Равенка на сложени брзини — тридимензионална равенка која се однесува на брзината на објекти во различни појдовни системи. Ваквите равенки важат за последователните Лоренцови трансформации, така што и тие се однесуваат на различни системи. Придужната сложена брзина е кинематски ефект познат како Томасовата прецесија, каде подоцнежните неколинеарни Лоренцови поттици стануваат еднакви на составот на ротацијата на координатниот систем и поттик.
Стандардните примени на равенките на сложени брзини вклучуваат: Доплерова смена, Доплерова навигација, аберација на светлината и завлекувањето на светлината во вода во движење набљудувани во Физовиот експеримент во 1851 година.
Историја
Брзината на светлината во течност е побавна од брзината на светлината во вакуум и се менува ако течноста се движи заедно со светлината. Во 1851 година, Физо ја измерил брзината на светлината во течност, кој се движи паралелно на светлината, користејќи Мајкелсонов интерферометар. Резултатите на Физо не се согласувале со тогашните преовладувачки теории. Физо експериментално правилно го утврдил почетниот однос на ширењето на релативистичкиот точен закон за сложување на брзините запишан преку како што е опишано подолу. Физовите резултати ги довеле физичарите да ја прифатат емпириската важност на прилично незадоволителната теорија на Френел, дека течноста која се движи во однос на стационарениот етер делумно ја завлекува светлина со него, односно брзината е наместо , каде е брзината на светлината во етерот, а е брзината на течноста во однос на етерот.
Аберацијата на светлината, за која најлесно објаснување е релативистичката равенка на сложени брзини, заедно со Физовите резултати предизвикаа развој на теориите како што е Лоренцовата теорија за етерот на електромагнетизмот од 1892 година. Со воведувањето на специјалната релативност во 1905 година, прашањата кои го содржеа зборот етер беа, постепено со текот на годините, разрешени.
Галилеева релативност Галилео забележал дека личност на брод кој се движи со постојана брзина има претстава дека е во мирување кога ќе набљудува тело кое паѓа вертикално надолу.Galileo 1632 Dialogue on the two World Systems This observation is now regarded as the first clear statement of the principle of mechanical relativity. Галилео забележал дека од гледната точка на личноста која стои на брегот, движењето на телото кое паѓа надолу на бродот ќе биде комбинирано или пак на истото ќе биде додадено движењето на бродот.Galileo 1638 in Two New Sciences who used this insight to show that the path of the weight when seen from the shore would be a parabola. Па така гледано преку брзините може да се каже дека брзината на телото кое е во пад релативно на брегот е еднакво на брзината на тоа тело релативно на брдот плус брзината на бродот релативно на брегот.
Воопштено за три тела A (пр. Галилео), B (пр. брод), C (пр. тело кое е во пад на бродот) векторот на брзината за C релативно на A (брзината на телото во пад што ја набљудува Галилео) е збирот од брзината на C релативно на B (брзината на телото во пад релативно во однос на брегот) плус брзината на B релативно на A (брзината на бродот релативно на брегот). Сложувањето тука е векторското сложување од векторската алгебра и резултантната брзина е вообичаено претставена со равенката:
Во класичната механика: може да се поврзат (користејќи истобројност) со истото потекло и вообичаено се прави тоа. Но по дефиниција тие се релативни брзини кои имаат различно потекло. Ова тврдење е важно при воопштувањето на специјалната релативност каде не важи истобројноста.
Светот на Галилео се состои од апсолутен време-простор и сложувањето на бзините е во согласност со Галилеевите трансормации. Релативистичкиот принцип се нарекува Галилеева релативност. Се раководи според Њутновата механика. Специјална релативност
Според теоријата на специјална релативност, во рамката на бродот има различен часовник и насока, и поимот на истовременост во насоката на движењето е променет, па сложениот закон за брзините е сменет. Оваа промена не се приметува кај малите брзини, но со зголемување на брзината кон брзината на светлината станува важна. Сложениот закон е исто така наречен композиционен закон на брзините. За колинеарни движења, брзината на мувата во однос на брегот е дадена со
Сложената равенка може да има алгебарски еквивалентен облик, која лесно може да се изведе со помош на принципот на постојаноста на брзината на светлината:Mermin, N. David (2005). It's About Time: Understanding Einstein's Relativity. Princeton University Press, p. 37. ISBN 0-691-12201-6.
Светот во специјалната релативност се состои од Минковскиев простор и сложувањето на брзинитее цо согласност со Лоренцовите трансормации. Во специјалната теорија на релативноста Њутновата механика е променета во релативистичка механика.
Стандардна конфигурација Формулите за поттиците на стандардната конфигурација произлегуваат правопропорционално од диференцијалите на инверзните Лоренцови поттици во стандардната конфигурација. Ако 'прим' системот се движи со брзина во позитивна насока релативна на 'не-прим' системот, тогаш формулите се
Делејќи ги првите три равенки со четвртата,
или
следи
Ако координатите се одбрани така што сите брзини да лежат на (заедничка) рамнина, тогаш брзините може да се претстават како
(Погледајте поларни координати) и се добива
Дадениот доказ е многу формален. Постојат и многу други докази кои се поточни, како следниот подолу.
Бидејќи релативистичката трансформација ги ротира просторот и времето меѓусебно исто како геометриската ротација во рамнината која ги ротира - и -оските, погодно е да се користат истите единици за просторот и времето, во спротивно ќе се пројавува единичен фактор на претворање низ релативистичките формули, како брзината на светлината. Во систем каде што должините и времињата се мерат со исти мерни единици, брзината на светлината е бездимензионална и еднаква на . Брзината тогаш се изразува како дел од брзината на светлината.
За да се најде релативистичкиот закон за трансформација, корисно е да се воведат четири-брзини и . четири-брзините се дефинирани да бидат четири-вектори со релативистичка должина еднаква на , идно-насочена и тангента на светската линија на тело во времепросторот. Овде, одговара на компонентата на времето и на компонентата на четири-брзините на телото набљудувани од бродот. Погодно е да се земе -оската да биде насоката на движење на бродот и -оската така што рамнината се протега поради движењето на бродот и телото. Од ова произлегува дека неколку компоненти на брзините се нула; .
Обичната брзина е односот на стапката со која просторните координати растат во однос на стапката со која временската координата расте,
Бидејќи релативистичката должина е ,
следува
Лоренцовите трансформациони матрици што го зголемуваат системот во мирување до четири-брзината е
Оваа матрица ја ротира временската векторска оска до и сите негови колони се релативистички ортогонални едни на други што се дефинира како Лоренцова трансформација.
Ако телото се движи со четири-брзина во системот на мирување и се зголеми со множење на горе наведената матрица, новата четири-брзина е ,
Делејќи со временската компонента и со замена на компонентите на четири-векторите и во однос на компонентите на три-векторите и го дава релативистичкиот состав на законот како
Обликот на релативистичкиот закон на сложување може да се сфати како ефект на неуспехот на истовременоста да важи во далечината. За паралелната компонента, временската дилатација ја намалува брзината, контракцијата на должината ја зголемува и двата ефекта се поништуваат. Неуспехот на истовременост значи дека телото менува истовремени парчиња како проекција на кон . Бидејќи во овој ефект целосно се должи на временското режење, истиот фактор се множи со нормалната компонента, така што временската дилатација се множи со фактор .
Општа конфигурација
Почнувајќи од изразот во координати за паралелна на , изразите за нормални и паралелни компоненти може да се вметнат во векторска облик како што следува, трик којшто исто така функционира и за Лоренцовите трансформации на други 3Д физички количества првично поставени во стандардната конфигурација. Со воведување на векторот за брзина во не-прим системот и во прим системот и да ги поделиме на компоненти паралелни ( ∥ ) и нормални (⊥) на релативистичкио вектор за брзина така што
потоа со вообичаените основни Декартови единици за вектор , брзината во не-прим системот ќе биде
што дава
каде · е скаларниот производ. Бидејќи овие се векторски равенки, тие сè уште го имаат истиот облик за во сите насоки. Единствената разлика од координатните изрази е дека горенаведените изрази се однесуваат на вектори, а не на компоненти.
Треба да се определи паралелната или нормалната компонента за секој вектор, бидејќи другата компонента ќе биде отстранета со замена на целосните вектори.
Паралелната компонента на ќе се најде со проекција на главниот вектор во насока на релативното движење
и нормалната компонента на ќе се најде со геометриските својства на векторискиот производ (Погледајте ја сликата десно),
Во секој случај, е единичен вектор во насока на релативно движење.
Изразите за и ќе се најдат на ист начин. Со замена на паралелната компонента во
е резултат во горната равенка.
Трансформацијата на брзините се однесува на брзината која е мерена два инетрни системи, едниот систем F′ се движи со брзина релативна на F. Брзините и можат да ја претставуваат константната брзина на некој масивен обејкт, или трет инерцијален систем (на пример F′′), но во секој случај се означува овој ентитет со X. Тогаш X се движи со брзина релативна на F, или еквивалентна со брзината релативна на F′, пак F′ се движи со брзина релативна на F. Ова може да се запише
каде е реципрочна вредност на Лоренцовиот фактор. Подредувањето на операнди во дефиниција е избрано за да го одрази подредувањето на додавање на брзините, прво (брзината на F′ релативна на F), потоа (брзината на X релативна на F′) за да се добие (брзината на X релативна на F).
Со цел да се олесни генерализација и да се избегне зголемувањето на бројот на прости броеви, се променува записот на во и во . Дефинирање на релативистичкото сложување на новите и од горенаведената формула,These formulae follow from inverting for and applying the difference of two squares to obtain
so that
.
каде што последниот израз е од стандардна формула на векторска анализа , а како резултат на крстор производите тоа е точно само во три-просторните димензии. Првиот израз се однесува на било кој број од просторните димензии.
Својства
Релативистичката сложеност на 3-брзините е нелиниска
за секој реален број и , иако е точно дека
Исто, поради последните поими, не е комутативна
ниту асоцијативнаThe so-called "Mocanu paradox". See Mocanu, C. I. (1992). "On the relativistic velocity composition paradox and the Thomas rotation". Foundations of Physics (Plenum) 5: 443–456.
Ако и се однесуваат на поттици на брзините, тогаш и и се точни изрази за комбинираната поттик брзина. Тие се само дадени во различен координатен систем, неприм и (што би бил) двојно примуван соодветно на стариот запис, се поврзани со ротацијата. Овој феномен е познат како Томасова прецесија.
Нормата е дадена со Equation (12.6) This is derived quite differently by consideration of invariant cross sections.
Јасно е дека некомутативноста се манифестира како дополнителна ротација на координатиот систем кога станува збор за два поттици, бидејќи квадратната норма е еднаква за двете големини на поттиците.
Гама факторот за комбинираната брзина се пресметува како
Покрај нелинеарноста во сложените брзини, можно е да се добие композицијата на бета векторите и , кои се пропорционални на релативните брзини. Дефинирање на , следува
Записи и конвенции