自由代数

数学、とくに環論という抽象代数学の分野において、自由代数（じゆうだいすう、）は多項式環の非可換類似である、なぜならばその元は可換でない変数の「多項式」として書けるからである。同様に、多項式環は自由可換代数 (free commutative algebra) と見ることができる（多項式環#多項式環の普遍性参照）。

定義可換環に対し、不定元上の自由（結合的単位的）代数とは、アルファベット上のすべての語（空な語を含み、これは自由代数の単位元である）からなる基底を持つ自由加群である。この加群は積を以下のように定義して代数となる：2つの基底元の積は対応する語の結合

であり、2つの任意の元の積は、これらの積から一意的に決定される（なぜならば代数における積は双線型でなければならないからである）。この代数はと書かれる。この構成は不定元の任意の集合に容易に一般化できる。つまり、任意の集合に対して、上の自由（結合的単位的-代数は

に語の積が結合となる -双線型な積が入ったものである、ただしは上の自由モノイド（すなわちアルファベット上の語すべてからなるモノイド）を表し、は外部直和を表し、は1元、語上の自由加群を表す。

例えば、において、スカラーに対して、2元の積の具体例はである。

自由 -代数は自由モノイドの上のモノイド環と同一視できる。

多項式との対照アルファベット上の語全体はの基底をなすから、の任意の元が次の形に一意的に書けることは明らかである：

ただしはの元で、これらの元のうち有限個を除くすべては 0 である。これはなぜの元が「変数」（あるいは「不定元」の「非可換多項式」としばしば呼ばれるのかを説明する；元はこれらの多項式の「係数」と呼ばれ、代数は「上の不定元の非可換多項式環」と呼ばれる。本当の多項式環とは異なり、変数たちは可換ではないことに注意。例えばはと等しくない。

より一般に、任意の生成元の集合上の自由代数を構成することができる。環は代数と見なすことができるから、上の自由環 (free ring) は自由代数として定義できる。

体上では不定元の自由代数は次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できる。より一般の係数環に対しては、生成元の自由加群を取ることで同じ構成ができる。

上の自由代数の構成は本来関手的であり、適切な普遍性を満たす。自由代数関手は代数の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴である。

可除環上の自由代数はである。

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