等方二次形式

数学における等方二次形式（とうほうにじけいしき、）は、ヌルベクトル（それに代入して零になるような非零ベクトル）を持つような二次形式を言う。等方的でない二次形式は非等方的 (anisotropic) と言う。

定義具体的に、を体上のベクトル空間で定義された二次形式とする。非零ベクトルが（に関して）等方的あるいは等方ベクトルであるとは、なるときに言う（零ベクトルも自明な等方ベクトルと見なすこともある）。二次形式が等方的なるための必要十分条件は、に関する等方ベクトルが少なくとも一つ存在することである。

二次空間とその部分線型空間に対して、がの等方部分空間 (isotropic subspace) とはに属するあるベクトルが（に関して）等方的となるときに言い、完全等方部分空間 (totally isotropic subspace) とはに属する任意のベクトルが等方的となるときに言う。また、非等方部分空間 (anisotropic subspace) は（非零な）等方ベクトルをまったく含まないときに言う。二次空間の () は、その完全等方部分群の次元の最大値である。

有限次元実ベクトル空間上の二次形式が非等方的となるための必要十分条件は、が定符号二次形式、つまり正定値性: , 負定値性: の何れかを満たすことである。より一般に、二次形式が非退化かつ符号数を持つならば、その等方性指数はに等しい。

双曲型平面注双曲幾何学における平面と混同してはならない。 -平面の任意の動点をとすれば、二次形式とは同値である（すなわち、上の線型変換でをに、またをに写すものがそれぞれ存在する）。然るにおよびはともに等方二次空間であり、これらを双曲型平面あるいは双曲平面 (hyperbolic plane) と呼ぶ。よく知られる実例として、（実数直線）において、部分空間およびは双曲線である。特にはと言う。が双曲型平面に対して用いた記法は二変数多項式の各項の符号を示すものであった。

分解型二次空間二次空間が分解型 (split) または metabolic であるとは、その部分空間での（に関する）直交補空間が自身 ( i.e. ) となるものが存在するときに言う。これはの等方性指数が次元の半分に等しいと言っても同じことである。双曲型平面は分解型二次空間の一つの例であり、またの任意の体上で分解型二次空間は双曲型平面の直和に分解される。

二次形式の分類に関して二次形式の分類の観点からは、非等方空間は任意の次元の二次空間を作るための基本構成要素である。一般の体に対して非等方二次形式を分類することは自明な問題ではない。対照的に、等方二次形式はより扱いが簡単であるのが普通である。によれば、与えられた体上の任意の内積空間は一つの分解型空間と一つの非等方空間との直交直和に分解できる。

いくつかの体における結果が代数閉体（例えば複素数体）ならば、その上の次元が以上の二次空間は等方的である。が有限体のとき、二次空間の次元が以上ならば、それは等方的である。が -進数体で二次空間が次元以上ならば等方的である。

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