Во физичките науки и математиката, Лежандровите функции , ; придружените Лежандрови функции , и Лежандровите функции од втор вид, , се решенија на Лежандровата диференцијална равенка. Лежандровите полиноми и придружените Лежандрови полиноми се исто така решенија на диференцијалната равенка во посебни случаи, кои, бидејќи се полиноми, имаат голем број дополнителни својства, математичка структура и примени. мини|500x500пкс|Поврзани криви на Лежандров полином за .
Лежандровата диференцијална равенка Општата равенка на Лежандр е дадена со:
каде и може да бидат комплексни, и се нарекуваат степен и ред на дадената функција, соодветно. Решенијата на полиномите кога е цел број (означено ) и се Лежандровите полиноми . Во случај кога е цел број (означено со ) и е исто така цел број со се придружените Лежандрови полиноми. Сите други случаи на и може да се дискутираат како еден, а решенијата се запишуваат како , . Доколку , горниот индекс се изоставува и се пишува само , . Сепак, решението кога е цел број често се дискутира одделно како Лежандрова функција од втор вид и се означува со .
Станува збор за линеарна равенка од втор ред со три правилни сингуларни точки (на , и ). Како и сите останати равенки од овој вид, и оваа може да се трансформира во хипергеометриска диференцијална равенка со промена на променливата, а нејзините решенија може да се изразат со употреба на хипергеометриски функции.
Решенија на диференцијалната равенка Затоа што диференцијалната равенка е линеарна, хомогена (десната страна е еднаква на нула) и од втор ред, таа има две линеарно независни решенија. Овие решенија може да се изразат преку хипергеометриската функција . Првото решение е дадено со:ж
а втората е
каде е гама функцијата. алт=Plot of the Legendre function of the second kind Q n(x) with n=0.5 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|мини|График на Лежандровата функција од втор вид Q n(x) со n=0.5 во комплексната рамнина од -2-2i до 2+2i со бои креирани со функцијата Mathematica 13.1 ComplexPlot3D Горенаведените функции се општо познати како Лежандрови функции од прв и втор вид на нецел број, со дополнителен квалификатор „поврзан“ ако е различен од нула. Корисна релација помеѓу решенијата на и е Випловата формула.
Лежандрови функции од втор вид ( ) мини|384x384пкс|График на првите пет Лежандрови функции од втор вид. Неполиномното решение за специјалниот случај на целоброен степен и , честопати се разгледува одделно од останатите. Ваквото решение е дадено е со:
Ова решение е сингуларно кога .
Споменатите Лежандрови функции од втор вид е можно да се дефинираат и рекурзивно преку Бонеовата рекурзивна формула, односно:
Придружни Лежандрови функции од втор вид Неполиномното решение за специјалниот случај на целоброен степен и е дадено со следниот израз:
Интегрални претставувања Лежандровите функции можат да се напишат како контурни интеграли, односно:
каде контурата се затвора околу точките и во позитивна насока и не се затвора околу точката . За реални , се добива:
Категорија:Математички фунции