Двоичен броен систем (бинарен броен систем) — броен систем што изразува бројчени вредности користејќи два симболи: 0 и 1, обично по пат на положбен запис (нотација) со основа 2. Овој систем е од суштинско значење кај сите современи сметачи, заради неговата примена во секое дигитално струјно коло со логички порти.

Историски, за творец на двоичниот броен систем се смета индискиот математичар Пингала, кој разработил математички начин на претставување на прозодијата. Оттогаш, се вршени различни проучувања и подобрувања на истиот, а во 1679 година, Готфрид Лајбниц дошол до неговиот современ облик, објавувајќи го во написот „Објаснение за двоичната аритметика“ (Explication de l'Arithmétique Binaire). Во него, тој за првпат ги употребил цифрите 0 и 1, исто како во современиот систем.

Еден двоичен број може да се претстави со која било низа на битови (двоични бројки), кои пак можат да се претстават со кој било механизам што може да биде во заемно исклучиви состојби. Бројчената вредност зависи од вредноста што ја претставуваат симболите. Кај еден сметач бројчените вредности може да се претстават со два различни напона; кај магнетниот складиштен диск може да се користат магнетните поларитети. Вредностите „позитивно“, „да“ или „вклучено“ не мора да соодветствуваат на бројната вредност еден. Тоа зависи од осмислената архитектура.

Историја Индискиот мислител Пингала (V-II век п.н.е.) разработил математички начин на претставување на прозодијата, и така го осмислил првиот двоичен броен систем.W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X Пингала користел двоични броеви во облик на кратки и долги согласки (со должина колку две кратки), и со тоа разработил систем сличен на Морзеовата азбука.Двоичните броеви во древна Индија Математика за поети и тапанари (PDF, 145 КБ)

Во древна Кина се знаело за збир од осум триграми („ба гуа“) и збир од 64 хексаграми преку класичното дело „И чинг“ („Книга на промените“), што е аналогно на трибитни и шестбитни двоични бројки. Во XI век, мислителот Шао Јунг разработил метод на подредување на хексаграмите што соодветствува на низата од 0 до 63 во двоичниот систем, каде јин претставувал 0, а јанг претставувал 1, со најмал значенски бит врз нив. Меѓутоа нема докази дека Шао имал сознанија за двоичните пресметки. Редоследот е исто така лексикографски редослед од шесткратни варијанти на елементи одбрани од двоелементно множество.

Слични двоични претстави се користеле и во Африка, во системите за претскажување како „ифа“, како и кај западната средновековна геомантија. Системот на претскажување со основа 2 наоѓал широка примена во Потсахарска Африка со векови.

Во 1605 година, англискиот мислител Френсис Бејкон објавил труд во кој објаснува дека буквите од азбуката можат да се сведат на низи од двоични цифри, кои потоа може да се шифрираат како едвај видливи варијации пред некој неповрзан текст. Од големо значење за општата теорија на двоично шифрирање е неговата идеја дека овој метод може да се примени користејќи какви било предмети: „под услов овие предмети да се разликуваат само двозначно; како со ѕвона, со труби, со светла и факли, со истрели од пушки и други предмети од таков карактер“.

Во 1679 година, Готфрид Лајбниц го проучувал двоичниот систем, доаѓајќи до неговиот современ облик во написот „Објаснение за двоичната аритметика“ (Explication de l'Arithmétique Binaire) (1703)Leibniz G., Explication de l'Arithmétique Binaire, Die Mathematische Schriften, уред. C. Gerhardt, Берлин 1879, том 7, стр. 223; англиски превод. Во неговиот систем, Лајбниц користи 0 и 1, исто како во современиот систем. Лајбниц бил синофил и бил фасциниран од „И чинг“ каде хексаграмите соодветствуваат на двоичните броеви од 0 до 111111, и заклучил дека ова е доказ за големите достигнувања на Кинезите во полето на филозофската математика. мини|десно|Двоични бројки (код) на марка на Македонска пошта по повод Самитот за информатичко општество 2004 (ФДЦ 15/2004, 16 октомври 2004) Во 1854, британскиот математичар Џорџ Бул го објавил неговиот епохален труд во кој образложува алгебарски систем во логиката, подоцна наречен „Булова алгебра“. Неговата логичка анализа одиграла суштинска улога во осмислувањето на дигиталните кола.

Во 1937 г, Клод Шенон го објавил својот магистерски труд на Масачусетскиот технолошки институт (МТИ) каде за првпат во историјата се објаснува примената на Буловата алгебра и двоичната аритметика кај електронските релеи и прекинувачи. Со овој труд, насловен како „Симболична анализа на кола со релеи и прекинувачи“ (A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits), Шенон ги поставил основите на практичната конструкција на дигитални кола.

Во ноември 1937 г, Џорџ Штибиц како вработен во Беловите лаборатории (Bell Labs), изработил сметач со релеи кој го нарекол „Модел К“ („кујна“, собата кајшто го склопувал), кој вршел пресметки по пат на двоично собирање. Во 1938 година, Беловите лаборатории започнале полна истражна програма предводена од Штибиц. На 8 јануари 1940 година го изработиле сметачот Complex Number Computer („Сметач на комплексни броеви“) кој можел да пресметува комплексни броеви. На научниот собир на Американското математичко друштво во колеџот Дартмур, на 11 септември 1940 година Штибиц демонстрирал далечинско давање на наредби на сметачот со телепринтер поврзан преку телефонска линија. Ова е првата сметачка машина што можела да се управува од далечина преку телефонска линија. Присутни на собирот биле Џон фон Нојман, Џон Мокли и Норберт Винер, кои го овековечиле овој настан во своите мемоари.

Претставување Еден двоичен број може да се претстави со која било низа на битови (двоични бројки), кои пак можат да се претстават со кој било механизам што може да биде во заемно исклучиви состојби. Еве различни низи од симболи што можат да се протолкуваат како двоична бројчена вредност на бројот 667:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 | − | − − | | − | | x o x o o x x o x x д н д н н д д н д д

250п|мини|десно|Двоичен часовник со светлечки диоди за изразување на двоичните вредности. На овој часовник, секоја колона диоди прикажува двоично шифриран десетичен број од вообичаеното шеесетеречно време.

Бројчената вредност во сите четири случаја зависи од вредноста што ја претставуваат симболите. Кај еден сметач бројчените вредности може да се претстават со два различни напона; кај магнетниот складиштен диск може да се користат магнетните поларитети. Вредностите „позитивно“, „да“ или „вклучено“ не мора да соодветствуваат на бројната вредност еден. Тоа зависи од осмислената архитектура.

Поради распространетата употреба на арапските бројки, двоичните броеви по обичај се пишуваат со симболите 0 и 1. При нивно запишување, двоичните бројки честопати имаат долен индекс, претставка или наставка, со цел да се укаже на нивната основа. Следниве записи имаат истоветно значење:

100101 двоично (јасен исказ на форматот) 100101b (наставка што означува двоичен формат) 100101B (наставка што означува двоичен формат) bin 100101 (претставка што означува двоичен формат) 1001012 (долен индекс што означува двоичен запис, т.е. на основа 2) %100101 (претставка што означува двоичен формат) 0b100101 (претставка што означува двоичен формат, доста застапен во програмските јазици)

Во усното општење, двоичните бројки се читаат цифра по цифра, за да се разликуваат од десетичните броеви. На пример, двоичниот број 100 се изговара „еден нула нула“, а не „сто“. Двоичната бројка 100 е еднаква на десетичната вредност четири, и затоа не би било исправно бројката да се нарече „сто“.

Броење во двоичниот систем Десетично Двоично 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 16 10000 Броењето во двоичниот систем е слично на она во другите бројни системи. Почнувајќи од една цифра, го набројуваме секој симбол, во растечки редослед. Десетичното пребројување се врши со симболите од 0 до 9, додека двоичниот ги користи само симболите 0 и 1.

Кога ќе се потрошат симболите за првата цифра, следната најголема цифра (лево) се накачува, и броиме пак од 0. Во десетичниот систем броењето оди вака:

000, 001, 002, ... 007, 008, 009, (најдесната бројка станува прва, а следната бројка се накачува) 010, 011, 012, ...    ... 090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (најдесните две бројки стануваат први, а следната бројка се накачува) 100, 101, 102, ...

Откако цифра ќе достигне 9, со накачување се враќа на 0 но исто така предизвикува накачување на следната бројка лево од неа. Броењето во двоичниот систем е исто, освен тоа што се користат само симболите 0 и 1. Така, откако цифрата ќе достигне 1, со накачување се враќа 0, но исто така предизвикува накачување на следната бројка лево од неа:

0000, 0001, (најдесната бројка станува прва, а следната бројка се накачува) 0010, 0011, (најдесните две бројки стануваат први, а следната бројка се накачува) 0100, 0101, 0110, 0111, (најдесните три бројки стануваат први, а следната бројка се накачува) 1000, 1001, ...

Бидејќи двоичниот систем е систем на основа 2, секоја цифра претставува растечки степен на 2 - најдесната цифра претставува 20, следната претставува 21, па 22, итн. За да ја утврдиме десетичната претстава на еден двоичен број, едноставно го земаме збирот од производите на двоичните цифри и степените на 2 што ги претставуваат. На пример двоичниот број:

100101

можеме да го претвориме во десетичен облик со:

[(1) × 25] + [(0) × 24] + [(0) × 23] + [(1) × 22] + [(0) × 21] + [(1) × 20] =

[1 × 32] + [0 × 16] + [0 × 8] + [1 × 4] + [0 × 2] + [1 × 1] = 37

За да создадеме поголеми броеви, едноставно додаваме уште цифри на левата страна од двоичната претстава.

Двоични дропки Двоичните дропки имаат крај само ако именителот има 2 како единствен примфактор. Така, 1/10 нема конечен двоичен израз, и поради тоа 10 × 0,1 не е еднакво на точно 1 во аритметиката со променливи децимали. На пример, ако сакаме да го протолкуваме двоичниот израз 1/3 = ,010101..., ова значи: 1/3 = 0 × 2−1 + 1 × 2−2 + 0 × 2−3 + 1 × 2−4 + ... = 0,3125 + ... Не може да се најде точната вредност со збир од конечен број на обратни основи два, а нулите и единиците се редат наизменично до бесконечност.

Дропка Десетична Двоично Дробна апрокс. 1/1 1или0,999... 1или0,111... 1/1или1/2+1/4+1/8... 1/2 0,5или0,4999... 0,1или0,0111... 1/2или1/4+1/8+1/16... 1/3 0,333... 0,010101... 1/4+1/16+1/64... 1/4 0,25или0,24999... 0,01или0,00111... 1/4или1/8+1/16+1/32... 1/5 0,2или0,1999... 0,00110011... 1/8+1/16+1/128... 1/6 0,1666... 0,0010101... 1/8+1/32+1/128... 1/7 0,142857142857... 0,001001... 1/8+1/64+1/512... 1/8 0,125или0,124999... 0,001или0,000111... 1/8или1/16+1/32+1/64... 1/9 0,111... 0,000111000111... 1/16+1/32+1/64... 1/10 0,1или0,0999... 0,000110011... 1/16+1/32+1/256... 1/11 0,090909... 0,00010111010001011101... 1/16+1/64+1/128... 1/12 0,08333... 0,00010101... 1/16+1/64+1/256... 1/13 0,076923076923... 0,000100111011000100111011... 1/16+1/128+1/256... 1/14 0,0714285714285... 0,0001001001... 1/16+1/128+1/1024... 1/15 0,0666... 0,00010001... 1/16+1/256... 1/16 0,0625или0,0624999... 0,0001или0,0000111... 1/16или1/32+1/64+1/128...

Двоична аритметика Двоичната аритметика е иста како аритметиката на останатите бројни системи. Со двоичните бројки може да се врши собирање, одземање, множење и делење.

Собирање мини|десно|200п|Електрична шема на еден двоичен полусуматор кој собира два бита, давајќи збир со преносни битови.

Најпростата двоична аритметичка операција е собирањето. Собирањето на два едноцифрени двоични броја е релативно просто, користејќи облик на пренос:

0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 10, пренесуваме 1 (бидејќи 1 + 1 = 0 + 1 × двоично 10) Со собирање на две цифри „1“ ја добиваме цифрата „0“, а 1 треба да се собере во следната колона. Ова е слично на постапката кај десетичниот систем кога се собираат дадени едноцифрени броеви. Ако резултатот е еднаков или поголем од вредноста на основата (10), цифрата лево се накачува:

5 + 5 → 0, пренесуваме 1 (бидејќи 5 + 5 = 0 + 1 × 10)