数学における算術幾何数列（さんじゅつきかすうれつ、; ）は、一次の漸化式を満足する数列で、算術数列および幾何数列をともに一般化する。
定義 ここでは任意の可換体 をひとつ固定する（例えば実数体 や複素数体 ）。 に値をとる数列 が算術幾何数列であるとは、 の適当な元 が存在して、その数列が以下の漸化式 を満足するときに言う。Суконник Я. Н. Арифметико-геометрическая прогрессия // Квант. — 1975. — № 1. — С. 36—39.
注意 途中の番号から始まる列 は、 と置くことにより、常に なる形に書き直せるJ'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.。そのような列 が において上記の漸化式を満たすことと、 が算術幾何的であることとは同値になる。
性質 算術幾何数列は二階線型回帰数列で、斉次線型漸化式 の解として与えられる。 算術幾何数列の「公差」 は以下の式で与えられる: 算術幾何数列の階差数列 は、公比 の幾何数列である。 算術幾何数列の部分和の列 は三階の線型回帰数列で を満足する。 部分和の列が算術幾何数列を成すような数列は、それ自身が幾何数列を成す。
一般項 の場合 のとき、漸化式は、
となり、これは算術数列の漸化式であるから、一般項は
となる。 の場合 と置けば、一般項は で与えられる（ のときは と約束する）。
定義節の注意に従えば、より一般に: と書ける。
部分和 で、常に と書くことにすれば、最初の 項（第 -項から第 (-項まで）の和はで与えられる。
これを用いて、連続する項の和も計算できる。上と同じ仮定の下 として となる。
収束性 一般項および幾何数列の収束条件から、算術幾何数列の極限も の値（必要ならば の符号も）によって決定することができる（ のとき と置いたことに注意）。
のときは、数列の極限は初期値が何であろうと である。つまり、この場合の収束性は、完全に初期条件に無関係である。このような特徴は（ロジスティック列のような）非線型漸化式が極めて初期条件に鋭敏であることと対照である。マルコフ鎖において、これは鎖が安定鎖に収束することを示す。
応用 算術幾何数列は、ある種の人口変動（変動率が一定）のモデリングとして現れる。例えば、常に の流入と の流出があることを と書ける。
算術幾何数列はにも現れる。資本 C を月率 t で借りて月額 M で分割払いする返済計画を考えると、 か月後に残った借金 の成す数列 は漸化式 を満たし、算術幾何数列を成す。
算術幾何数列は二状態マルコフ鎖にも現れる。 を とすると、関係式 から が得られ、一方 であったから、代入して を得る。
注 注釈
出典
関連項目
算術数列 幾何数列