Brøk

thumb|En kake med en fjerdedel fjernet. De gjenværende tre fjerdedeler er merket med . En brøk er et forhold mellom to heltall eller et tall som kan uttrykkes ved et slikt forhold. Brøken uttrykker en divisjon mellom to størrelser. En brøk lest som «to tredjedeler» kan skrives som

og i tekst også som 2/3. Tallet over brøkstreken kalles teller, og tallet under brøkstreken kalles nevner. Nevneren må være forskjellig fra null. I en ekte brøk er telleren mindre enn nevneren, ellers er brøken uekte. I en stambrøk er telleren lik 1.

Et rasjonalt tall er et tall som kan representeres med en brøk.

Brøker er viktige i mange praktiske anvendelser, for eksempel ved deling av en størrelse mellom ulike parter. Brøkregning er derfor sentralt i undervisning av matematikk på mange trinn i skoleverket.

Brøker kan også defineres for andre datatyper enn heltall, som for rotuttrykk og polynom.

Etymologi

Den indoeuropeiske roten er bhreg, med betydning «å brekke». Dette er samme betydning som for det latinske verbet frangere, perfektum partisipp fractus, som har gitt opphav til engelsk fraction og norsk fraksjon. Araberen Al-Khwârizmî (født ca 790) omtaler brøker med et arabisk ord for «brutte tall». Et tilsvarende uttrykk er av og til brukt i engelske bøker fra det 16. århundre. Til norsk kom ordet brøk via nedertysk brok, med betydning «brudd».

Terminologi

Telleren Tallet som står over brøkstreken, det vil si dividenden. Som huskeregel har det vært vanlig å si at nevneren står nederst og telleren står på toppen. I brøken 2/3 er tallet 2 teller.

Nevner Tallet som står under brøkstreken, det vil si divisor. I brøken 2/3 er tallet 3 nevner.

Fellesnevner Det minste felles multiplum til nevnerene til to eller flere brøker, det vil si det minste tallet som er delelig med alle nevnerne. Brukes når man skal sammenlikne, addere eller subtrahere brøker. Er nevnerne for eksempel lik 2, 3 og 5, blir fellesnevneren 30, idet 2 = 30:15, 3 = 30:10 og 5 = 30:6.

Brøkstrek Vannrett strek som settes mellom telleren (over streken) og nevneren (under streken).

Tekst og tale

I tekst kan en brøk skrives både med en horisontal brøkstrek og med en skråstrek, som i eller 3/5. Brøken kan både skrives og uttales som tre femtedeler eller som tre femdeler. Den første måten bruker ordenstall + «deler» for nevneren.

En brøkdel er en del av en helhet som kan uttrykkes som en brøk.

Formell definisjon

Intuitivt kan en brøk defineres som en divisjon mellom to heltall:

.

I en formell oppbygging av reelle tall kan en starte med å definere naturlige tall og kan derfra definere positive brøker, før en går videre til rasjonale tall og reelle tall. I en slik oppbygging i mengdelære er en brøk definert som et ordnet par, sammen med et sett av regneregler:

.

To brøker (a/b) og (c/d) er ekvivalente, det vil si tilhører same ekvivalensklasse, dersom ac = bd. Et rasjonalt tall kan representeres ved en ekvivalensklasse av brøker.

Som eksempel på definisjon av en operasjon for brøker, kan en bruke addisjon:

Generaliseringer

Definisjonen av en brøk som et forholdstall eller divisjon kan også brukes for andre typer matematiske størrelser, for eksempel en brøk av rotuttrykk. Både teller og nevner kan igjen være brøker, i en brudden brøk.

Også for komplekse tall kan en definere og bruke brøkuttrykk:

Her er reelle konstanter, og er den imaginære enheten.

I algebra kan en brøk være et forhold mellom to polynom, kalt en algebraisk brøk, en rasjonal brøk eller et rasjonalt uttrykk. En slik brøk er

.

Delbrøkoppspalting er en vanlig teknikk brukt for integrasjon av rasjonale brøker.

Brøktyper

Ekte og uekte brøker

En ekte brøk representerer et tall der telleren er mindre enn nevneren og der tallet er mindre enn 1, for eksempel 2/3. I en uekte brøk er telleren større eller lik nevneren.

Uekte brøker kan også skrives som et blandet tall, det vil si en kombinasjon av et heltall og en ekte brøk:

.

En ekte brøk kan også være definert ved to polynom, der polynomgraden til teller er lavere en graden til nevneren:

.

Stambrøk

En stambrøk er en positiv brøk med nevner lik 1. Alle brøker kan uttrykkes som en endelig sum av stambrøker, også kalt egyptisk brøk. Gjennom historien har stambrøker blitt svært mye brukt.

Brudden brøk I en brudden brøk er teller og/eller nevner selv en brøk. I det følgende eksempelet kalles og for småbrøker, a og c for småtellere og b og d for smånevnere. Brøkstreken mellom og kalles for hovedbrøkstrek. Brøken kan forenkles ved å bruke regneregler for brøker.

På engelsk kalles en brudden brøk for «complex fraction», som altså ikke er en brøk av komplekse tall.

thumb|300px|Standard form av kjedebrøk med n + 1 ledd og med heltallsverdi a0.

Dyadisk brøk

En dyadisk brøk er en brøk der nevneren er en potens av 2.

Seksagesimal brøk

En seksagesimal brøk har en nevner som er en potens av 60, altså skrevet i et seksagesimalsystem.

Kjedebrøk En kjedebrøk er en brøk der telleren kan skrives som en sum av et heltall og en ny brøk - og iterativt - der den nye brøken igjen kan skrives som en sum av et heltall og en ny brøk. Alle brøker har tellere lik 1.

Vanlig brøk Begrepet vanlig brøk (engelsk: simple fraction, common fraction, vulgar fraction) blitt brukt om brøker av to vilkårlige heltall, både for å skille fra stambrøker, desimalbrøker, seksagesimal brøker og brutte brøker.

Representasjon av brøker

Historisk har flere system vært brukt for å representere en generell brøk.

Desimalbrøk En desimalbrøk er en representasjon av en generell brøk som en endelig eller uendelig sum av brøker der nevneren er en dekadisk enhet (10, 100, 1000, ....), slik at brøken enkelt kan uttrykkes som et endelig desimaltall. Ofte skriver en desimaltallet med et endelig antall siffer, og underforstått bestemmer antallet siffer da enheten i nevneren:

En periodisk desimalbrøk har uendelig mange siffer, der en gruppe siffer gjentar seg selv. Dette er en representasjon av en uendelig sum av desimalbrøker:

Streken over en gruppe av tall indikerer at denne gjentar seg i det uendelige.

Prosent og promille

Prosent og promille er uttrykk for desimalbrøker: «Prosent» er hundredeler, og ordet betyr direkte oversatt «per hundre». Tyve prosent (20 %) svarer til 20/100. «Promille» betyr direkte oversatt «per tusen», og tre promille (3 ‰) er det samme som 3/1000.

Egyptisk brøk

En egyptisk brøk er historisk en representasjon som en sum av stambrøker. En slik sum kan skrives på mange forskjellige måter.

.

Brøken skrives (1/2)(1/4)(1/360), med summasjon underforstått.

Astronomisk brøk

En astronomisk brøk er historisk en brøk uttrykt i et seksagesimalt system.

.

I notasjonen til Otto Neugebauer (1899 – 1990) kan dette skrives som 0;15,1.

Sammenlikning av brøker

En sammenligning av brøker vil ha som mål å avgjøre om brøkene er like, eller hvilken som er størst og minst. Dette kan gjøres ved finne en felles nevner for brøkene, ved utvidelse eller ved forkorting.

Utvidelse

En utviding av en brøk gjøres ved å multiplisere telleren a og nevneren b med samme tall. Dette gir en ekvivalent brøk, det vil si en ny brøk som representerer samme tall som den opprinnelige.

En sammenligning gjøres ved å utvide alle involverte brøker til en felles nevner. Brøker med samme nevner kalles ensbenevnte.

Forkorting Dersom både teller og nevner kan deles med et tall c uten at der blir en rest, kaller man for nevnernes største felles divisor. Teller og nevner kan da divideres med dette tallet og gi en ekvivalent brøk.

Brøken sies å være forkortet med tallet c. I den følgende tall-eksemplet blir brøken forkortet med 2:

Når nevner og teller ikke har andre felles faktorer enn 1, er de to tallene relativt primiske. Da er brøken forkortet så mye som mulig.

Aritmetikk med brøker

Mange regneregler gjør det mulig å regne med brøker. Generelt kan det være mulig å forkorte brøken i svaret.

Addisjon og subtraksjon Hvis de to brøkene har samme nevner, kan man uten videre legge dem sammen eller trekke dem fra hverandre ved å addere eller subtrahere tellerne, og bevare nevneren:

Et tall-eksempel på en sum:

Hvis brøkene har ulike nevnere, blir det nødvendig å utvide den ene eller begge, slik at de får like nevnere. Som felles nevner kan en bruke produktet av de to nevnerene:

.

De to neste tall-eksemplene viser bruk av utviding i addisjon og subtraksjon.

Multiplikasjon To brøker multipliseres ved å multiplisere tellerne for seg og nevnerne for seg:

.

Et tall-eksempel med multiplikasjon:

Resiproke brøker Man finner den resiproke til en brøk ved å bytte om på brøkens teller og nevner:

Den resiproke brøken til 3/4 lik 4/3. Når brøken som er utgangspunkt er ekte, er den resiproke uekte, og omvendt.

Divisjon To vilkårlige tall (ulik null) kan alltid divideres ved å multiplisere dividenden med det resiproke tallet til divisoren, og dette gjelder også for divisjon av brøker:

.

«Brøker divideres ved å multiplisere med den omvendte brøk.» Et tall-eksempel:

Røtter og potenser For en brøk finnes n-te-rot ved å trekke den samme roten av både teller og nevner:

Et tall-eksempel:

Tilsvarende gjelder for den n-te potensen av en brøk:

Logaritmer Da en brøk er en divisjon, gjelder logaritmeregnereglen for divisjon også for en brøk:

Brøk som eksponent Hvis en brøk opptrer som eksponenten i en potens (med positivt grunntall), kan uttrykket omskrives til en rot:

Rasjonale tall

Et rasjonalt tall er et tall som kan representeres ved en brøk. Formelt er ordlyden viktig: En brøk er ikke et rasjonalt tall, men kan representere et slikt tall. To ekvivalente brøker representerer det samme rasjonale tallet, og til et hvert rasjonalt tall svarer det uendelig mange brøker. Formell innføring av reelle tall kan for eksempel følge en vei der en innfører først naturlig tall, så heltall, så brøker, så rasjonale tall, så reelle tall. I mer uformell sammenheng vil begrepene «brøk» og «rasjonale tall» kunne bli brukt om hverandre.

Brøkregning i skolen

Brøkregning er en viktig del av matematikkundervisningen i skolen. Undervisning i brøkregning starter på femte trinn.

Historie thumb|Utsnitt av del EA10057 av Rhind-papyrusen I primitiv matematikk finner en ikke bruk av noe som representerer en del av en helhet, kanskje fordi en alltid kunne velge den minste enheten liten nok.C.B. Boyer: A history of mathematics s.13ff I Egypt fikk en imidlertid tidlig behov for å kunne beskrive en del av en landeiendom: Hvis Nilen tok en del av eiendommen, kunne det gi rett til reduksjon av skatter. Oldtidens egyptiske matematikk viser flittig bruk av stambrøker, men et generelt brøkbegrep ser ikke ut til å ha vært kjent. En etterspurt brøk ble uttrykt som en endelig sum av stambrøker, som ga opphavet til navnet egyptisk brøk for en slik sum.. Av en eller annen ukjent grunn har en imidlertid også tatt i bruk brøken 2/3, med et eget symbol. Rhind-papyrusen fra omkring 1550 f.Kr. inneholder mange eksempel på egyptisk brøkregning, og papyrusen starter med en tabell over 2/n uttrykt som en sum av stambrøker, for odde verdier av n fra 5 til 101.

Babylonsk aritmetikk var generelt mer velutviklet enn egyptisk, og babylonerne regnet med brøker i sitt seksagesimalsystem.C.B. Boyer: A history of mathematics s.30ff Tallene , og ble skrevet på akkurat samme måten, og bare sammenhengen ville skille slike uttrykk. Forutsetningen var at de to potensene i et uttrykk var «naboer». Et generelt posisjonssystem for tall var ennå ikke utviklet, men babylonerne tok et steg på veien ved å oppdage at regning med slike spesielle uttrykk var teknisk sett uavhenging av potensgraden.

Det eldste, kjente kinesiske, matematiske manuskript Soluret og himmelens sirkler beskriver noen beregninger med brøker.C.B. Boyer: A history of mathematics s.217ff Tidfesting av dette manuskriptet er svært usikker, og estimat varierer med over tusen år. Den versjonen som er bevart