Во теоријата на множества и други гранки на математиката, дефинирани се два вида на комплементи: релативен комплемент и апсолутен комплемент.
Релативен комплемент Ако A и B се множества, тогаш релативниот комплемент на A во B, познат и како разлика на множества меѓу B и A, е множеството чии елементи припаѓаат на B, но не припаѓаат на A. 250px|center|B minus AРелативниот комплементна A во B
Релативниот комплемент на A во B обично се пишува B − A (исто така и B \ A).
Формално:
Примери: {1,2,3} − {2,3,4} = {1} {2,3,4} − {1,2,3} = {4} Ако е е множеството на реални броеви и е множеството на рационални броеви, тогаш е множеството на ирационални броеви.
Следните изрази ги покажуваат некои важни особини на релативните комплементи во однос на операциите унија и пресек од теорија на множества.
PROPOSITION 1: Ако A, B, и C се множества, тогаш важат следните идентитети: C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B) C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B) C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B) (B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A) (B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C) A − A = Ø Ø − A = Ø A − Ø = A
Апсолутен комплемент 250px|center|A complementКомплементот на A во U Ако е дефинирано универзално множество U, тогаш релативниот комплемент на A во U се нарекува апсолутен комплемент (или едноставно комплемент) на A, и се означува со AC, што значи:
AC = U − A
На пример, ако универзалното множество е множеството на природни броеви, тогаш комплементот на множеството непарни броеви е множеството парни броеви.
Следниот израз ги покажува некои важни особини на апсолутните комплементи во однос на операциите унија и пресек од теорија на множества.
Ако A и B се подможества на универзално множество U, тогаш важат следните идентитети: Де Морганови закони: (A ∪ B)C = AC ∩ BC (A ∩ B)C = AC ∪ BC Закони за комплемент: A ∪ AC = U A ∩ AC = Ø ØC = U UC = Ø Ако A⊆B, тогаш BC⊆AC Инволуција или закон за двоен комплемент: ACC = A. Релации помеѓу релативен и апсолутен комплемент: A − B = A ∩ BC (A − B)C = AC ∪ B
Првите два горенаведени закони за комплемент покажуваат дека ако A е непразно подмножество на U, тогаш {A, AC} е партиција на U.
Категорија:Математика