In lenguistega, i numer intreg naturai zer, vun, duu, tri, e via insì, i se ciama dei ajetiv numerai cardinai.
In matematega, un numer cardinal a l'è una estension de qesta nozion per cuntar i insema, là compres i insema infinids.
Definizion
Cas dei insema finids
Per un insema finid, ol so cardinal a l'è ol so numer d'elements (zer, pe'l insema vœi) :
Voilà d'oltr esempi, relativ a le fonzion e relazion.
I sies E e F duu insema finids, E de cardinal p e F de cardinal n. Allora :
Le corespondenze de E in F i forma un insema, notad abitualament « Cor( E, F ) ». Ol numer de qeste corespondenze a l'è :
le fonzion de E in F i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Fnt( E, F) ». Ol numer de qeste fonzion a l'è :
le aplicazion de E in F i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Apl( E, F) ». Ol numer de qeste aplicazion a l’è :
Qesta propietaa la spiega perqè Apl( E, F ) a l'è notad plu de spess « ».
le injezion (matematega) de E in F i forma un subinsema del precedent, notad abitualament « Ing( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE > cardF. Se cardE = cardF , ol numer de qeste injezion a l’è :
le surjezion de E in F i forma un subinsema del insema de le aplicazion, notad abitualament « Surj ( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE < cardF. Se cardE = cardF finid, ol numer de qeste surjezion a l’è :
le bijezion de E in F i forma un subinsema dei duu insema precedents, notad abitualament « Big( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE ≠ cardF. Se cardE = cardF = n, ol numer de qeste bijezion a l’è : .
Cas dei insema infinids Se dix qe duu insema infinids i g'ha i stess cardinai se la esist una bijezion de vun su l'oltr. Se dix anc'pó qe i è equipotents. Se mostra qe l'esist nissuna bijezion intra un insema e l'insema de le soe part e donca qe esist diferente taie de insema infinids. Qists infinids diferents i è representads dei numer cardinai transfinids : ol cardinal d'un insema E a l'è allora definid come ol plu picin numer ordinal equipotent a E. De manera plu formala, se al definiss un cardinal come un ordinal qe l'è equipotent a nissun dei sœ elements.
Ind la teoria assiomatega dei insema de Zermelo-Fraenkel (ZF), l'esistenza d'un ordinal equipotent a un insema qualsavœl a l'è miga segurada. In qests cas, a l'è judexios se limitad ai insema per i quai un tal ordinal al esist. Per contra, se se jonta l'assioma de la cernida a ZF, qe la da la teoria ZFS, se pœ mostrar qe cada insema a l'è equipotent a un cardinal.
I cardinai infinids i è representads per mez de la letera ebraega alef . Ol cardinal infinid plu picin a l'è . A l'è ol cardinal de l'insema dei intreg naturai. Ol cardinal imediatament superior a l'è , etc... D'una manera jenerala, un cardinal qualsevœl le se scriv indove a l'è un ordinal.
Se al esist una injezion d'un insema ind un insema , se scriv. Se l'esist una injezion de in però miga de bijezion, se scriv.
Esempi :
indove se nota ol cadinal de l'insema dei fonzion de in , equipotent a . Qest cardinal a l'è igual a qell de , notad de l’istessa manera , dei cardinai del continov.
De tuta manera, e qest qí al someia miga intuitiv a tuta prima : (cf. insema cuntabel)
Ol cardinal de l'insema dei fonzion continove de in a l'è igual a , cardinal de .
Ol cardinal de l'insema dei fonzion de a l'è .
Propietaa
. Se a l'è infinid e se al designa l'insema de le part finide de , allora
se i insema i è finids,
se a l'è infinid e miga vœi, allora
se a l'è contegnud in infinid e se, allora
se a l'è infinid e se, allora indove al designa l'insema dei fonzion de in
se a l’è una fonzion de in , allora
se a l'è infinid, allora
I cardinai inacessibei In qest paragraf, se considera la possibilitaa de rivar a un ordinal o a un cardinal dait a partir de ordinai plu picinits. Se dix qe un ordinal a l'è cofinal cont un ordinal inferior a se al esist una aplicazion streintament cressenta de in tal qe al sies ol limit de a'l teorema qe vegn :
Per esempi, a l'è cofinal cont nissun ordinal plu picin, jà qe un ordinal inferior a a l'è un intreg e qe una aplicazion streintament cressenta definida su a l'è limitada. Se dix qe a l'è regolar.
Per contra, a l'è cofinal cont pe'l mez de l'aplicazion . Se dix qe a l'è singolar.
Se se nota ol plu picin ordinal cont qe l'è cofinal, se g'ha e .
Se pœ classar allora i cardinai come quei qe vegn : I cardinai de la forma , indexizad per un ordinal sucessor d'un ordinal . I cardinai de la forma , indexizad per un ordinal limit, e qe i è singolar. Qists duu jener de cardinai i è qualifegads d'acessíbel, perqè concepibei a partir de cardinai plu picits qe miga lor. I cardinai de la forma , indexizad per un ordinal limit, e qe i è regolar. Qest jener de cardinal a l'è qualifegad de flebilment inacessibel perqè i pœ miga vesser concepids a partir de cardinai plu picits. Intra qists daree, i se disting i cardinai fortament inacessibei q’i verifega de plu . L'esistenza de qei cardinai qì la se pœ dedur dei assioma de la teoria dei insema ZFS.
L'ipotesi del continov A hem enonziad qe . Adess a l'è ol plu picin cardinal streintament superior a . Se g'ha donca e l'ipotesi del contínov la pon la quistion de saver se . Se mostra qe qesta propietaa a l’è indecidibel in ZFS. Plu jeneralment, l'ipotesi jeneralizada del continov l'enonzia qe, per cada ordinal , se g'ha .
Se se met come assioma l'ipotesi jeneralizada del continov allora : l'assioma de la cernida a l'è demostrabel. A g’è equivalenza intra i nozion de cardinai flebilment inacessibei e fortament inacessibei.
Notèm l'insema dei fonzion de in . Allora : si si si
Vardé anc'pó Àljebra jenerala Corespondenza e relazion Numer ordinal Teoria assiomatega dei insema Teorema de Cantor
Categoria:Teuria dei ensèm Categoria:Numer