I kompleks analyse, er residueteoremet, noen ganger kalt Cauchys residuesetning, et kraftig verktøy for å evaluere linjeintegraler av komplekse analytiske funksjoner over lukkede kurver; det kan også brukes til å beregne reelle integraler og uendelig serie. Teoremet generaliserer Cauchy integralteorem og Cauchys integrerte formel. Fra et geometrisk perspektiv kan det sees på som et spesielt tilfelle av generalisert Stokes-teorem.
Uttalelse Erklæringen er som følger: venstre|miniatyr|250x250pk|Illustrasjon av tilfellet. La være et enkelt lukket åpen mengde av de kompleks plan som inneholder en endelig liste over punktene , , og en funksjon som er definert og holomorf på . La være en lukket korrigerbar kurve i , og betegn viklingsnummeret av rundt av . Linjeintegralet til rundt er lik ganger summen av residyene av på punktene som er tellt like mange ganger som vikler seg rundt punktet:Hvis er en positivt orientert enkel lukket kurve. hvis er på imsiden av , og 0 hvis ikke, derfor følgermed summen over inni ..
Forholdet mellom restsetningen og Stokes teorem er gitt av Jordans curve theorem. Den generelle plan kurven må først reduseres til et sett med enkle lukkede kurver hvis total tilsvarer for integrasjonsformål; dette reduserer problemet til å finne integralet av langs en Jordan-kurve med i på insiden. Kravet om at skal være holomorf på tilsvarer uttalelsen om at utvendige derivater på . Dermed hvis to regioner av plan og av omslutter samme delmengde av , vil regionene og ligger fullstendig innenfor . Dermed følger det ater veldefinert og lik null. Følgelig så er konturen integrert av langs er lik summen av et sett med integraler langs stier , hver omslutter en vilkårlig liten region rundt en enkelt - rester av (opp til den konvensjonelle faktoren ) på . Oppsummering over , gjenoppretter vi det endelige uttrykket for konturintegralet når det gjelder svingete tall .
For å evaluere reelle integraler brukes resedysetningen på følgende måte: integranden utvides til det komplekse planet og dets residyer blir beregnet (noe som vanligvis er enkelt), og en del av den virkelige aksen utvides til en lukket kurve ved å feste en halv sirkel i øvre eller nedre halvplan, og danner en halvsirkel. Integralet over denne kurven kan deretter beregnes ved hjelp av residyteoremet. Ofte vil halvsirkeldelen av integralet gå mot null ettersom radiusen til halvsirkelen vokser, og etterlater bare den reelle aksedelen av integralet, som vi opprinnelig var interessert i. høyre|miniatyr|300x300pk|Konturen .
Referanser
Kilder
Eksterne lenker
Residue theorem in MathWorld Kategori:Analytiske funksjoner Kategori:Teorem i kompleks analyse