thumb|right|Шредингеровата равенка како дел од споменикот пред Центарот за нова технологија на Варшавскиот универзитет Шредингерова равенка — парцијална диференцијална равенка во квантната механика која опишува како квантната состојба во квантен систем се менува со текот на времето. Равенката била формулирана во крајот на 1925 и издадена во 1926 година од австрискиот физичар Ервин Шредингер.

Во класичната механика, Вториот Њутнов закон, (), се користи за математички да се предвиди што ќе прави еден систем во секоја точка од времето откако е позната почетната состојба. Во квантната механика, аналогна на Њутновиот закон е Шредингеровата равенка за квантен систем (најчесто кај атоми, молекули и субатомски честички кои можат да бидат слободни, сврзани или локализирани). Оваа равенка не е едноставна алгебарска равенка, туку е линеарна парцијална диференцијална равенка, која го опишува развојот на брановата функција на системот со текот на времето.

Концептот на брановата функција е основен постулат на квантната механика. Иако Шредингеровата равенка често е презентирана како посебен постулат некои автори покажуваат дека некои својства добиени од Шредингеровата равенка може да се откријат од самата симетрија на принципите, како комутативниот закон. Главно, „изводи” од Шредингеровата равенка ја демонстрираат нејзината можност за математичко опишување на дуалноста бран-честичка, но досега нема прифатливи изводи од Шредингеровата равенка од приближни начела.

Во копенхагенското толкување на квантната механика, брановата функција е најцелосен опис што може да се даде на еден физички систем. Решенија на Шредингеровата равенка опишуваат не само молекуларни, атомски или субатомски системи, туку и макроскопски системи, а можно е и целиот универзум. Шредингеровата равенка во најопштата форма е доследна со класичната механика и специјалната релативност, но оригиналната формулација на Шредингер била нерелативистичка.

Шредингеровата равенка не е единствениот начин да се прават предвидувања во квантната механика – можат да се користат други формулации, како Вернер-Хајзенберговата механика на матрици, и Ричард-Фајнмановата формулација за интеграл по траекторија.

Равенка Временски-зависна равенка Формата на Шредингеровата равенка зависи од физичката ситуација. Најопшта форма е временски-зависна Шредингерова равенка, која опишува систем кој се развива со време:

каде е имагинарна единица, е Планкова константа поделена со , симболот покажува парцијален извод во однос на времето , (грчката буква пси) е брановата функција на квантниот систем, и е Хамилтоновиот оператор (кој ја опишува вкупната енергија на која било бранова функција и има различна форма од зависност на ситуацијата).

300px|thumb|right|Секој од овие три реда е бранова функција која ја задоволува временски-зависната Шредингерова равенка за квантен хармониски осцилатор. Лево: Реалниот дел (сино) и имагинарниот дел (црвено) од брановата функција. Десно: Веројатната дистрибуција за наоѓање на честичката со оваа бранова функција во одредена точка. Горните два реда се пример за стационарни состојби, кои одговараат на стоечки бранови. Долниот ред е пример за состојба која не е стационарна. Десната колона илустрира зошто стационарните состојби се наречени „стационарни”. Најпознатиот пример е нерелативистичката Шредингерова равенка за една честичка која се движи низ електрично поле, но не и низ магнетно поле:"Schrodinger equation". hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

каде е намалената маса на честичката, е нејзината потенцијална енергија, е Лапласовиот оператор и е брановата функција. Со други зборови значи „вкупната енергија е еднаква на збирот на кинетичката енергија и потенцијалната енергија” но овие термини имаат непознати форми. Поради конкретните диференцијални оператори кои се вклучени, ова е линеарна парцијална диференцијална равенка. Исто така е дифузиска равенка, но за разлика од равенката за топлина, оваа е исто така и бранова равенка поради присутната имагинарна единица. Поимот „Шредингерова равенка” може да се однесува и на општата равенка, или на специфичната нерелативистичка верзија. Општата равенка е навистина општа, во употреба низ целата квантна механика, за сѐ, од Дираковата равенка до квантната теорија за полето, така што се приклучуваат различни комплексни изрази на Хамилтоновиот оператор. Специфичната нерелативистичка верзија е упростена приближност до реалноста која е прилично прецизна во многу ситуации, но многу непрецизна во други. За да се примени Шредингеровата равенка, Хамилтоновиот оператор се поставува за системот и се внимава на кинетичката и потенцијалната енергија на честичките кои го сочинуваат системот, и потоа се вклучува во равенката. Добиената парцијална диференцијална равенка се решава за брановата функција која ги содржи информациите за системот.

Временски независна равенка Временски независната Шредингерова равенка предвидува дека брановите функции можат да формираат стоечки бранови, наречени стационарни состојби (исто така се наречени орбитали). Овие состојби се важни сами по себе, и ако стационарните состојби се класифицираат и разберат, тогаш станува полесно да се реши временски-зависната Шредингерова равенка за секоја состојба. Временски независната Шредингерова равенка е равенката која ги опишува стационарните состојби и се користи само кога Хамилтоновиот оператор не е зависен од времето. Но, и во овој случај целосната бранова функција е сè уште зависна од времето.)

Со зборови, равенката гласи: Кога Хамилтоновиот оператор дејствува на одредена бранова функција , и резултатот е пропорционален на истата бранова функција , тогаш е стационарна состојба, и константата за пропорционалност, , е енергијата на состојбата . Најпознатата манифестација е нерелативистичката Шредингерова равенка за една честичка која се движи во електрично, но не и магнетно поле.

со дефиниции како оние погоре.

Последици Шредингеровата равенка и нејзините решенија воведоа важен чекор во размислувањето за физиката. Шредингеровата равенка е прва од својот вид и решенијата доведоа до последици кои беа многу необични и неочекувани во тоа време.

Вкупна, кинетичка и потенцијална енергија Целосната форма на равенката не е необична или неочекувана бидејќи ги користи принципите на зачувување на енергијата. Термините од нерелативистичката Шредингерова равенка може да се толкуваат како вкупната енергија на системот, еднаква на збирот на кинетичката и потенцијалната енергија на системот. Во овој поглед е исто како и во класичната физика.

Квантизација Шредингеровата равенка предвидува дека ако одредени својства на системот се измерат, резултатот може да се квантификува, што значи дека само специфични дискретни вредности можат да бидат добиени. Еден пример е „енергетската квантизација”: енергијата на електрон во атом е секогаш едно од квантизираните енергетски нивоа, факт откриен со атомска спектроскопија. Друг пример е квантизацијата на аголен момент. Ова е претпоставка во поранешниот Боров модел на атомот, но е предвидување во Шредингеровата равенка.

Друг резултат од Шредингеровата равенка е дека не секое мерење дава квантизиран резултат во квантната механика. На пример, позитрон, момент, време и енергија можат да имаат која било вредност до одредена граница.

Мерење и неопределеност Во класичната механика, една честичка има, во секој момент, точна позиција и точен момент. Овие вредности се менуваат како што се движи честичката во однос на Њутновите закони. При копенхагенско толкување на квантната механика, честичките немаат точно определени вредности, и кога се мерат, резултатот е случајно избран од веројатна распределеност. Шредингеровата равенка предвидува кои се веројатностите, но не може да го одреди точниот резултат на мерењето. Хајзенберговиот принцип на неопределеност е приказот на несигурното мерење во квантната механика. Гласи дека колку повеќе се знае позицијата на една честичка, толку помалку се знае нејзиниот момент, и обратно. Шредингеровата равенка ја опишува еволуцијата на брановата функцијa за честичка. Но иако брановата функција е точно позната, резултатот од нејзиното мерење е сè уште несигурен.

Квантно тунелирање width = 300px|thumb|Квантно тунелирање низ пречка. Честичката којашто надоаѓа од левата страна нема доволно енергија за да ја искачи пречката. Меѓутоа, таа понекогаш може да се „тунелира“ на другата страна.

Во класичната физика, кога топка полека се тркала нагоре по едно брдо, таа ќе застане и ќе се тркала назад, бидејќи нема доволно енергија за да се прекачи на другата страна на брдото. Но Шредингеровата равенка предвидува дека има мала веројатност дека топката ќе стигне до другата страна на брдото, иако има премалку енергија да се искачи до врвот. Ова е наречено квантно тунелирање. Поврзано е со распределбата на енергија: иако се претпоставува дека топката се наоѓа на едната страна од брдото, можно е таа да се најде од другата страна.

Честички како бранови 175px|thumb|Експеримент со пречка со два отвори кој покажува како електрони се насобираат на екран како што поминува времето.

Нерелативистичката Шредингерова равенка е вид на парцијална диференцијална равенка наречена бранова равенка. Според тоа, често се вели дека честички можат да се однесуваат како бранови. Во некои модерни толкувања, овој опис е обратен – квантната состојба (бранот) е единствената физичка реалност, и во некои случаи може да се однесува како честичка. Но Балентајн, покажува дека таквото толкување има проблеми. Тој посочува дека иако е можно да се поврзе физички бран со една честичка, постои само една Шредингерова равенка за многу честички. Исто така, тој укажува дека:

„Ако физичко браново поле е поврзано со честичка, или ако честичката се идентификува со бран, тогаш на N честички кои заемно си дејствуваат, тогаш треба да има N бранови кои заемно си дејствуваат во тридимензионалниот простор. Но според (4.6) тоа не е случајот. Наместо тоа има една бранова функција во апстрактен 3N димензионален простор. Погрешното толкување на пси како физички бран во обичниот простор е можна само затоа што најчестите апликации на квантна механика се за состојби со една честичка, за која конфигурацискиот простор и обичниот простор се изоморфни.“

Експериментот на дифракција низ два отвори е познат пример за необичното однесување кое го покажуваат брановите кои не се поврзани со честички. Брановите кои се преклопуваат од двата отвора се поништуваат на некои места а се надоградуваат во некои места, што предизвикува сложена шара. Интуитивно, не може да се очекува ваква шара од фрлање на една честичка кон двата отвора бидејќи честичката ќе помине или низ едниот, или низ другиот отвор, а не комплексно преклопување и на двата.

Но, бидејќи Шредингеровата равенка е бранова равенка, една честичка фрлена низ пречката со два отвора се однесува на овој начин. Експериментот мора да се повтори повеќепати за да се види комплексната шема. Иако е контраинтуитивно, предвидувањето е точно. Особено кај електронската и неутронското расејување, кои се добро разбрани и применети во науката и инженерството.

Поврзано со дифракцијата, честичките исто така покажуваат суперпозиција и интерференција.

Суперпозициските својства ѝ овозможуваат на една честичка да биде во квантна суперпозиција од две или повеќе квантни состојби истовремено. Но квантна состојба во квантната механика ја означува веројатноста дека еден систем ќе биде на пример во позиција , а не дека навистина системот ќе биде во таа позиција. Не значи дека самата честичка ќе биде во две класични состојби истовремено. Квантната механика не може да додели вредности на својствата пред нивното мерење.

Толкување на брановата функција

Шредингеровата равенка дава начин како да се пресмета брановата функција на еден систем и како таа се менува динамично со времето. Но Шредингеровата равенка не кажува директно што е бранова функција. Толкувањето на квантната механика дава одговор на прашањата која е врската меѓу брановата функција, реалноста и резултатите на експерименталните мерења.