Partielle differensialligninger er en type differensialligning som inneholder en ukjent funksjon (eller funksjoner) av flere uavhengige variabler og funksjonens partiellderiverte med hensyn på disse variablene. Partielle differensialligninger anvendes til å formulere og bidra til løsningen av problemer som inneholder flere variabler; spredning av lyd eller varme, elektrostatikk, elektrodynamikk, fluidmekanikk, elastisitet med flere. Et interessant poeng er at tilsynelatende veldig forskjellige fysiske fenomener kan baseres på den samme matematiske formuleringen og dermed være styrt av akkurat samme dynamikk.
Introduksjon En enkel differensialligning er
Denne relasjonen impliserer at verdiene u(x,y) er uavhengige av x. Dette betyr at den generelle løsningen av ligningen er
hvor f er en vilkårlig funksjon av y. En analog ordinær differensialligning er
som har løsningen
hvor C er en vilkårlig konstant verdi (uavhengig av x). Disse to eksemplene viser at generelle løsninger av ordinære differensialligninger inneholder vilkårlige konstanter, mens løsninger av partielle differensialligninger inneholder vilkårlige funksjoner. En løsning av en partiell differensialligning er generelt ikke unik. Typisk må det spesifiseres randbetingelser på det topologiske området hvor løsningen er definert. Ta eksemplet ovenfor: her kan funksjonen bestemmes fullstendig hvis spesifiseres på linjen .
Eksistens og entydighet Problemet rundt eksistens og entydighet av løsningen av ordinære differensialligninger gis et tilfredsstillende svar av Picard-Lindelöfs teorem; dette er langt fra sannheten når man studerer partielle differensialligninger. Cauchy-Kovalevskaya-teoremet sier at Cauchy-problemet for en partiell differensialligning som er analytisk i den ukjente funksjonen og dens deriverte, har en entydig analytisk løsning. Selv om dette tilsynelatende fastslår eksistens og entydighet av løsningene, så fins det eksempler på lineære partielle differensialligninger hvis koeffisienter har deriverte av alle ordener, men som ikke har noen løsning overhodet. Se Lewy (1957).
Selv om løsningen av en partiell differensialligning eksisterer og er unik, kan den ha uønskede egenskaper. Et eksempel på patologisk oppførsel er rekken av Cauchyproblemer (avhengig av n) til Laplace-ligningen
med initialbetingelser
hvor n er et heltall. Den deriverte av u med hensyn på y går mot 0 uniformt i x mens n øker, men løsningen er
Denne løsningen går mot uendelig hvis nx ikke er et heltallsmultiplum av π for enhver verdi av y forskjellig fra null. Cauchyproblemet for Laplaceligningen kalles dårlig formulert (eng: not well posed), siden løsningen ikke avhenger kontinuerlig av dataene til problemet. Slike dårlig formulerte problemer har vanligvis ikke en tilfredsstillende anvendelse til fysiske problemstillinger.
Notasjon For PDLer er det vanlig å benytte senket skrift for å angi de partiellderiverte. Det vil si:
Spesielt i matematisk fysikk foretrekkes ofte nabla-operator som i kartesiske koordinater skrives
for romlig deriverte.
For tidsderiverte brukes gjerne en prikk , men senket skrift brukes også. Man skriver da bølgeligningen (se nedenfor) slik
(matematisk notasjon)
(fysisk notasjon)
Eksempler Varmeligningen i én romlig dimensjon Ligningen for spredning av varme i én dimensjon for et homogent legeme er gitt som
hvor u(t,x) er temperatur, og α er en positiv konstant som beskriver raten til diffusjonen. Cauchy-problemet til denne ligningen består i å spesifisere , hvor f(x) er en vilkårlig funksjon. Generelle løsninger av varmeligningen kan finnes ved hjelp av metoden separasjon av variabler. Ved å benytte Fouriertransformasjon finner man at løsningen av varmeligningen har formen
hvor F er en vilkårlig funksjon. For å oppfylle initialbetingelsene er F gitt ved Fouriertransformasjonen av f, dvs.
Hvis f er representert ved en veldig liten, men intens varmekilde, så kan det foregående integralet tilnærmes med deltafordelingen multiplisert med lengden av kilden. I tilfellet hvor kildens styrke er normalisert til 1, er resultatet
og løsningen på varmeligningen blir da
Dette er et gaussisk integral som kan løses og gir
Resultatet er det samme som normalfordelingen for x med forventning 0 og varians 2αt. Varmeligningen og tilsvarende diffusjonsligninger er nyttige verktøy i studiet av tilfeldige fenomener.
Bølgeligningen i én romlig dimensjon I bølgeligningen skal den ukjente funksjonen u(t, x) tilfredsstille følgende ligning
Her angir u forflytningen av en strukket fjær fra likevekt, trykkforskjellen i et rør, eller størrelsen på et elektromagnetisk felt i et rør, og konstanten c er et tall som forteller noe om hastigheten til bølgen. Cauchy-problemet for denne ligningen består i å beskrive den opprinnelige forflytningen og hastigheten av en fjær eller et annet medium:
Her er f og g vilkårlige gitte funksjoner. Løsningen på problemet er gitt ved d’Alemberts formel
Formelen impliserer at løsningen i punktet (t,x) kun avhenger av dataene på segmentet av startlinjen som kuttes ut av de karakteristiske kurvene
som trekkes bakover fra det punktet. Disse kurvene tilsvarer signaler som propagerer med en hastighet c forover og bakover.
Omvendt, innflytelsen av dataene i et vilkårlig punkt på startlinjen propagerer med den endelige hastigheten c: det er ingen effekt på utsiden av et triangel gjennom punktet hvis sider er karakteristiske kurver. Denne oppførselen er svært forskjellig fra løsningen av varmeligningen hvor effekten av en punktkilde forekommer øyeblikkelig i ethvert punkt i rommet. Løsningen gitt over gjelder også hvis t er negativ og den eksplisitte formelen viser at løsningen har en glatt avhengighet i forhold til dataene: Cauchy-problemet for bølgeligningen er velformulert både forover og bakover for bølgeligningen.
Sfæriske bølger Dette er bølger hvor amplituden kun avhenger av den radielle distansen r fra en sentral punktkilde. For slike bølger ser den tredimensjonale bølgeligningen slik ut
Dette er ekvivalent til
hvilket betyr at størrelsen ru oppfyller den 1-dimensjonale bølgeligningen. En generell løsning for sfæriske bølger har derfor formen
hvor F og G er helt vilkårlige funksjoner. Stråling fra en antenne tilsvarer tilfellet med G identisk lik 0. Bølgefronten som sendes fra antennen har altså ingen forvrengning i tid: den eneste forvrengningsfaktoren er 1/r. Dette særpreget av uforstyrret propagering til bølger er ikke å finne igjen i to dimensjoner.
Laplaceligningen i to dimensjoner Laplace-ligningen for en ukjent funksjon av to variabler har denne formen:
Løsninger av denne ligningen kalles harmoniske funksjoner
Sammenheng med holomorfe funksjoner Løsninger av Laplace-ligningen i to dimensjoner er nært knyttet til analytiske funksjoner med en kompleks variabel (kjent som holomorfe funksjoner). De reelle og imaginære delene av en analytisk funksjon er konjugert harmoniske funksjoner. De oppfyller begge Laplaceligningen og gradientene deres er ortogonale. Hvis f=u+iv, så sier Cauchy–Riemanns ligninger at
og det følger at
Omvendt, for en vilkårlig harmonisk funksjon i to dimensjoner så er den realdelen til en analytisk funksjon, i det minste lokalt. Se Laplace-ligningen for detaljer.
Et typisk randverdiproblem Man ønsker å finne en løsning som tilfredsstiller vilkårlige verdier på randen av et område. Det søkes for eksempel etter en harmonisk funksjon som har verdiene u(θ) på enhetssirkelen. Poisson fant følgende løsning
Petrovsky (1967, p. 248) viser hvordan denne formelen oppnås ved å summere Fourierrekken til φ. Hvis r < 1, kan den deriverte av φ beregnes ved å derivere under integraltegnet. Det kan også verifiseres at φ er analytisk selv om u er kontinuerlig, men ikke nødvendigvis deriverbar. Dette er typisk for løsninger av elliptiske PDLer: løsningen er vesentlig glattere enn randdataene. Dette skiller seg fra løsningene av bølgeligningen, og mer generelle hyperbolske PDLer som typisk ikke har flere deriverte enn data.
Euler-Tricomi ligningen Euler-Tricomi ligningen brukes til å studere strømninger i nærheten av lydhastigheten.
Adveksjonsligningen Denne beskriver transport av en bevart skalar i et hastighetsfelt . Det vil si:
Hvis hastighetsfeltet har egenskapen, , kan ligningen forenkles til
Den endimensjonale adveksjonsligningen for stabil strømning ( konstant) blir vanligvis referert til som grisebingeproblemet. Hvis ikke er konstant og lik , blir ligningen referert til som Burgers’ ligning.
Ginzburg-Landau-ligningen Ligningen brukes i modelleringen av superledning.
Her er og konstanter og er den immaginære enheten.
Dyms ligning Oppkalt etter Harry Dym og forekommer i studiet av solitoner.
Initial- og randverdiproblemer
Mange problemer i matematisk fysikk er formulert som initial- og randverdiproblemer.
Vibrerende streng Hvis en svingende streng er strukket mellom to punkter x=0 og x=L, og u angir amplituden til forflytningen av strengen, så tilfredsstiller u den endimensjonale bølgeligningen i regionen 0<x<L og t er ubegrenset. Siden strengen er låst fast i endene, er også følgende randverdier oppfylt
i likhet med startverdiene
Metoden for separasjon av variabler for bølgeligningen
leder til løsningene
hvor
og konstanten k må bestemmes. Randverdiene gir da at X er et multiplum av sin kx, og k må være på formen
Her er n et heltall. Hert ledd i summen korresponderer til en bestemt vibrasjonsmodus av strengen. Modusen n=1 kalles den fundamentale, og frekvensen til de andre modiene er alle multiplum av denne. De danner overtonene til strengen, og de er grunnlaget for all musikalsk akustikk. Initialbetingelsene kan nå tilfredsstilles ved å representere f og g som uendelige summer av disse modiene. Blåseinstrumenter korresponderer til vibrasjoner av luftsøyler med en åpen og en lukket ende. Dette gir randbetingelsene
Metoden med separasjon av variabler leder i dette tilfellet til en løsning som består av en rekke med odde overtoner.
Det generelle problemet av denne typen løses med Sturm-Liouville-teori.
Vibrerende membran Hvis en membran strekkes over en kurve C som utgjør randen av et område D i planet, så styres vibrasjonene til denne av bølgeligningen
gitt at t>0 og (x,y) ligger inni området D. Randbetingelsene er hvis ligger på kurven . Metoden med separasjon av variabler leder til
som må tilfredsstille
Den siste ligningen kalles Helmholtz’ ligning. Konstanten k må bestemmes for å kunne tillate en ikke-triviell v som kan oppfylle randbetingelsene på C. Disse verdiene av k2 kalles egenverdiene til Laplaceoperatoren i D, og de assosierte løsningene er egenfunksjonene. Sturm-Liouville-teorien kan utvides til dette elliptiske egenverdiproblemet (Jost, 2002).
Det er ingen generelle metoder som kan anvendes for å løse ikkelineære PDLer. Likevel, eksistens og entydighetsresultater er ofte mulige, likeså bevis på viktige kvalitative og kvantitative egenskaper av løsningene. Enkelte ligninger har også beregnbare løsninger f.eks. den ikke-lineære Schrødingerligningen.
På tross av dette kan noen teknikker brukes på flere typer ligninger. h-prinsippet er den kraftigste metoden for å løse underbestemte ligninger. Riquier-Janet-teori er en effektiv metode for å finne informasjon om mange analytisk overbestemte systemer.
Karakteristikkmetoden, også kjent som similærtransformasjonsmetoden, kan brukes på noen svært spesielle tilfeller for å løse partielle differensialligninger.
I noen tilfeller kan en PDL bli løst via perturbasjonsanalyse hvor løsningen antas å være en korreksjon til en ligning med en kjent løsning. Alternativt kan en bruke teknikker fra numerisk analyse, fra enkle endelig-differanse-skjema til mer modne multigrid- og elementmetoder. Mange interessante problemer innen forskning og ingeniørvitenskap løses på denne måten med bruk av datamaskiner, gjerne superdatamaskiner.
Andre eksempler