数学における多重複素数（たじゅうふくそすう、） は、 が導入した、各自然数（ を含む） に対して定義される超複素数系の系列で、それぞれは 上 -次元の可換結合多元環を成す。
定義 再帰的 多重複素数環 は、初期値 から再帰的に構成することができる。
のとき、 がすでに得られているものとして、新たな虚数単位 を および他の虚数単位 と可換なるものとして導入し、 と置く。
直截的 に対し、 および は の任意の数と可換、また （特に ）とする。
関係式 は代数のテンソル積を用いて と書き直せる。さらに言えば、条件 から であり、 と書いてもよい。 はテンソル積 の単位元であって、空積を対応付けることができる。まとめると
代数的性質 各階 において成分数は倍化し、 が 上一次元であるから、 は 上の次元が である。 各 はバナッハ代数を成す。 に対し、可換環 は零因子を持つ: なんとなれば 二つの自然数が のとき、 かつ だが を満たす; 二つの自然数が のとき、 かつ だが を満たす。
部分環 に対し、 は何れも の部分環である。 に対し、 は 上 -次元である。 に対し、各虚数単位 は を満足するから、 は複素数平面の 個のコピーを含む。 および に対し、数 は を満たすから、 は 個の分解型複素数平面を含む。
系列の最初のほうの代数 小さい に対してはよく知られた代数も含まれる: は実数体; は複素数体; は双複素数環; を三重複素数環 (tricomplex numbers) と呼ぶ。以降も同様。
関連項目 参考文献