交換可能な無限列であるとする。また、区間上の確率分布とに従う確率変数があるとする。ベルヌーイ列の全体の、与えられたの下での条件付き確率分布は次のような性質を持つ。は与えられたの下でであり、任意のについて、与えられたの下でのの条件付き確率はに等しい。

他の定式化をベルヌーイ変数の交換可能な無限列とする。このときベルヌーイ列は与えられた交換可能な（つまり、に関して可測であり、添え字の有限の置換に対して不変な事象の）完全加法族の下で条件付き独立同分布である。

拡張デ・フィネッティの定理の有限な列への拡張が Diaconis と Freedman らおよび Kerns と Szekely らによって、マルコフ連鎖への拡張が同じく Diaconis と Freedman によって与えられた。

配列の部分交換性に関する2つの概念、分割交換可能性と結合交換可能性から、配列に対するデ・フィネッティの定理の拡張が Aldous と Hoover らによって与えられている。

デ・フィネッティの定理

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