thumb|250px|Bernhard Riemann, ca. 1862 som professor ved Universitetet i Göttingen.

Riemanns differensialgeometri omhandler matematiske egenskaper ved krumme flater og rom med vilkårlig høy dimensjon. Ved bruk av differensialregning og integrasjonsteori gir den en beskrivelse av de geometriske egenskapene til slike mangfoldigheter.

Denne differensialgeometrien ble lansert av den tysk matematiker Bernhard Riemann ved en forelesning i 1854. Den er basert på antagelsen at rommet kan tilordnes en metrikk med den egenskap at rommet i svært små områder lar seg beskrive med euklidsk geometri. Linjer med endelig utstrekning i rommet er da gitt som geodetiske kurver, vinkler mellom tangentvektorer til slike kurver kan beregnes sammen med størrelsen til areal eller volum av forskjellige underrom. Riemann viste i tillegg hvordan detaljert informasjon om rommets krumning i forskjellige retninger kan sammenfattes som komponenter til en krumningstensor.

Arbeidet til Riemann fikk raskt anvendelser i andre deler av matematikken som i teorien for kontinuerlige Lie-grupper og algebraisk topologi. I dag utgjør det en viktig del av matematisk analyse og har spilt en avgjørende rolle i teoretisk fysikk hvor den danner grunnlaget for Einsteins generelle relativitetsteori. Tidrommet er strengt tatt ikke riemannsk i små områder, men sies å være pseudoriemannsk da geometrien der er gitt ved Minkowski-metrikken i spesiell relativitetsteori. Standardmodellen for elementærpartikkelfysikk er likedan basert på gaugeteorier som formuleres matematisk på lignende vis som Riemann-geometrier.

Historisk bakgrunn

Gauss publiserte i 1827 sitt viktige arbeid om de geometriske egenskapene til todimensjonale, krumme flater. Dette var basert på å betrakte dem i vårt tredimensjonale rom hvor man kan benytte euklidsk geometri. Han var da kommet frem til at den geometrien til en slik flate kan beskrives å benytte vilkårlige koordinater (u,v ) på flaten som dermed kan tilskrives et kvadratisk linjeelement

De tre funksjonene E, F og G bestemmer flatens intrinsikke egenskaper som for eksempel dens krumning. I prinsippet kan de bestemmes på flaten uten å vite hvordan den er lagt inn i vårt rom. Det som her tilsvarer rette linjer, vil på flaten være geodetiske kurver slik som storsirkler på en kuleflate. Denne krumme flaten er beskrevet ved sfærisk geometri som hadde vært kjent i over to tusen år. Men det som gjorde fremstillingen til Gauss spesielt viktig, var at den viste at de geometriske egenskapene kunne være hva som helst avhengig av hvilke funksjoner E, F og G som karakteriserer den. Dermed kunne man tenke seg en uendelighet av forskjellige geometrier på flaten hvor euklidsk geometri ikke lenger syntes å ha noen privilegert rolle mer. M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume III, Oxford University Press, Oxford (1972). ISBN 978-0-19-506137-6.

Noen få år etter at Gauss sitt arbeid var blitt kjent, viste Bolyai og Lobatjevskij at man kan bygge opp en konsistent, ikke-euklidsk geometri med konstant, negativ krumning. Senere fikk den navnet hyperbolsk geometri. Denne oppdagelsen hadde sannsynligvis gjort Gauss enda mer interessert i å finne ut hva man virkelig mener med geometri og spesielt om vårt eget, tredimensjonale rom kunne vise seg å være ikke-euklidsk.

I 1854 skulle Riemann holde sin obligatoriske habilitasjonsforelesning ved Universitetet i Göttingen hvor han hadde studert og ønsket å fortsette som privatdosent. Han hadde da allerede utmerket seg som en dyp tenker og skaper av ny matematikk. Gauss ønsket derfor at temaet for prøven skulle være Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen med det håp at Riemann kunne kaste et forklarende lys over situasjonen. I denne forelesningen presenterte Riemann de grunnleggende idéene til det som i ettertid kalles hans differensialgeometri. Gauss var da allerede blitt alvorlig syk og døde året etterpå. E.T. Bell, Men of Mathematics, Simon & Schuster, New York (1986). ISBN 0-671-62818-6.

Metriske egenskaper thumb|250px|På en kuleflate tilsvarer storsirklerne rette linjer i vært euklidske rom.

Den grunnleggende antagelse i Riemanns nye geometri er at i et veldig lite område av et generelt, n-dimensjonalt rom eller det som nå kalles en mangfoldighet, er de geometriske egenskapene de samme som i et euklidsk rom. Matematisk betyr det at i dette området kan man benytte kartesiske koordinater slik at den kvadrerte avstanden mellom to nærliggende punkt med koordinatdifferenser er gitt som

Hvis man skal kunne sammenligne forholdene i forskjellige områder som ligger lengre fra hverandre, må man benytte mer generelle koordinater som forbinder disse områdene. Det er hensiktsmessig å skrive de som . Linjeelementet vil da ta en ny form på lignende vis som når man introduserer skjevvinklete koordinater i et euklidsk rom. Benytter man Einsteins summekonvensjon, har man da

hvor man summerer fra 1 til n over par med like indekser. De symmetriske koeffisientene utgjør de kovariante komponentene til den metriske tensoren. For en todimensjonal flate ville da , og med Gauss' notasjon. D.J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry, Addison-Wesley, Cambridge, Massachusetts (1950).

Geodetiske linjer

En rett linje i det euklidske rommet tilsvarer en geodetisk linje i et riemannsk rom. Det er en kurven som forbinder to punkt A og B slik at avstanden mellom dem målt langs kurven er kortest mulig. Den jevnt økende parameteren t kan i prinsippet velges fritt. Ved bruk av linjeelementet er denne buelengden av en slik vilkårlig kurve mellom de to punktene gitt ved integralet

når man innfører de deriverte . De utgjør komponentene til kurvens tangentvektorer. Beregningen av den korteste kurven er nå et variasjonsproblem hvor man søker den kurven som under variasjonen gir en forandring i lengden som tilsvarer et minimum. H. Goldstine, A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century, Springer, New York (1980).

Resultatet er enklest når man benytter den naturlige parametriseringen av kurven der man kan sette parameteren t  lik med dens egne buelengde s. Den geodetiske kurven er da gitt ved differensialligningen

når man innfører størrelsene

som kalles Christoffel-symbol. De er symmetriske i de to nedre indeksene, men utgjør ingen tensor. Her er de kontravariante komponentene gμν til den metriske tensoren definert ved

hvor på høyre side inngår Kronecker-deltaet med verdier som er én eller null avhengig av om de to indeksene er like eller forskjellige.

Indre produkt

Tangentvektorene til koordinatlinjene xμ(s ) danner tilsammen i hvert punkt et vektorrom med disse som basisvektorer. Enhver annen vektor kan dermed uttrykkes ved sine komponenter i denne basisen. Da man kan benytte euklidsk geometri et lite område rundt hvert punkt i det riemannske rommet, er indreproduktet av to slike vektorer veldefinert. Når de har koordinatkomponentene Uμ  og Vμ  i samme punkt, blir dette nå gitt som

det θ er vinkelen mellom dem.

På samme måte som på en todimensjonal flate kan man også i en mer generell mangfoldighet benytte flere forskjellige koordinatsystem. Komponentene til den metriske tensoren vil dermed forandres og derfor også ligningene for de geodetiske linjene. Likedan vil komponentene til hver vektor ta nye verdier, men indreproduktet mellom to av dem forblir uforandret. Det er invariant under slike koordinattransformasjoner. Alle disse sammenhengene ble videreutviklet etter Riemanns forelesning og omtales i dag som tensoranalyse.A.J. McConnell, Applications of Tensor Analysis, Dover Publications, New York (1957). ISBN 0-486-60373-3.

Parallell transport

I et lite område av et riemannsk rom er euklidsk geometri gyldig. Det er da ingen problem med å sammenligne en vektor med en annen i et nærliggende punkt. Hvis man benytter et lokalt, kartesisk koordinatsystem, vil da to parallelle vektorer i to forskjellige punkt ha de samme komponentene. Derimot ville disse kunne være litt forskjellige fra hverandre hvis man hadde benyttet krumlinjete koordinater. Forskjellen vil være proporsjonal med vektorens komponenter Vμ og den korte avstanden Δx mellom punktene. Derfor kan den skrives som

Her er koeffisientene Γμαβ ukjente størrelser. Men de kan betsemmes ut fra kravet om at vektorens lengde |V |2 = skal være konstant i dette lille området. Det betyr at koeffisientene som opptrer her er de samme Christoffel-symbolene som opptrer i den geodetiske ligningen og er gitt ved deriverte av den metriske tensoren.

Kovariant derivasjon

Hvis man har et vektorfelt på en slik mangfoldighet, vil det i hvert punkt finnes en bestemt vektor med komponenter Vμ(x). Den kan da på en entydig måte bli parallelltransportert til et nabopunkt x + Δx og sammenlignet med komponentene Vμ(x + Δx) der. På den måten kan man beregne den deriverte av vektorfeltet.

Dette vil være en retningsderivert som avhenger av hvordan de to punktene ligger i forhold til hverandre. Hvis man flytter seg et lite stykke Δs langs en linje med tangentvektoren u, vil da koordinatforskjellen mellom punktene være Δxα = uαΔs. Den deriverte av komponenten Vμ(x) i denne retningen er da definert ved

hvor leddet ΔV μ  opptrer på grunn av parallellelltransporten av Vμ fra punktet x til x + Δx. Nå er

i grensen hvor Δx → 0. Dermed faller retningsfaktoren uα ut, og man står igjen med den kovariant deriverte av vektorfeltet,

På høyre side opptrer Christoffel-symbolet som det også gjør ved tilsvarende derivasjon i euklidske rom beskrevet ved krumlinjete koordinater. M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1. Derivasjon av kovariante vektorkomponenter og mer generelle tensorer kan utledes på samme vis. Deres komponenter kan heves eller senkes ved å bruke den metriske tensoren som har den spesielle egenskapen at dens kovariant deriverte Dette forenkler ofte beregninger i tensoranalysen.

Riemanns krumningstensor thumb|240px|En vektor som bringes parallell med seg selv rundt en lukket kurve på en krum flate, kommer tilbake med en litt annen retning. Før Riemanns undersøkelser av denne geometrien var det ikke klart hvordan man skulle kunne beskrive krumningen til et slikt multidimensjonalt rom. Mens den på en todimensjonal flate kan sammenfattes i en størrelse som er den gaussiske krumningen, var det uklart hvordan dette kunne generaliseres til rom med flere dimensjoner. Nærliggende var det å ta utgangspunkt i denne fremgangsmåten ved å betrakte todimensjonale underrom definert ved forskjellige koordinatflater. Ved å kombinere slike flater i forskjellige retninger vil man kunne kartlegge krumningen til rommet.

En alternativ beskrivelse kan man komme frem til ved å se hvordan krumningen til rommet påvirker parallell transport av vektorer. For eksempel, hvis man befinner seg et sted på ekvator på en todimensjonal sfære med en vektor som peker rett nordover, vil den ikke forandre retning hvis den blir parallelltransportert langs en vei direkte til nordpolen. Hvis man istedet først parallelltransporterer den langs ekvator et stykke slik at den hele tiden peker nordover og så bringer den til nordpolen, vil man oppdage at den har en annen retning sammenlignet med vektoren som ble brakt dit langs den første veien. På den måten resulterer krumningen i at parallelltransport gir et resultat som er avhengig av den veien man benytter. Ved å sammenligne de resulterende komponentene til vektoren etter transport langs to forskjellige veier, har man dermed et uttrykk for rommets krumning.