線型リー環（せんけいリーかん、）とは、ベクトル空間 の自己準同型全体からなるリー環
の部分リー環をいう。
線型リー環は、あるリー環の表現
の像として得られるリー環とみなすこともできる。実際、表現の像
は の部分リー環であり、逆に の部分リー環は包含写像によって表現の像とみなせる。
有限次元のリー環については、標数 0 の体上ではアドの定理により忠実な有限次元表現が存在する。したがって、そのようなリー環は有限次元ベクトル空間上の線型リー環として実現できる。
初歩的な例としては、自己準同型全体のなすリー環 自身、跡が 0 である自己準同型全体からなる特殊線型リー環 、および、ある基底に関して上三角行列で表される自己準同型全体のなすリー環などがある。これらはいずれも の部分リー環である。
脚注
参考文献 Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4 佐藤肇『リー代数入門―線形代数の続編として』裳華房、2000年。ISBN 978-4-7853-1523-8 小林俊行・大島利雄『リー群と表現論』岩波書店、2005年。ISBN 978-4-00-006142-1 日本数学会 編『岩波 数学辞典 第4版』岩波書店、2007年。ISBN 978-4-00-080309-0