Laplace-operator er en differensiell vektor-operator i matematikk, definert som divergensen til gradienten til en funksjon i et euklidsk rom. Laplace-operatoren anvendt på en funksjon skrives som regel som , eller , der er nabla-operatoren.
Definisjon Laplace-operatoren er en andreordens differensialoperator som i kartesiske koordinater er gitt ved:
Merk at må være to ganger deriverbar og at er definert ved:
Forskjellige koordinatsystem Hvordan Laplace operatoren uttrykkes, avhenger av koordinatsystemet.
To dimensjoner
I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved
der og er standard kartesiske koordinater i -planet.
I et polarkoordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved
der er avstand fra origo og er vinkel i forhold til det man vil kalle -aksen i et kartesisk koordinatsystem.
Tre dimensjoner I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved
der , og er standard kartesiske koordinater i -rommet.
I sylinderkoordinater er Laplace operatoren gitt ved
der er avstand fra origo til projeksjonen i -planet, er vinkel i forhold til det man vil kalle -aksen i et kartesisk koordinatsystem, og er høyden.
I kulekoordinater er Laplace operatoren gitt ved
der er avstand fra origo og angir vinkelen.
Se også Gradient Divergens Curl
Referanser
Kategori:Multivariat analyse Kategori:Differensialoperatorer Kategori:Fourieranalyse Kategori:Partielle differensialligninger