Криволиниски интеграл — интеграл за кој областа на интеграција е одредена крива, најчесто дефинирана во рамнина или простор. За разлика од обичниот определен интеграл, за чијшто домен на интеграција е земен одреден правоаголен сегмент од просторот, криволинискиот интеграл овозможува пресметување на интеграл во кој доменот на функцијата е претставен со точки на одредена глатка (или дел по дел глатка) крива. Во математиката се дефинирани криволиниски интеграли од прв и втор вид. Во физиката, криволиниски интеграли од втор ред се користат при пресметување на работат извршена од сила по дадена крива.
Криволиниски интеграл од прв вид десно|мини|250x250пкс| Криволиниски интеграл од прв вид Ако со ја означиме функцијата чиј интеграл го пресметуваме, а со ја означиме дадената крива, криволинискиот интеграл од прв вид е означен на следниов начин:
.
Ако едниот крај на кривата го означиме со , а нејзиниот друг крај со , криволинискиот интеграл од прв тип се обележува и со:
.
Дефиниција Нека кривата е зададена параметарски на интервалот :
.
Нека на таак, односно на множеството точки што ја сочинуваат, е дефинирана функцијата .
Можеме да формираме поделба на интервалот на делови, со следните ознаки:
.
Во секој сегмент можеме да избереме по едно , од кои секое параметарски одредува една точка , каде е . Со ќе ја означиме должината на кривата на сегментот . Тогаш ја имаме следната ознака:
Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот е „бесконечно густа“. На тој начин го воведуваме поимот криволиниски интеграл од прв вид: ако постои некој број , таков што за секого постои одредено така што:
,
тој број ќе го наречеме криволиниски интеграл од прв вид на функцијата на кривата . Се запишува како што е дадено во воведот на текстот. Кривата на интеграција се нарекува и лак на интеграција.
Особини Криволинискиот интеграл од прв вид дели некои од основните својства со обичниот определен интеграл.
, Ако е точно за секоја домен точка: , тогаш: , , , ако точката се наоѓа помеѓу точките и .
Спротивно на криволинискиот интеграл од втор вид, за кој постои поимот ориентација, за криволинискиот интеграл од прв вид важи следново:
.
Пресметување Криволинискиот интеграл од прв вид, согласно ознаките во делот „Дефиниција“, се пресметува со следнава формула:Аднађевић и Каделбург 1998, pp. 185. ↓
Условите за користење на оваа формула се функцијата да е непрекината и ограничена на кривата и дека кривата е глатка и без сингуларни точки. Формулата важи и во случаи кога кривата е глатка дел по дел, а функцијата е непрекината дел по дел.Аднађевић и Каделбург 1998, pp. 186. ↓
Криволиниски интеграл од втор вид десно|мини|250x250пкс| Криволиниски интеграл од втор вид
Дефиниција Нека кривата е зададена параметарски на интервалот :
.
Нека на таа крива, односно на множеството точки што ја сочинуваат, се дефинирани функциите јас .
Можеме да формираме поделба на интервалот на делови, со следните ознаки:
.
Во секој сегмент можеме да избереме по едно , од кои секое параметарски одредува по една точка , каде е . Со ќе ја означиме разликата , и аналогно на тоа и . Тогаш ги имаме следните ознаки:
Во наредниот текст ќе зборуваме за , имајќи предвид дека аналогните симболи важат и за и . Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот е „бесконечно густа“. На тој начин, ако постои број , таков што за секое постои одредено така што:
,
тој број ќе го наречеме криволиниски интеграл од втор вид на функцијата на кривата . Се запишува на следниов начин:
, или само: .
Аналогно се дефинираат интегралите и . Најчесто се посматраат збировите на овие интеграли:
,
кои обично се означуваат како:
. (1)
Ако ја усвоиме ознаката за векторска функција , односно , тогаш ознаката (1) ја нарекуваме (општ) криволиниски интеграл од втор ред на функцијата .
Во случај кривата да е затворена т.е. , зборуваме за циркулација и дефинираниот интеграл го обележуваме со:
,
иако ова не е задолжително да се најде во литературата, бидејќи понекогаш се смета за излишно.Школа математике Универзитета у Минесоти: Векторска анализа и функције више промјенљивих, Посетено на 9. 4. 2013.
Особини За разлика од криволинискиот интеграл од прв ред, во кој нема поим за ориентација и за кој важи својството:
,
кај криволинискиот интеграл од втор ред, важи својството:
.
Ова својство настанува како последица на дефиницијата на криволинискиот интеграл и фактот дека . На тој начин, не е небитно дали вршиме интеграција во едната или другата насока на кривата, и ова својство на интегралите од втор ред го нарекуваме ориентабилност, односно ориентација на кривата.
Пресметување Формула за пресметување на вредноста на криволиниски интеграл од функцијата од втор ред (аналогно на , согласно ознаката во пододделот „Дефиниција“ на овој дел) е следна:Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 189. ↓
Формулата важи доколку функцијата е непрекината на кривата , а кривата е глатка и без сингуларни точки. Таа важи и ако споменатата крива е глатка дел по дел, а функцијата е непрекината дел по дел.Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 190. ↓
Во случај на затворена дводимензионална крива, т.е. криви сместена во рамнина, и под одредени услови, криволинискиот интеграл од втор вид, исто така, може да се пресмета со помош на Гриновата теорема.
Независност на интеграцијата од патеката Јасно е дека во општи случај вредноста на криволинискиот интеграл од втор ред ќе зависи од обликот на кривата на интеграција , т.е. нејзината „патека“. Понекогаш, меѓутоа, тоа не е така и вредноста на интегралот ќе зависи само од почетната и завршната точка, и ќе биде целосно независна од средните точки, т.е. од обликот на кривата. Имено, валидна е следнава теорема која има свои примени во науката и технологијата:Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 193. ↓
Следниве искази се еквивалентни:
За векторска функција постои функција , таква што е Криволинискиот интеграл не зависи од траекторијата, туку само од точките и. Вредноста на интегралот во тој случај ќе биде Циркулација на произволна затворена патека е еднаква на нула.
Поврзано Површински интеграл
Наводи
Надворешни врски Математика II - Елена Атанасова, Слободанка Георгиевска
Категорија:Комплексна анализа Категорија:Векторска анализа Категорија:Интеграли