thumb|300px|Når et stykke kalkspat ligger over et rutet papir, kan man se dobbelbrytingen.
Dobbeltbrytning er et optisk fenomen der en lystråle spaltes i to ved å gå gjennom et krystallinsk materiale. Effekten ble først observert i kalkspat (islandspat) ved at en bakomliggende figur eller tekst ble sett dobbelt. I noen retninger gjennom krystallen er der ingen dobbeltbrytning. En slik retning kalles en optisk akse. Da den er en retning og ikke en bestemt linje gjennom krystallen, kan den alltid flyttes parallelt med seg selv.
Hver av de to nye lysstrålene er begge lineærpolariserte vinkelrett på hverandre og beveger seg gjennom materialet med forskjellige hastigheter eller tilsvarende brytningsindekser. De vil i allminnelighet variere med retningen lyset har i krystallen. Av den grunn kan dobbeltbrytende materialer deles opp i to hovedklasser. Når bare en brytningsindeks varierer med retningen, har den bare en optisk akse og krystallen sies å være «enakset» (engelsk: uniaxial). Derimot når begge indeksene tar forskjellige verdier i forskjellige retninger, har den to optiske akser slik at den omtales som «toakset» (engelsk: biaxial).
Kalkspat er enakset og én av krystallene hvor effekten er størst. Lysstrålen med konstant brytningsindeks kalles den ordinære og følger Snells brytningslov, mens den andre med variabel brytningsindeks er den ekstraordinære. Hos en toakset krystall er begge lysstrålene ekstraordinære.
Dobbeltbrytning kan også frembringes ved å utsette et materiale for et mekanisk spenning, elektriske eller magnetiske felt. Effekten anvendes i mange optiske instrument. Et av de første var Nicols prisme som kan benyttes både til å produsere og analysere polarisert lys. I dag benyttes effekten i LCD dataskjermer med flytende krystaller. Tidligere ble solbriller fremstilt med lignende materialer for å redusere sjenerende, reflektert lys. De første ble fremstilt av Polaroid Corporation.
Historie thumb|Rasmus Bartholin, 1625 - 1698. Dobbeltbrytning ble for første gang grundig studert av den danske matematiker Rasmus Bartholin som hadde fattet interesse for effekten i kalsittkrystaller som ble funnet på Island. Resultatet av sine undersøkelser publiserte han i 1669 i en avhandling med tittel Experimenta chrystalli Islandici. Ved å rotere krystallen, oppdaget han at det ene bildet av et punkt også roterte, mens det andre forble i ro som å se gjennom vanlig glass. Det første bildet tilskrev han en ekstraordinær lysstråle, mens det andre ble dannet av en ordinær stråle. E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.
Den nederlandske fysiker Christian Huygens fattet også interesse for det samme fenomenet. I sitt store verk Traité de la lumière fra 1690 beskrev han lys som bølger og kunne dermed forklare de fleste observerte fenomen i optikken. Utbredelse av en slik bølge var gitt ved det som i dag omtales som Huygens prinsipp. Det sier at hvert punkt i en eksisterende bølgefront gir opphav til små kulebølger som bygger opp en ny bølgefront tilhørende en ordinær lysstråle.
left|thumb|Når en lysstråle går gjennom en dobbeltbrytende krystall, vil den vanligvis splittes i to nye stråler som begge er planpolariserte.
I en dobbeltbrytende krystall kan det på en eksisterende bølgefront, ikke bare dannes nye kulebølger, men også bølger som brer seg utover i forskjellige retninger med ulike hastigheter. Istedenfor å danne en kulebølge, vil man dermed i hvert punkt også få dannet en ny bølge med form som en ellipsoide. Det er disse som bygger opp den ekstraordinære lysstrålen. O. Darrigol, A History of Optics, Oxford University Press, Oxford (2012). ISBN 978-0-19-876695-7.
Denne beskrivelsen til Huygens fikk liten oppslutning i de følgende årene da Newtons beskrivelse av lys som en strøm av partikler var blitt den dominerende teorien. Dette forandret seg på begynnelsen av 1800-tallet da franske fysikere oppdaget polarisasjon av reflektert lys som de studerte ved hjelp av dobbeltbrytende krystaller.
Som følge av mange eksperimentelle undersøkelser og teoretiske betraktninger kom Augustin Fresnel til at Huygens forståelse av lys som en bølgebevegelse var den riktige, men med den avgjørende forskjellen at svingningene i bølgene måtte være transverse. De skulle foregå i en elastisk eter som måtte ha spesielle egenskaper. Dobbeltbrytning ville oppstå i et slikt medium hvis det ikke var isotropt slik at bølgehastigheten ville bli ulik i forskjellige retninger. J.Z. Buchwald, The Rise of the Wave Theory of Light, The University of Chicago Press, Chicago (1989). ISBN 0-226-07886-8.
Omtrent femti år senere viste Maxwell at lys er transverse, elektromagnetiske bølger. På begynnelsen av 1900-tallet kom Einstein frem til at Maxwells teori er uavhengig av en eter. Dobbeltbrytning skyldes at noen dielektrisk materialer er anisotrope på grunn av deres krystallstruktur eller egenskapene til molekylene og atomene de består av.
Lysbølger i krystaller
Lys beveger seg gjennom et materiale på en måte som er styrt av Maxwells ligninger. Når materialet er transparent, er det dielektrisitetskonstanten ε som bestemmer de optiske egenskapene til materialet. Den forbinder det elektriske feltet E med forskyvningsfeltet slik at de er parallelle i et isotropt materiale. For en plan, elektromagnetisk bølge med vinkelfrekvens ω kan dets variasjon i tid og rom beskrives som en kompleks fasevektor
hvor bølgevektoren k angir dens bevegelsesretning. På samme vis vil de andre feltene D, B og H variere. De er forbundet gjennom Maxwells ligninger. Bølgen fyller hele rommet, men slik at feltene ved et visst tidspunkt vil være de samme der fasen k⋅r - ωt er konstant. Dette definerer et plan som utgjør en bølgefront. Da den har k som normal. kalles derfor også denne vektoren for bølgens «normalvektor».
Forholdet er bølgens utbredelseshastighet i materialet. Da den er utledet fra fasen, brukes ofte navnet «fasehastighet» for å understreke denne sammenhengen. Når materialet er isotropt, gir de elektromagnetiske ligningene at den blir u = c /n . Her er c lyshastigheten i vakum, mens er brytningsindeksen til materialet. Den er derfor den samme i alle retninger. M. Alonso and E.J. Finn, Fundamental University Physics, Volume II, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1978).
Anisotrope materialer thumb|300px|Feltvektorer I en plan bølge. Vinkel mellom E og D betegnes vanligvis med α og ikke θ som her. Forskyvningsfeltet D i en anisotrop krystall er ikke nødvendigvis parallelt med det elektriske feltet E. Men det finnes likevel alltid et kartesisk koordinatsystem hvor komponentene til disse feltene er proporsjonale med hverandre slik at , og . Da forskyvningsfeltet må oppfylle Maxwell-ligningen må derfor . På samme vis gir den tilsvarende ligningen for magnetfeltet B at begge disse vektorfeltene står vinkelrett på bølgevektoren.
De fleste krystaller kan betraktes som dielektrika med en permeabilitet som kan settes lik med den magnetiske konstanten. Derfor har man den enkle sammenhengen mellom de to magnetfeltene, De er koblet sammen med de elektriske feltene ved de to resterende Maxwell-ligninger. Fra sirkulasjonsloven følger nå at slik at disse tre vektorene står vinkelrett på hverandre.
Energitransporten i bølgen kan nå beregnes fra Poyntings vektor Da feltvektorene E og D ikke lenger er parallelle, vil derfor S og k generelt ikke ha samme retning i et anisotropt materiale. Det er derfor vanlig å si at bølgevektoren k gir retningen til bølgen, mens S angir retningen til den tilsvarende lysstrålen. Det er energien i denne som kan registreres, mens en bølges normalvektor ikke uten videre kan observeres.A. Sommerfeld, Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig (1959).
For å finne ut hva slags lysbølger som kan forekomme i en gitt krystall, må den siste Maxwell-lligningen løses med de sammenhengene mellom feltene som nå er etablert. Det er induksjonsligningen som for en plan bølge gir For en gitt retning av bølgevektoren k vil en løning av disse koblete ligningene bety en beregning av dens størrelse k og dermed også fasehastighten til bølgen. Dette er den sentrale delen av moderne krystalloptikk. Man finner da generelt for hver retning til k to løsninger med hver sin retning S av den tilsvarende lysstrålen og hver sin fasehastighet. I tillegg er hver av dem polarisert vinkelrett på hverandre der polarisasjonen angis ved retningen til forskyvningsfeltet D. Denne er alltid vinkelrett på bølgevektoren k. I dette generelle tilfellet vil begge disse løsningene representere ekstraordinære lysstråler. med egenskaper som varierer med retningen i krystallen.
Indeksellipsoider
Den elektromagnetiske feltenergien til bølgen er gitt som og må være konstant. Ved å skrive de tre permittivitene som og gir denne energitettheten ligningen
der koordinatene er proporsjonale med . Den beskriver en ellipsoide med halvakser gitt ved de tre brytningsindeksene nx, ny og nz. Av denne grunn kalles den også for indeksellipsoiden til det anisotrope materialet. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 978-0-521-64222-4. Dens betydning for dobbeltbrytning ble først klarlagt av Augustin Fresnel som kom frem til den i sin mekaniske modell for lysets gang i et anisotropt materiale. På hans tid hadde man ikke noen elektromagnetisk forståelse av lysets egenskaper. thumb|300px|Ellipsoide med halvakser a, b og c.
Hver tillatt verdi av forskyvningsfeltet D til bølgen må tilsvare et punkt på denne ellipsoiden. I tillegg må betingelsen være oppfylt. Den betyr at en slik løsning også må ligge på et plan gjennom dens sentrum. Planet vil da skjære ellipsoiden i en ellipse som har halvakser med lengder og som kan regnes ut fra kjennskap til retningen k. Disse to størrelsene er brytningsindeksene som tilsvarer to mulige fasehastigheter for bølgen. I hver retning eksisterer det derfor to tillatte bølger med vinkelrette polarisasjonsplan gitt ved retningene til de to hovedaksene. Da begge bølgene generelt har hastigheter som varierer med retningen, er de ekstraordinære og vil ikke uten videre følge Snells lov for lysbrytning.
Alternativt kan man også uttrykke den konstante feltenergien ved komponentene til det elektriske feltet E. Det gir på samme vis ligningen for ellipsoiden
med halvakser gitt ved de prinsipale lyshastighetene og For å skille denne fra indeksellipsoiden, omtales den vanligvis som Fresnel-ellipsoiden. Den kan benyttes til å bestemme hastighten til ekstraordinære lysstråler i forskjellige retninger.
Enakset krystall
I det spesielle tilfellet at = nz blir indeksellipsoiden en kule. Den geometriske løsningsmetoden gir derfor snittflater som alltid vil være sirkler slik at brytningsindeksen er den samme i alle retninger. Slike symmetriske materialer har en kubisk krystastallstruktur. Det mest kjente er kanskje diamant.
Når bare to av disse indeksene er like store, vil Indeksellipsoiden være symmetrisk om den tredje aksen slik at den er en «rotasjonsellipsoide» eller sfæroide. Det er vanlig å la z-aksen være denne tredje aksen. Snittellipsen gjennom denne ellipsoiden sentrum vil nå ha en halvakse med konstant lengde uavhengig av retningen k da den ligger i xy-planet. Det er derfor naturlig å kalle den tilsvarende brytningsindeksen no = for den «ordinære brytningsindeksen». Den tredje indeksen er da den «ekstraordinære». Slike enaksete materialer har en krystallstruktur som er trigonal, tetragonal eller heksagonal. I denne sammenhengen er kalsitt med en trigonal struktur mest kjent. thumb|360px|Indeksellipsoiden i koordinatplanet y = 0 for en énakset, negativ krystall da ne < no. For bølgevektoren k finnes to løsninger for polarisasjonen D. Den ene står vinkelrett på planet med brytningsindeks n0, mens den andre ligger i planet og er rettet mot P med brytningsindeks nθ.