リー群論，リー環論，およびそれらの表現論において，リー環の拡大 (Lie algebra extension) とは，与えられたリー環 を別のリー環 によって「拡大」することである．拡大はいろいろな方法で生じる．2つのリー環の直和を取ることによって得られる自明な拡大 (trivial extension) がある．別の種類の拡大は分裂拡大 (split extension) や中心拡大 (central extension) である．拡大は，例えばからリー環を作るときに，自然に生じる．そのようなリー環は中心電荷を持つ． ｗ 有限次元単純リー環上の多項式ループ代数から始めて，2つの拡大，中心拡大と微分による拡大を施すと，untwisted アファインカッツ・ムーディ代数に同型なリー環を得る．中心拡大したループ代数を用いて2次元時空のを構成できる．ヴィラソロ代数はヴィット代数の普遍中心拡大である．
中心拡大は物理学で必要とされる，なぜならば量子化された系の対称性を表す群は通常古典的な対称変換群の中心拡大であり，同様に量子系の対応する symmetry リー環は一般に古典的な symmetry algebra の中心拡大であるからである．カッツ・ムーディ代数は統一超弦理論の対称変換群であると予想されている The Beacon of Kac–Moody Symmetry for Physics. (free access)．中心拡大されたリー環は場の量子論，特に共形場理論，弦理論とM理論において，支配的な役割を果たす．
後半の大部分はリー環の拡大が実際有用である分野である数学と物理学双方での応用の背景資料に割かれている．かっこつきリンク，（背景資料），はそれが有益であろうところで提供される．
歴史 のため，理論は，したがってリー環の拡大の歴史は，群の拡大の理論と歴史と密接に関係している．群の拡大の系統的な研究はオーストリアの数学者 (Otto Schreier) によって1923年の彼の PhD 論文（後に出版）においてなされたオットー・シュライアー (1901– 1929) は群の拡大の理論の開拓者である．彼の豊富な研究論文とともにレクチャーノートは死後 Einführung in die analytische Geometrie und Algebra (Vol I 1931, Vol II 1935) の名で（により編集され）出版された．後に1951年に英語に Introduction to Modern Algebra and Matrix Theory において翻訳された．さらなる文献は を参照．．オットー・ヘルダー (Otto Hölder) によってシュライアーの論文のために出された問題は次のものであった：「2つの群 と が与えられたとき，群 であって と同型な正規部分群 を持ち剰余群 が と同型であるものをすべて求めよ．」
リー環の拡大は無限次元リー環に対して最も興味深く有用である．1967年ヴィクトル・カッツ (Victor Kac) と (Robert Moody) は独立に古典的なリー環の概念を一般化し，今ではカッツ・ムーディ代数と呼ばれる無限次元リー環の新しい理論を拓いた．それらは有限次元単純リー環を一般化し，しばしば拡大として具体的に構成できる．
記法と証明 以下では次のような記号の濫用が用いられる：指数写像 で引数が与えられたとき , 直積 の元 を （ は の単位元），リー環の直和でも同様（さらに と書かれる）．半直積と半直和についても同様．標準的単射（群とリー環両方）は暗黙の同一視のために用いられる．さらに．, , ..., が群であれば，, , ..., の元のデフォルトの名前は , , ..., であり，それらのリー環は , , ... である．, , ..., の元のデフォルトの名前は , , ... であり（群と同じ！），乏しいアルファベット資源を節約する意味もあるが，主に統一的な表記のためである．
拡大の材料となるリー環は，何も言わずに，同じ体上のものが取られる．
総和規約が使われ，上下両方の添え字に関わる場合もある．
警告：以下の証明や証明の概略のすべてが普遍的な有効性を持っているわけではない．主な理由はリー環がしばしば無限次元であるために，リー環に対応するリー群がないかもしれないからである．さらに，そのような群が存在したとしても，「通常の」性質を持っているとは限らず，例えば指数写像があるとは限らず，もしあっても「通常の」性質をすべては持たないかもしれない．そのような場合には，群を「リー群」と呼ぶべきかどうか疑わしい．文献は画一的でない．明示的な例にはたぶん，妥当な構造が適切な位置に書かれる．
定義 リー環の拡大は短完全列を用いて定式化される．短完全列とは，長さ3の完全列
であって， が単射で， が全射で， なるものである．完全列のこれらの性質から，（の像）が のイデアルであることが従う．さらに，
であるが， が の部分環に同型であるとは限らない．この構成は群の拡大という密接に関連した概念における類似の構成を反映している．
同じ体上のリー環に対して完全列 が成り立っているとき， は の による拡大であるという．
性質 定義性質は言い換えられる．リー環 が の による拡大であるとは，
が完全であることをいう．ここで両端の は（零ベクトル のみからなる）零リー環を表し，写像は明らかなものである，つまり， は を に写し， は のすべての元を に写す．この定義では， が単射で が全射であることは自動的に従う．
の による拡大は一意とは限らない． を2つの拡大とし，以下プライムは明らかな意味で用いる．このとき，リー環の同型 であって
なるものが存在するとき，拡大 と は同値な拡大であるといわれる．拡大の同値性は同値関係である．
拡大の種類
自明 リー環の拡大
が自明とは，部分空間 であって， かつ は のイデアルとなるものが存在することをいう．
分裂 リー環の拡大
が分裂とは，部分空間 であって，ベクトル空間として かつ， が の部分代数となるものが存在することをいう．
イデアルは部分代数だが，部分代数はイデアルとは限らない．したがって自明な拡大は分裂拡大である．
中心 リー環 の可換リー環 による中心拡大は， 上のいわゆる（非自明な）（背景）の助けを借りて得ることができる．非自明な 2-コサイクルはリー群の（背景）の文脈で現れる．このことは読み進めばそれとなく言及される．
リー環の拡大
が中心拡大とは， が の中心 に含まれることをいう．
性質 中心はすべてと可換だから，この場合 は可換である． の中心拡大 が与えられると， 上の 2-コサイクルを構成できる． を の による中心拡大とする． を から への線型写像であって という性質を持つもの，すなわち のセクションとする．このセクションを用いて を次で定義する：
写像 は
を満たす．これを見るには，左辺で の定義を用い，それから の線型性を用いる． 上のヤコビの恒等式を用い，6つの項のうち半分を取り除く．Use the definition of again on terms sitting inside three Lie brackets, bilinearity of Lie brackets, and the Jacobi identity on , and then finally use on the three remaining terms that and that so that brackets to zero with everything. It then follows that satisfies the corresponding relation, and if in addition is one-dimensional, then is a 2-cocycle on (via a trivial correspondence of with the underlying field).
中心拡大
が普遍とは，任意の他の中心拡大
に対して，準同型 , が存在して，図式
が可換になること，すなわち , となることをいう．
構成
直和により を同じ体 上のリー環とする．
と定義し， 上に加法を点ごとに定義する．スカラー乗法は
によって定義される．これらの定義により， は 上のベクトル空間である．リーブラケット
により， はリー環である．さらに
と定義する． が完全列として成り立つことは明らかである． の によるこの拡大は自明な拡大と呼ばれる．これはもちろん，リー環の直和に他ならない．定義の対称性により， は の による拡大でもあるが， である． から部分環 がイデアルであることは明らかである．リー環の直和のこの性質は自明な拡大の定義に昇格する．
半直和により 準同型 を用いた群の半直積（背景）の構成に触発されて，リー環の対応する構成を作ることができる．
がリー環の準同型であるとき， 上のリーブラケットを
で定義する．このリーブラケットにより得られるリー環は と書かれ， と の半直和と呼ばれる．
を検査して は の部分環であり は のイデアルであることが分かる． を によって， を によって定義する． は明らかである．したがって は の による拡大である．
自明な拡大と同様に，この性質は分裂拡大の定義に一般化する．
例 をローレンツ群 とし， を と同型な4次元の平行移動群とし，ポワンカレ群 の乗法規則を考える：
（ただし と は におけるそれらの像と同一視される）．ポワンカレ群において であることが直ちに従う．したがってすべてのローレンツ変換 は逆写像が の の自己同型 に対応し， は明らかに準同型である．さて
と定義し，乗法を で与える．定義を解きほぐすことで乗法が最初の乗法と同じであることが分かり， であることが従う． より なので より である．
導分により を の導分（背景）とし， で で張られる1次元リー環を表す． 上のリーブラケットを
によって定義するヤコビ恒等式が成り立つことを示すには，one writes everything out, uses the fact that the underlying Lie algebras have a Lie product satisfying the Jacobi identity, and that .．ブラケットの定義から が のイデアルで が の部分環であることは明らかである．さらに， は において に complementary である． を で与え， を で与える． は明らかである．したがって は の による分裂拡大である．そのような拡大は導分による拡大と呼ばれる．
2-コサイクルにより がリー環 上の 2-コサイクル（背景）で， が任意の1次元ベクトル空間であるとき，（線型直和）とし， 上のリーブラケットを
で定義する．ここで は の任意に1つ固定された元である．反対称性は 上のリーブラケットの反対称性と 2-コサイクルの反対称性から従う．ヤコビ律は と の対応する性質から従う．したがって はリー環である． とおき， が従う．また， と により が従う．したがって は の による中心拡大である．それは 2-コサイクルによる拡大と呼ばれる．
定理 以下に中心拡大と 2-コサイクルに関するいくつかの結果を述べる．
定理 と をリー環 上のコホモロガスな 2-コサイクルとし， と をそれぞれこれらの 2-コサイクルで構成される中心拡大とする．このとき中心拡大 と は同値な拡大である． 証明 定義により， である．
と定義する．定義から がリー環の同型であり が成り立つことが従う． 系 コホモロジー類 は同型を除いて一意的な の中心拡大を定義する．
自明な 2-コサイクルは自明な拡大を与え，2-コバウンダリは自明な 2-コサイクルとコホモロガスだから， 系 コバウンダリによって定義される中心拡大は自明な中心拡大に同値である．
定理 有限次元単純リー環の中心拡大は自明なものしかない． 証明 任意の中心拡大は 2-コサイクル から来るから，任意の 2-コサイクルがコバウンダリであることを示せばよい． を 上の 2-コサイクルとする．やるべきはこの 2-コサイクルを用いて なる 1-コチェイン を作り出すことである．
最初の段階は各 に対して を用いて線型写像 を定義することである．しかし線型写像は の元である．同型 を用いて を のことばで書けば十分である．次に，導分であると判明する線型写像 が定義される．すべての導分は内部だから，ある に対して である． と による の表示が得られた．したがって， が導分であることを信じて，次のようにおく：
を
で定義された 1-コチェインとする．すると
であり， はコバウンダリである．前の結果により，任意の中心拡大は自明である．
対称非退化結合形式 と 2-コサイクル が与えられると，導分 を
によって，あるいは の対称性と の反対称性を用いて
によって定義できるという観察は系を導く．
系 を非退化対称結合的双線型形式とし， を導分であって
を満たすものとすると，
によって定義される は 2-コサイクルである．
証明 についての条件は の反対称性を保証する．2-コサイクルのヤコビ律は，
からはじめて，形式の対称性とブラケットの反対称性と，再び のことばでの の定義を用いて，従う．
がリー群 のリー環で が の中心拡大であるとき，リー環が のリー群 が存在するかどうかを問うことができる．答えは，により，肯定的である．しかしリー環が の の"中心拡大" は存在するだろうか？ この問いへの答えはある機械が必要で， に見つけることができる．
応用 上述の定理の「否定的」な結果は，少なくとも半単純リー環に対しては，中心拡大の有用な応用を見つけるには無限次元リー環に行かなければならないことを示している．実際そのようなものはある．ここではアファイン・カッツ・ムーディ代数とヴィラソロ代数を紹介する．これらはそれぞれ多項式ループ代数とヴィット環の拡大である．
多項式ループ代数 を多項式ループ代数（背景）
とする，ただし は複素有限次元単純リー環である．目標はこの代数の中心拡大を見つけることである．定理の2つが適用する．1つには， 上の 2-コサイクルが存在すれば，中心拡大を定義できる．もう1つには，この 2-コサイクルが パート（のみ）に作用していれば，得られる拡大は自明である．さらに，（のみ）に作用する導分は 2-コサイクルの定義に使えない，なぜならばこれらの導分はすべて内部的であり同じ問題が起こるからである．したがって 上の導分を探す．導分の1つのそのような集合は
である．
上の非退化双線型結合反対称形式 を作るために，注意はまず， を固定して引数の制限に向けられる．要求を満たす“全て”の形式は 上のキリング形式 の倍数であることは定理である．これより
でなければならない， の対称性により
であり，結合性により
である． として が分かる．この最後の条件は前のを含んでいる．このことを用いて， と定義する．すると定義方程式は
となる．すべての に対して，定義
は実際対称結合双線型形式
を定義する．しかしこれらはすべての形式が正しい性質をもつベクトル空間の基底をなす．
手元の導分と条件
に戻り，定義を用いて次が分かる：
あるいは， として，
これ（と反対称性条件）は， ならば成り立つ，とくに のとき成り立つ．
したがって および と選ぶ．これらの選択により，系の前提が満たされる．
で定義される 2-コサイクル が の中心拡大
を定義するために最後に雇われ，そのリーブラケットは
である．基底元に対して，適切に正規化し反対称構造定数により次が成り立つ：
これは多項式ループ代数の普遍中心拡大である．
用語の注意：物理学の用語では，上の代数はカッツ・ムーディ代数で通用するかもしれないが，数学ではそうではない．そのためには追加の次元，導分による拡大が必要である．それにもかかわらず，物理への応用で， の固有値あるいはその代表が（通常の）量子数と解釈されると，生成元の追加の superscript はレベルと呼ばれる．それは追加の量子数である．固有値がちょうどレベルである追加の作用素はさらに以下で導入される．
カレント代数
多項式ループ代数の中心拡大の応用として，量子的場の理論のが考えられる（背景）．Suppose one has a current algebra, with the interesting commutator being
with a Schwinger term. To construct this algebra mathematically, let be the centrally extended polynomial loop algebra of the previous section with
as one of the commutation relations, or, with a switch of notation () with a factor of under the physics convention,
Define using elements of ,
One notes that
so that it is defined on a circle. Now compute the commutator,
For simplicity, switch coordinates so that and use the commutation relations,
Now employ the Poisson summation formula,
for in the interval and differentiate it to yield
and finally
or
since the delta functions arguments only ensure that the arguments of the left and right arguments of the commutator are equal (formally ).
By comparison with , this is a current algebra in two spacetime dimensions, including a Schwinger term, with the space dimension curled up into a circle. In the classical setting of quantum field theory, this is perhaps of little use, but with the advent of string theory where fields live on world sheets of strings, and spatial dimensions are curled up, there may be relevant applications.
カッツ・ムーディ代数
前の節で 2-コサイクル の構成において用いられた導分 は中心拡大された多項式ループ代数，カッツ・ムーディ代数を実現するためここでは と書く，上の導分 に拡張できる（背景）．単純に
とおく，次に，ベクトル空間として
と定義する． 上のリーブラケットは，導分との標準的な構成によれば，基底上次で与えられる：
便宜上，
と定義する．さらに，台有限次元単純リー環の基底は構造係数がすべての添え字で反対称となるようとられ基底は適切に正規化されていると仮定する．このとき定義より直ちに次の交換関係が分かる：
これらがちょうど untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数の簡略な記述である．要約するため，有限次元単純リー環からはじめる．係数がその有限次元単純リー環の形式ローラン多項式の空間を定義する．対称非退化交代双線型形式と導分の援助のうけ，2-コサイクルが定義され，続いて 2-コサイクルによる中心拡大の標準的な処方箋に用いられる．この新しい空間に導分を拡張し，導分による分裂拡大の標準的な処方箋を用い，untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数が得られる．
ヴィラソロ代数
目的は (Miguel Ángel Virasoro) は 1940 年生まれのアルゼンチンの物理学者．彼に因んで名づけられているヴィラソロ代数は，最初 で出版された．によるヴィラソロ代数をヴィット代数 （背景）の 2-コサイクル による中心拡大として構成することである．2-コサイクルのヤコビ律より次が成り立つ：
とし の反対称性を用いて
を得る．拡大において，元 に対する交換関係は
である．右辺の中心電荷を取り除くことが望ましい．このために
と定義する．そして， を 1-コチェインとして用いて，
であるので，前のと同値なこの 2-コサイクルにより，
が成り立つ同じ効果は の基底の変換によって得ることができる．．この新しい 2-コサイクルにより（プライムは外して）条件は
となり，したがって
である，ただし最後の条件はリーブラケットの反対称性による．これと （ の「平面」を切り出す）により は
となり，（ の「直線」を切り出す）として
となる．これは一般に
で解かれる差分方程式である．すると の元の拡大における交換子は
である． のとき基底を変換して（あるいは 2-コサイクルを 2-コバウンダリによって修正して）
とでき，中心電荷が全く現れず，したがって拡大は自明である．（これは のみがもともとの関係を得た前の修正の場合では（一般には）ない．） のとき基底の変換
により交換関係は
の形で， について線型な部分は自明である．それはまた が 1 次元である（ の選択に対応）ことも示している．慣習的な選択は と取り任意の対象 に任意の因子を吸収することによって自由性をなお保持する．するとヴィラソロ代数 は
であり，交換関係は
である．
ボゾン開弦
The relativistic classical open string (background) is subject to quantization. This roughly amounts to taking the position and the momentum of the string and promoting them to operators on the space of states of open strings. Since strings are extended objects, this results in a continuum of operators depending on the parameter . The following commutation relations are postulated in the Heisenberg picture.
All other commutators vanish.
Because of the continuum of operators, and because of the delta functions, it is desirable to express these relations instead in terms of the quantized versions of the Virasoro modes, the Virasoro operators. These are calculated to satisfy
They are interpreted as creation and annihilation operators acting on Hilbert space, increasing or decreasing the quantum of their respective modes. If the index is negative, the operator is a creation operator, otherwise it is an annihilation operator. (If it is zero, it is proportional to the total momentum operator.) In view of the fact that the light cone plus and minus modes were expressed in terms of the transverse Virasoro modes, one must consider the commutation relations between the Virasoro operators. These were classically defined (then modes) as
Since, in the quantized theory, the alphas are operators, the ordering of the factors matter. In view of the commutation relation between the mode operators, it will only matter for the operator (for which ). is chosen normal ordered,
where is a possible ordering constant. One obtains after a somewhat lengthy calculation the relations
If one would allow for above, then one has precisely the commutation relations of the Witt algebra. Instead one has
upon identification of the generic central term as times the identity operator, this is the Virasoro algebra, the universal central extension of the Witt algebra.
The operator enters the theory as the Hamiltonian, modulo an additive constant. Moreover, the Virasoro operators enter into the definition of the Lorentz generators of the theory. It is perhaps the most important algebra in string theory. The consistency of the Lorentz generators, by the way, fixes the spacetime dimensionality to 26. While this theory presented here (for relative simplicity of exposition) is unphysical, or at the very least incomplete (it has, for instance, no fermions) the Virasoro algebra arises in the same way in the more viable superstring theory and M-theory.
群の拡大