数学におけるレイリーの定理とは、1より大きい無理数が、床関数によって自然数全体を互いに素な2つの集合に分ける方法を与える定理である。
1894年に言及した物理学者レイリー卿に由来する。
得られた集合の元を小さい順に並べたものをビーティ数列と呼ぶため、ビーティの定理と呼ばれることもある。
概要 1 より大きい実数 に対して、 (R1) が無理数で、 ならば、 (R2) 床関数による表示の数列 , の項全体は、重複がなく自然数全体を取る。 （注1）集合の元に重複がないだけでなく、数列の項に重複がない。 （注2） ならば である。 この定理は逆も成り立つWythoff の石取りゲーム 数学パズル・ゲームの広場佐藤文広（立教大学理学部）数理で読み解く石取りゲーム 連載◎第 12 回補足（2010年3月号）。
例 は 1 より大きい無理数である。このとき、 より となる。このとき、数列 の項を順に並べると、次の表のようになる。 + による自然数の分割1234567891011121314151617181920…124578911121415161819212224252628…36101317202327303437404447515458616468…
証明 とする。(R1) と (R2) は同値となるが、それを証明するために、まず必要性・十分性のどちらの議論にも必要なことを述べておく。
を任意の自然数とする。 …① を満たす自然数 が 個、 …② を満たす自然数 が 個 であるとする。
①より
…③ 同様に …④ ③ + ④ より …⑤
（(R1) ⇒ (R2) の証明）
は無理数より、③, ④の等号は成り立たない。故に⑤, より
は整数より , ∴ 。
の任意性より、を1から順番に考えていけば、数列 の項全体は、自然数全体を重複なく取るとわかる。
（(R2) ⇒ (R1) の証明）
(R2) より …⑥
⑤, ⑥より
とすると、はさみうちの原理より …⑦ または は有理数と仮定する。このとき⑦より も も有理数である。
（～ は自然数）とおくと、 となり項が重複しないことに矛盾。
故に は無理数である。■
出典・脚注
関連項目 ビーティ数列 ワイソフのゲーム（必勝形がレイリーの定理より求められる）
外部リンク