thumb|right|300px|Планковиот закон (обоени криви) прецизно го опишуваат зрачењето на црното тело и ја разрешува ултравиолетовата катастрофа (црната крива). Планков закон — физички закон кој го опишува електромагнетното зрачење на црно тело во топлинска рамнотежа на одредена температура. Законот е именуван по Макс Планк, кој првично го опишал во 1900 година. Станува збор за пионерски обид во современата физика и квантната теорија.
Спектралното зрачење на едно тело, , го опишува количеството на енергија кое телото го оддава како зрачење при различи честоти. Се мери како моќност оддадена на единица површина од телото, во единица просторен агол во кој се мери зрачењето, во единица честота. Планк покажал дека спектралното зрачење на телото при апсолутна температура е определено со:
каде е Болцмановата константа, е Планковата константа, и е брзината на светлината во средината, без разлика дали станува збор за вакуум или материјална средина. Спектралното зрачење може да се измери во единица бранова должина, наместо во единица честота. Во овој случај, се добива дека:
.
Законот може да се запише и на други начини, како што е бројот на фотони оддадени при одредена бранова должина, или густина на енергија во единица зафатнинско зрачење. SI единиците за се , додека оние на се .
Во границите на ниските честоти (т.е. долги бранови должини), Планковиот закон се приближува кон Рејли–Џинсовиот закон, додека во границите на високите честоти (т.е. малите бранови должини) се приближува кон Виновиот закон.
Макс Планк го осмислил законот во 1900 година, првично со искуствено определените константи, а подоцна покажал дека, изразени како енергетска распределба, ова е единствената стабилна распределба на зрачењето при топлинска рамнотежа како енергетска распределба, е една од групите на распределба на топлинската рамнотежа која ги вклучува Бозе–Ајнштајновата, Ферми-Дираковата и Максвел-Болцмановата распределба.
Вовед
Секое физичко тело спонтано и непрекинато оддава електромагнетно зрачење. Во близина на топлинската рамнотежа, оддаденото зрачење е опишано со помош на Планковиот закон. Поради зависноста од температурата, за Планковото зрачење се вели дека е топлинско зрачење. Колку е повисока температурата, толку повеќе телото ќе зрачи на секоја бранова должина. Планковото зрачење има максимална јачина при одредена бранова должина која зависи од температурата. На пример, на собна температура (~), телото оддава топлинско зрачење кое најверојатно е во областа на инфрацрвеното зрачење и е невидливо. При повисоки температури количеството на инфрацрвено зрачење се зголемува и може да се почувствува како топлина, и телото започнува да свети со црвена боја која може да се забележи. На повисоки температури, телото е зашеметувачки жолтеникаво или сино-бело и оддава значителни количества на краткобраново зрачење, вклучувајќи ултравиолетово зрачење па дури и рендгенско зрачење. Површината на Сонцето (~) оддава големи количества на инфрацрвено и ултравиолетово зрачење, неговото зрачење го достигнува својот максимум во видливиот дел на спектарот.
Планковото зрачење е најголемото количество на зрачење што едно тело може да го оддаде при топлинска рамнотежа од својата површина, без разлика на хемискиот состав или површинска структура. Минувањето на зрачењето на преку граничната површина на средините може да се опише со емисивноста на границата (односот на вистинската зрачност и теориската зрачност на Планковото зрачење), и вообичаено се означува со буквата . Зависи од хемискиот состав и физичката структура, температурата, и брановата должина, аголот на премин, и поларизацијата. Емисивноста на природните премини е секогаш меѓу и 1.
Тело кое заемодејствува со друга средина и притоа двете имаат и го впиваат целото зрачење кое ќе упадне на тоа тело, се вели дека станува збор црно тело. Површината на црното тело може да се моделира како мала дупка во ѕидот на голем затворен простор кој се одржува на постојана температура со непропустливи за светлината ѕидови и со целосна неможност за одбивање на светлината при секоја бранова должина. При рамнотежа, зрачењето во внатрешноста на затворениот простор ќе се покорува на Планковиот закон, а со тоа и зрачењето кое ќе се оддава од малиот отвор.
Како што и Максвел–Болцмановата распределба е единствената максимална ентропија на енергетската распределба за гасот на масивните честички при топлинска рамнотежа, на тој начин е и Планковата распределба за гас на фотони. За споредба со вистински гас каде масата и бројот на честичките играат главна улога, спектралното зрачење, притисокот и енергетската густина на фотонскиот гас при топлинската рамнотежа се целосно определени од температурата. Ако фотонскиот гас на почетокот не е Планков, Вториот закон на термодинамиката гарантира дека заемодејствата (меѓу фотоните и останатите честички или пак меѓу самите фотони) ќе предизвикаат фотонската енергетската распределба да се измени и да се приближи до Планковата распределба. При овој пристап до топлинската рамнотежа,фотоните се создадени или уништени во определените броеви и при определените енергии за да се исполни празнината со Планковата распределба сè додека не се постигне рамнотежна температура.
Количеството е спектралното зрачење како функција од температурата и честотата. Се мери во единица W·m−2·sr−1·Hz−1 во SI системот. Бесконечно мала количина на моќ е зрачено во насока опишана од аголот од површината нормална на бесконечно малата површина при бесконечно малиот просторен агол при бесконечно мал честотен пакет со должина центриран при честота . Целата моќност која се зрачи во просторниот агол е интеграл од од овие три количества, и може да се запише како Штефан-Болцмановиот закон. Спектралното зрачење на Планковото зрачење од црното тело ја има истата вредност во секоја насока и агол на поларизација, па така се вели дека црното тело е Ламбертов зрачител.
Поинакви облици
Планковиот закон може да се сретне во неколку облици во зависност од употребата во различни научни полиња. Различните облици на законот за спектрално зрачење се запишани во табелата подолу. Облиците од лево се најчесто употребувани во експерименти, додека пак равенките од десно се употребуваат во теоријата.
+ Планковиот закон изразен преку различни спектрални променливисо hсо ħПроменливаРаспределбаПроменливаРаспределба Честота Аголна честота Бранова должина Аголна бранова должина Бранов број Аголен бранов број
Овие распределби ги прикажуваат спектралните зрачења на црните тела, односно моќноста оддадена од површината, од единица површина, во единица просторен агол, во спектрална единица (честота, бранова должина, бранов број или нивните аголни поистоветеници). Бидејќи зрачноста е изотропна (т.е. независна од насоката), моќноста оддадена од агол на нормалата е пропорционална на површината, а со тоа на косинусот од аголот според Ламбертовиот закон, и е неполаризиран.
Поврзаност меѓу спектралните променливи облици
Различни спектрални променливи побаруваат различни соодветни облици за изразување на законот. Воопшто, не може да се изврши смена меѓу различните променливи облици на Планковиот закон со едноставна замена на променливата со друга, бидејќи на тој начин нема да се земат предвид различните облици кои имаат различни единици. Брановата должина и честотата се реципрочни.
Поврзаните облици на изразот се поврзани бидејќи изразуваат еден ист физички факт: за одредено физичко спектрално зголемување, соодветно се израчува одредено зголемување на физичка енергија.
Ова се случува без разлика дали е изразено во услови на зголемување на честотата, , или, соодветно, брановата должина, . Воведувањето на знакот минус е показател на зголемувањето на честотата кое соодветствува со намалувањето на брановата должина. За погорните поврзани облици со кои се изразува спектралното зрачење, може да се извлече еден заклучок, за моменталната пресметка. Тогаш, за одредено спектрално зголемување, одреденото зголемување на физичка енергија може да се запише:
што дава
Исто така, , па следи . Замената ја покажува поврзаноста меѓу честотните и брановите облици, со нивните различни димензии и единици., p. 16. Последователно:
Очигледно, местоположбата на врвот на спектралната распределба за Планковиот закон зависи од изборот на спектралната променлива. Сепак на некаков начин, оваа равенка значи дека обликот на спектралната распределба е независна од температурата, според виновиот закон на поместувањето, како што е прикажано подолу во текстот кај перцентили во делот својства.
Облика на спектралната енергетска густина
Планковиот закон исто така може да се запише и преку спектралната енергетска густина (u) преку множењето на B со 4π/c:
Овие распределби имаат единици на енергија по единица зафатнина при спектрална единица.
Прва и втора зрачна константа
Кај гореспоменатите облици на Планковиот закон, облиците со брановата должина и брановиот број ги користат записите 2hc2 иhc/kB кои се составено целосно од физички константи. Последователно, овие записи и самите можат да се сметаат за физички константи, и од оваа причина се наречени прва зрачна константа c1L и втора зрачна константа c2 со:
c1L = 2hc2
и
c2 = hc/kB
Користејќи ги зрачните константи, обликот со брановата должина може да се упрости и доведе во облик:
и обликот со брановиот број може да се упрости на истиот начин.
Овде се користи L на местото на B бидејќи во SI системот е симболот за спектралното зрачење. L во c1L се однесува токму на тоа. Ова е потребно бидејќи на овој начин Планковиот закон може да се презапише на начин со кој се определува зрачниот тек M(λ,T) наместо спектралното значење L(λ,T), во чиј случај c1 го заменува c1L, со:
c1 = 2hc2
па така Планковиот закон за зрачниот тек може да се запише во обликот:
Изведување
Замислете си коцка со страна L со проводни ѕидови исполнети со електромагнетно зрачење во топлинска рамнотежа на температура T. Ако има мала отвор на еден од ѕидовите, зрачењето емитувано од дупката ќе биде карактеристично на она на црно тело. Првично ќе се пресмета спектралната енергетска густина во празнината и ќе се определи спектралното зрачење на оддаденото зрачење.
На ѕидовите од коцката, паралелната компонента на електричното поле и нормалната компонента на магнетното поле мора да исчезнат. слично како и кај брановата функција на честичка во кутија, ќе се забележи дека полињата се во суперпозиција на периодични функции. Трите бранови должини λ1, λ2, и λ3, во трите насоки се ортогонални на ѕидовите и се добива:
каде ni се цели броеви. За секој избор на цели броеви ni постојат две линеарни независни решенија (модови). Според квантната теорија, нивоата на енергија на модот се определени со:
Квантниот број r може да се протолкува како бројот на фотони во еден мод. Двата мода за секој избор на цели броеви ni соодвествува на две состојби на поларизација на фотонот кој има спин 1. Треба да се забележи дека енергијата на модот е различна од нула. Оваа енергија во вакуумот на електромагнетното поле е причината за постоењето на Касимировиот ефект. Во продолжение ќе се пресмета внатрешната енергија на кутијата при апсолутна температура T.
Според статистичката механика, веројатноста за распределба на енергетските нивоа на одреден мод е дадено со изразот:
Тука
Ознаката Z(β), е статистичката сума на единствен мод и го прави Pr соодветно нормализиран:
Тука истото е имплицитно дефинирано
што пак е енергијата на единствен фотон. Како што е објаснето тука, просечната енергија во еден мод може да се изрази преку статистичката сума:
Оваа равенка, покрај што е првиот услов за енергија во вакуумот, е и специјален случај на општата равенка за честички кои се покоруваат на Бозе-Ајнштајновата статистика. Бидејќи не постои ограничување на вкупниот број на фотони, хемискиот потенцијал е еднаков на нула.