Et målrom er en trippel av en mengde, en σ-algebra og et ikke-negativt mål på de ulike delmengdene gitt ved σ-algebraen. Mengden kan for eksempel være de reelle tallene. σ-algebra gir en måte å dele opp disse i ulike delmengder, for eksempel intervaller. betegner en måte å tilordne et mål på hver delmengde i σ-algebraen, for eksempel lengden av hvert intervall.
Målrom er et basiskonsept innen målteori, og generaliserer konsepter som lengde, areal og volum fra euklidsk geometri.
Definisjon En mengde er innen matematikk en veldefinert samling av objekter. En σ-algebra er videre en familie av delmengder i en gitt mengde slik atMcDonald og Weiss, A course in real analysis, side 24.
er ikke tom. Lukket under komplement: Hvis er med i så er komplementet også være med i Lukket under tellbare unioner: Hvis er en samling av mengder i er også unionen med i
og et mål på er en utvidet reell funksjon slik at for alle
Dersom er en følge av parvis disjunkte delmengder av , altså slik at for , så er .McDonald og Weiss, A course in real analysis, side 146.
En trippel kalles for et målrom.
Egenskaper Et målrom sies å være komplett dersom alle delmengder av alle med mål 0 også er i ; altså dersom og , så er . Ethvert målrom kan alltid utvides til et komplett målrom.McDonald og Weiss, A course in real analysis, side 148–149.
Eksempel La , og potensmengden til , altså .
Definer til å være
Trippelen er et målrom, og mer nøyaktig et sannsynlighetsrom, siden .
Referanser
Litteratur
Kategori:Målteori