miniatyr|upright|Forsiden til den første engelske utgaven av Euklids Elementer, utgitt av Henry Billingsley i 1570.
Elementer (gresk: Στοιχεῖα, Stoikheia) er et læreverk i matematikk skrevet av grekeren Euklid omkring 300 f.Kr. Euklid ledet en skole i Alexandria, antagelig tilknyttet biblioteket i Alexandria. De 13 bøkene i verket er en grunnleggende innføring i geometri, både plan- og romgeometri, samt tallteori.
Den systematiske oppbyggingen av læreverket, med bruk av postulater, definisjoner, setninger og bevis, har hatt svært stor betydning for all senere matematikk. Elementer er blitt karakterisert som «den største og mest betydningsfulle lærebok i matematikk som er skrevet»T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.358 og som «den mest innflytelsesrike lærebok gjennom tidene»C.B.Boyer: A history of mathematics s.131. Verket og kommentarverk er gitt ut på en lang rekke språk over hele verden. I den vestlige verden er det antagelig bare Bibelen som har blitt distribuert videre og studert nøyere.
Elementer ble bevart i fragmenter på originalspråket og i arabiske oversettelser. I europeisk kultur ble verket gjenintrodusert i middelalderen, ved oversettelse fra arabisk til latin. Oversettelsene fikk stor betydning for revitaliseringen av matematikk i middelalderen. Verket fikk også betydning for utvikling av logikk og filosofi. Gjennom de følgende århundrene er verket blitt spredd i et utall oversettelser og bearbeidelser. På 1800-tallet førte studiet av Elementer til en fornying av det aksiomatiske grunnlaget for geometri. Det ble også oppdaget at det er mulig å definere flere alternative geometrier.
Euklid thumb|Euklid malt av Justus van Gent, omkring 1474. Tittelen i bildet reflekterer en vanlig navneforveksling med filosofen Euklid fra Megara.
På tross av den store betydningen til Elementer er svært lite kjent om Euklid. Mesteparten av kunnskapen kommer fra Det eudemiske sammendraget til Proklos, skrevet over 700 år etter at Euklid levde. Sammendraget er basert på et eldre verk, Geometriens historie av Eudemos, et verk som er gått tapt. Proklos er ikke kjent med nøyaktige leveår for Euklid, men relaterer ham i tid til andre kjente greske personer. Ut fra dette er det anslått at Euklid levde omkring 300 f.Kr., kanskje fra omkring 325 f.Kr. til ca. 265 f.Kr.A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.259ff
Proklos framstiller Euklid som platoniker, og Euklid har antagelig fått opplæring av elever av Platon i Athen. Platon la stor vekt på hypoteser og definisjoner.T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.292 Elementer er imidlertid ikke påvirket av den metafysiske tenkningen til Platon, som betraktet geometriske former som fundamentale byggesteiner i universet. Verket er mer preget av logikk-læren til Aristoteles.
Fra Pappos er det kjent at Euklid virket i Alexandria og dannet en skole i matematikk der. Euklid var kjent som en god pedagog, men han er ikke selv blitt tillagt nye matematiske resultater.C.B.Boyer: A history of mathematics s.115 Euklid store bidrag er at han har samlet materiale, systematisert det og gitt det en helhetlig form. Proklos skriver i Det eudemiske sammendraget at «... Euklid, som satte sammen Elementer, samlet mange av teoremene til Eudoksos, perfeksjonerte resultatene til Teaetetos og viste også på en ugjendrivelig måte resultater som forgjengere bare hadde vært vist løselig».T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.354 Eudoksos har fått æren for teorien om forholdstall, som er gjengitt i Elementer bind V. Teaetetos er tillagt materialet i bind X, om inkommensurable lengder.
Ifølge Proklos er det Ptolemaiois I som skal ha spurt Euklid om det finnes en enklere vei for å lære geometri enn gjennom Elementer, hvorpå Euklid skal ha svart at «det er ingen kongelig vei til geometri».
Euklid skrev også flere andre verk, både i matematikk, i optikk og i astronomi. Mangel på biografiske kilder har fått enkelte til å spekulere i om Euklid ikke er en historisk person, men at navnet har vært et pseudonym som har vært benyttet av flere matematikere fra Alexandria. En annen hypotese er at personen Euklid har ledet en gruppe matematikere som alle har bidratt til verkene. Et argument for begge disse teoriene er en variasjon i skrivestil som en kan finne i verkene etter Euklid. En slik variasjon er imidlertid ikke uvanlig også fra en og samme forfatter, og tilhengerne av disse teoriene er i mindretall.
Tittelen Elementer Det greske navnet på Elementer er Stoikheia,T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. II) s.568 et ord som kunne brukes både om «bokstaver i alfabetet», «geometriske former» og «byggesteiner». Grunnformen av ordet hadde betydning «en i en rekke». Bokstavene i alfabetet ble kalt «stoikheia» fordi de hadde en viss rekkefølge og orden. I omtalen av Elementer sier Proklos at verket forholder seg til resten av matematikken på samme måte som bokstavene i alfabetet forholder seg til språk.
Platon brukte ordet «stoikheia» ofte, som en betegnelse på grunnleggende kosmologiske elementer som bygger opp alle ting.
Flere grekere før Euklid hadde gitt ut læreverk i matematikk, og noen av disse hadde også brukt tittelen Elementer. Disse verkene er imidlertid tap og kun kjent gjennom senere omtale. Den første kjente forfatteren av Elementer er Hippokrates fra Khíos.T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.171T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.201 Andre kjente forfattere som har brukt samme tittel, er Leon og Teudios.T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.335
Euklid er ofte omtalt som stoikheiotes istedenfor ved navn, det vil si som «elementator» eller «forfatter av Elementer».T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.357
På norsk er verket blitt omtalt både som Elementer og som Elementene. Noen presentasjoner bruker begge titler side om side.
Oppbygging av læreverket
Organisering Elementer består av 13 bind eller bøker, i referanser ofte nummerert med romertall.
Bruken av grunnbegreper i læreverket er farget av vitenskapslæren til Aristoteles, som skilte skarpt mellom postulater og bruk av «allmenn innsikt» eller aksiomer. Aksiomer var betraktet som selvinnlysende utsagn, som alle ville være enig i, gyldig i alle vitenskaper. Postulater kunne være mindre opplagte og gjorde ikke krav på allmen aksept, men ble tatt som forutsetning i en gitt undersøkelse eller i en gitt vitenskap.C.B.Boyer: A history of mathematics s.116 Bind I blir som oftest framstilt som å inneholde fem postulater og fem «allmenne innsikter».A. Holme: Geometry. Our cultural heritage. s.69ff De eldre kildene er imidlertid ikke konsistente om dette, og noen kilder grupperer alle ti sammen. I dagens matematikk er det ikke vanlig å skille mellom «postulater» og «aksiomer».
Hoveddelen av verket består av setninger eller teoremer, med tilhørende bevis. Gresk matematikk skilte mellom analyse og syntese: I analyse blir et komplekst problem brutt ned til kjente elementer, mens syntese går ut på å utlede nye resultater fra kjente og beviste setninger. Elementer er helt og fullt gjennomført basert på syntese.T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.371 Verket inkluderer figurer, men ellers er formen verbal, uten bruk av ligninger eller formler.
Definisjoner
Elementer har verken forord eller innledning. Første bind går rett på sak med 23 definisjoner, der de tre første er slik:
Et punkt er det som ikke har noen del. En linje er en lengde uten bredde. Starten og slutten på en linje er punkter.
En linje trenger ikke være rett, men blir betraktet som endelig, det vi i dag omtaler som et linjestykke. Fortsettelsen inkluderer definisjon av vinkler, både rette, spisse og stumpe. En sirkel blir definert, med sentrum og diameter. En av definisjonene inkluderer et teorem tillagt Tales fra Milet, om at diameteren deler sirkelen i to. Trekanter blir også presentert, inkludert spesielle trekanter som likesidet, likebeint og rettvinklet. Firkantene kvadrat, rektangel, rombe og trapes er definert, men ikke parallellogrammet.
I bind I har Euklid til en viss grad bygd på definisjoner kjent fra Platons skole, men har også reformulert noen av disse. Et par av definisjonene er antatt å være laget av Euklid selv.
Bind VI definerer for eksempel formlike figurer. Bind X definerer kommensurable og inkommensurable størrelser.
Gresk geometri hadde ingen definisjoner av lengde, areal eller volum, og det ble ikke knyttet tallverdier til slike størrelser. Et spørsmål som «hva er arealet av en sirkel» ville derfor ikke gi mening i gresk geometri. Derimot kunne en sammenligne to størrelser av samme type, for eksempel ved å definere forholdet mellom to areal.
Respekt for tradisjonen viser seg ved at Euklid tar med enkelte definisjoner som ikke blir brukt videre i verket. Dette gjelder for eksempel definisjonen av en rombe.T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.373ff
Postulater thumb|right|Euklids femte aksiom sier at de to linjene h og k vil skjære hverandre i et punkt S hvis summen av vinklene α og β er mindre enn to rette vinkler.
De fem grunnleggende postulatene er gitt i bind I:A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.263A. Holme: Matematikkens historie (Bind 2) s.12
Mellom to punkter kan det trekkes en entydig linje. En linje kan forlenges vilkårlig i hver retning. Rundt hvert punkt kan beskrives en sirkel med en vilkårlig radius. Alle rette vinkler er like store. Hvis en rett linje skjærer to rette linjer slik at summen av de indre vinklene på samme side er mindre enn to rette vinkler, da skjærer de to rette linjene hverandre på den siden hvor de indre vinklene befinner seg, når linjene forlenges vilkårlig langt.
Postulat 4 er ofte omtalt som et teorem, men trengs som et postulat for at innholdet i postulat 5 skal ha mening.
Postulat 5 er det berømte parallellpostulatet. Parallelle linjer er introdusert i den siste definisjonen i bind I, men postulatet er formulert uten å nevne slike linjer. Postulatet gir et vilkår for at to linjer ikke er parallelle.
Thomas Heath mener at formuleringen av både det fjerde og det femte postulatet, muligens alle fem, må komme fra Euklid selv.
Aksiomer
De fem «allmenne innsiktene» eller aksiomene i Elementer er, i oversettelse fra engelsk:
Ting som er lik samme ting, er også like hverandre. Dersom likt blir lagt til likt, så er det hele også likt. Dersom likt blir tatt fra likt, så er resten også likt. Ting som er sammenfallende, er like. Det hele er større enn hver enkelt del.
Thomas Heath påpeker at aksiom 4 er knyttet til geometri og derfor ikke helt i samsvar med Aristoteles definisjon av aksiomer, som allmenne sannheter. Etter Heaths mening er det sannsynlig at de to siste aksiomene ikke er laget av Euklid, men er lagt til verket i ettertid.
Setninger og bevis
Hvert bind inneholder en rekke setninger eller teoremer som stegvis bygger på hverandre, med tilhørende bevis for hver setning. Referanse til en setning blir i dag vanligvis gitt ved numeret på bindet og setningsnummeret. Pytagoras’ læresetning er for eksempel gitt i slutten av bind I, som setning I.47.
Til en setning skulle det høre «data», det vil si former og objekter som var «gitt». Tilsvarende starter en i dag ofte geometriske problem med utsagn av typen «Gitt en rett linje og en sirkel med sentrum som ikke ligger på linjen». Euklid drøfter i et annet verk, Data, hva som ligger i at data er «gitt».T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.421 Dette verket ligger tett opp til de fire første bøkene i Elementer.
Der det har vært nødvendig for sammenhengen, har Euklid konstruert nye bevis, hvis rekkefølgen i verket har gjort at kjente bevis ikke har fungert. Beviset for Pytagoras’ setning er antagelig konstruert av Euklid selv.T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.378
Innhold i bøkene
Bok I - IV: Plangeometri
thumb|Illustrasjon til Euklids bevis for den pytagoreiske læresetning. fra en utgave i fra 1756.