thumb|280px|Forsøk på en fremstilling av det projektive planet som vender inn i seg selv. Projektivt plan er en flate bestående av punkter og linjer som har egenskaper gitt ved projektiv geometri. Denne er mer fundamental enn euklidsk geometri ved at parallelle linjer ikke lenger finnes og heller ikke entydige sirkler. Den får dermed en mye løsere og generell struktur. Alle linjer skjærer hverandre i et punkt. Vinkler og lengder av linjestykker er ikke lenger meningsfulle konsept. I stedet vil det primære begrepet i det projektive planet være skjæringspunkt mellom linjer.

Det projektive planet er ikke plant i vanlig forstand, men må forstås som en abstrakt, matematisk flate. Hvis man prøver å forestille seg den i vårt vanlige, tredimensjonale rom, ville denne flaten se ut til å gå gjennom seg selv. Dette ville unngås hvis den befant seg i et rom med ekstra dimensjoner.

Allerede i renessansen ble den første innsikt i egenskapene til det projektive planet etablert i forbindelse med fremstillingen av perspektiv i bilder. To bilder malt på forskjellige ståsteder, vil i alminnelighet se forskjellige ut. Et rektangel vil for eksempel bli avbildet som en skjev firkant, mens en sirkel vil bli seende ut som en ellipse eller et annet kjeglesnitt. Men ved slike perspektiviske fremstillinger vil en linje alltid avbildes som en linje og dens skjæringspunkt med andre linjer vil kun flyttes, ikke forsvinne. Parallelle linjer i motivet vil se ut til å skjære hverandre i et forsvinningspunkt i bildet. Dette ligger på horisonten som er avbildningen av punktene som ligger uendelig langt borte.

Den fulle forståelse av det projektive planet har hatt betydning for utviklingen av ikke-euklidsk geometri. I dag er det av stor praktisk betydning i forbindelse med bildebehandling og datagrafikk. Vanligvis betegnes det projektive planet som P2 eller som RP2 for å understreke at det er beskrevet med koordinater som er reelle tall. Hvis man i stedet hadde benyttet komplekse tall, vil det betegnes som CP2. Dette komplekse, projektive planet er matematisk interessant og blir også studert med tanke på anvendelser innen teoretisk fysikk.

Postulater På samme måte som euklidsk geometri ble formulert ved en rekke definisjoner og aksiomer samlet sammen i Euklids verk Elementer, kan også egenskapene til det projektive planet defineres. Man antar som gitt at planet inneholder punkter og linjer som kan være insidente, det vil si at et punkt kan ligge på en linje eller at en linje kan gå gjennom et punkt. Selve om disse linjene blir vanligvis fremstilt som rette streker i en tegning, betyr ikke det nødvendigvis at de er fylt opp med punkter. Geometrien i dette planet er derfor et eksempel på en insidensgeometri. De grunnleggende postulatene kan nå sammenfattes som:

For to forskjellige punkt eksisterer det en unik linje som går gjennom begge punktene. For to forskjellige linjer eksisterer det et unikt punkt som ligger på begge linjene. Det eksisterer fire ulike punkter slik at det ikke finnes noen linje som er insident med mer enn to av dem.

Her er det første postulatet det samme som i euklidsk geometri. Det andre postulatet sier at alle linjer skjærer hverandre slik at det projektive planet har ingen parallelle linjer og er derfor mer generelt enn det affine planet. Det tredje postulatet kreves for å unngå degenererte spesialtilfeller som ikke har noen interesse. Uten det kunne man for eksempel tenke seg en situasjon hvor alle punktene ligger på en og samme linje.

Det euklidske planet kan utvides til å bli et projektivt plan ved å addere et ideelt punkt for hver retning med parallelle linjer. Dette ligger på en måte uendelig langt borte, men vil ha like stor betydning som alle andre punkt. To forskjellige, ideelle punkt vil definere en ny, ideell linje som på samme måte må ligge uendelig langt borte.

Med denne utvidelsen av det euklidske planet er det viktig å legge merke til at hver slik parallell retning kun definerer et ideelt punkt, da man i utgangspunktet kunne tenke seg at linjene kunne skjære hverandre i begge endene uendelig langt borte. Det betyr at enten man beveger seg i den ene eller andre retningen langs en linje, så kommer man til det samme, ideelle punktet i det projektive planet.

Homogene koordinater thumb|300px|Illustrasjon av en perspektivisk avbildning hvor lysstråler fra objektet passerer billedplanet og samles i øyet. Fra de tre postulatene kan man i prinsippet utlede alle egenskaper til det projektive planet ved rent logiske argument. Dette kalles vanligvis for syntetisk geometri som da blir en ren logisk konstruksjon. Alternativt kan egenskapene undersøkes som i analytisk geometri ved å bruke koordinater. Disse ble innført av August Möbius og Julius Plücker i tiden rundt 1830.

En naturlig koordinatisering av det reelle, projektive planet RP2  er basert på dannelsen av et bilde under en perspektivisk avbildning hvor lysstråler fra et objekt sendes mot øyet og gir en avbildning i et todimensjonalt plan som ligger mellom objektet og øyet. Alt dette befinner seg i et tredimensjonalt, euklidsk rom E3 med kartesiske koordinater Øyet er i origo, og bildeplanet ligger utenfor dette. Lyset fra et punkt på objektet følger da en rett linje til øyet og treffer dette med en retning som kan angis ved en vektor Dette er en sentralprojeksjon som kalles også for en lineær perspektivitet.

Denne retningsvektoren bestemmer også hvor lysstrålen går gjennom bildeplanet og kan brukes til å angi hvert punkt i dette planet. Da retningen til vektoren ikke forandres ved at den multipliseres med en konstant λ ≠ 0, vil vektorene og angi ett og samme punkt. Derfor vil for eksempel (12,-8,10) angi samme punkt som (-6,4,-5). Med denne ekvivalensen kan man etablere homogene punktkoordinater i det projektive planet. For alle reelle verdier av disse tre koordinatene finnes det et tilsvarende punkt i planet, bortsett fra punktet (0,0,0) som ikke angir noen retning i det euklidske rommet.

Linjekoordinater I denne realiseringen av det projektive planet vil en linje fremkomme som skjæringslinjen mellom et plan i E3 som går gjennom origo, og billedplanet. Ligningen for et slikt plan er hvor de tre koeffisientene a, b og c er komponentene til en vektor n som står normalt på planet. Linjen i det projektive planet er entydig bestemt av denne vektoren. Hver slik linje kan derfor koordinatiseres som hvor komponentene også nå kan ta alle reelle verdier bortsett fra [0,0,0]. Da det igjen er retningen til vektoren som er avgjørende, vil og beskrive samme linje. Disse koordinatene for linjen er derfor også homogene og kalles for homogene linjekoordinater. For å skille de fra de tilsvarende punktkoordinatene, skrives de med firkantparenteser i stedet for med runde parenteser.

Insidens For at et punkt i det projektive planet skal ligge på linjen , er det nødvendig at disse to vektorene står vinkelrett på hverandre. Da er prikkproduktet eller Når komponentene til n er gitt, vil denne ligningen gi alle punkt som ligger på den tilsvarende linjen. Punkt som ligger på samme linje er kolineære, for eksempel punkt som oppfyller Omvendt vil den samme ligningen med gitte verdier for komponentene til punktet x beskrive linjer som går gjennom dette punktet. Linjene er da kopunktuelle, som for eksempel linjene som alle går gjennom punktet (1,5,-2).

Hvis man har gitt to punkt og , vil det være en linje n i det projektive planet som går gjennom begge punktene. Da må både og være oppfylt. Linjen er derfor gitt ved kryssproduktet I det euklidske rommet E3 er dette vektoren som står vinkelrett på planet som a og b danner. Skrevet ut blir dermed koordinatene til linjen n = Ligningen for punktene på linjen er . Det betyr at tre punkt a, b og c ligger på samme linje når de homogene koordinatene oppfyller . Skriver man dette trippelproduktet ut, kan det uttrykkes ved en determinant slik at betingelsen for kolineæritet blir

.

Som et eksempel kan man bestemme linjen som går gjennom punktene (1,-2,3) og (0,2,1). Ved direkte utregning er den gitt ved vektoren som tilsvarer ligningen for linjer i punktkoordinater. Et punkt på linjen er da Det tilsvarer vektoren eller en annen, ekvivalent lineærkombinasjon.

Generelt kan hvert punkt på linjen som går gjennom punktene a og b angis ved en lineærkombinasjon for visse verdier av koeffisientene α og β. Man da koordinatene er homogene, er dette ekvivalent med hvor . For forskjellige verdier av λ  beskriver denne vektoren en rekke med punkter som ligger på linjen gjennom punktene a og b. Når er og likedan når blir For punkter på denne linjen kan parametrene (α,β)  betraktes som homogene koordinater for c med referanse til punktene a og b.

På helt tilsvarende måte kan man finne et punkt som går gjennom to linjer og , det vil si deres skjæringspunkt. Det er gitt ved vektoren . En linje gjennom dette punktet har ligningen eller i linjekoordinater. Betingelsen for at en linje k skal gå gjennom skjæringspunktet mellom linjene m og n, er derfor eller

.

En bunt med linjer som går gjennom skjæringspunktet for linjene m og n er gitt ved lineærkombinasjonen for forskjellige verdier av parametrene α og β. De kan også oppfattes som homogene koordinater for de forskjellige linjene i rekken definert ved referanselinjene m og n.

Regneoperasjoner med homogene koordinater forenkles ved å bruke denne vektornotasjonen for punkter og linjer. Men det er ikke alltid nødvendig eller praktisk. Vanligvis betegnes punkt i det projektive planet med store bokstaver og linjer med små. Bare når et homogent koordinatsystem foreligger, kan et punkt A angis mer presist som en vektor a med tre komponenter på samme måte som at en linje m kan spesifiseres ved en 3-komponent vektor m.

Ideelle punkt og linjer For at en lysstråle fra et objektpunkt til øyet (origo) skal krysse et punkt i billedplanet, kan den ikke være parallell til dette planet. En vektor som er parallell med billedplanet vil da ikke skjære dette og tilsvarer et punkt som på et vis ligger uendelig langt borte. I det projektive planet må også disse idelle punkt tas med på samme måte som vanlige, endelige punkt. De ligger på en linje som tilsvarer et plan i E3 gjennom origo som er parallelt med billedplanet. Denne ideelle linjen er derfor beskrevet ved en vektor som står normalt på billedplanet.

Ved å ta med den ideelle linjen med sine ideelle punkt, er det euklidske planet utvidet til å bli et projektivt plan. I det vil alle vanlige linjer krysse den ideelle linjen i et ideelt punkt. Da to linjer kun kan ha et skjæringspunkt, vil man komme til samme, ideelle punkt uansett i hvilken retning man beveger seg langs en linje mot det uendelige fjerne. En linje mellom to ideelle punkt faller sammen med den ideelle linjen. Vanlige linjer som ser ut til å være parallelle, skjærer hverandre i et ideelt punkt.

De homogene koordinatene til de ideelle punktene og deres felles linje avhenger av hvordan billedplanet legges inn i E3. Den mest symmetriske måten er å plassere det slik at det går gjennom punktene X = (1,0,0), Y = (0,1,0) og Z = (0,0,1). Disse tre punktene definerer et referansetriangel i det projektive planet. Hvert punkt kan da angis som Normalen til billedplanet definerer nå den ideelle linjen som n∞ = [1,1,1]. Denne linjen er derfor også beskrevet ved ligningen . Det betyr at alle ideelle punkt x∞ har homogene koordinater som summerer seg opp til null. For eksempel er et ideelt punkt i dette koordinatsystemet.

Standard koordinatsystem thumb|320px|Punkt og linjekoordinater i det projektive planet. Den ideelle linjen er skissert i rødt.