thumb|280px|Grafisk fremstilling av Coulomb-kraften mellom to elektroner som skyldes utveksling av et foton.
Andrekvantisering er en betegnelse som benyttes noen ganger for kvantisering av klassiske felt som beskrevet ved kvantefeltteori. Den har sitt utgangspunkt i arbeidet til Paul Dirac fra 1927 der han for første gang viste hvordan det elektromagnetiske feltet kan beskrives ved bruk av kvantemekanikk. Når dette feltet vekselvirker med partikler, vil det avhenge av deres posisjoner. Disse erstattes av kvantemekaniske operatorer som inngår i Schrödinger-ligningen. Dette kan omtales som en «førstekvantisering». Dirac viste hvordan selv feltet i neste omgang kan beskrives kvantemekanisk og forklarte dermed eksistensen av fotoner.
Samme år viste Pascual Jordan sammen med forskjellige medarbeidere hvordan også identiske, ikke-relativistiske partikler kan beskrives på lignende måte som kvant til et «Schrödinger-felt» som sammenfaller med bølgefunksjonen til en av partiklene. Avhengig av om denne kvantiseringen gjøres ved kommutatorer eller antikommutatorer, vil da den andrekvantiserte teorien beskrive bosoner eller fermioner. Året etter viste Werner Heisenberg sammen med Wolfgang Pauli hvordan denne fremgangsmåten kan generaliseres til relativistiske teorier. Dermed var grunnlaget for moderne kvantefeltteori etablert.S.S. Schweber, QED and the Men Who Made It, Princeton University Press, New Jersey (1994). ISBN 0-691-03327-7.
Kvantemekanisk grunnlag
Hamilton-operatoren til en ikke-relativistisk partikkel med masse m som beveger seg i et statisk potensiial U(x), kan skrives som
Den har bestemte egentilstander med kvantetall k som kan betraktes som ket-vektorer i et Hilbert-rom Det er praktisk å ortonormere dem slik at når man benytter et Kronecker-delta på høyre side. Da de må utgjøre et «fullstendig sett», vil de nå oppfylle
som er en av kvantemekanikkens grunnleggende postulater.D.J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.
De tilsvarende egenverdiene εk er partikkelens kvantiserte energier og finnes enklest ved å benytte en posisjonsbasis med vektorer i Hilbert-rommet. Disse vektorene er egenvektorer for partikkelens posisjonsoperator Egenverdiene er dens mulige posisjoner x. Da disse kan variere kontinuerlig, må man benytte Diracs deltafunksjon i normeringen
av de tilsvarende egenvektorene. I denne basisen kan egentilstandene representeres ved bølgefunksjonene Deres ortogonalitet kan dermed skrives som
mens
uttrykker at de utgjør et fullstendig sett. Det opprinnelige egenverdiproblemet tilsvarer nå løsningen av Schrödinger-ligningen
for én partikkel. R.L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.
Identiske partikler
De kvantemekaniske egenskapene til et system som består av N identiske partikler som beveger seg i det samme, ytre potensialet uten gjensidige vekselvirkninger, er nå gitt ved en total Hamillton-operator
Den er fullstendig symmetrisk under ombytte av partikler. Derfor kan dens egentilstandenr oppdeles i klasser som også er egentilstander under denne symmetrien. Tilstandene til identiske bosoner er totalt symmetriske, mens tilstandene for identiske fermioner er totalt antisymmetriske under slike ombytter. I begge tilfellene kan de skrives som hvor kvantetallene angir 1-partikkeltilstandene hver av partiklene kan befinne seg i. Et vilkårlig antall bisoner kan befinne seg i en slik tilstand, mens den kun kan inneholde maksimalt én fermion ifølge Paulis eksklusjonsprinsipp. Bytter man om for eksempel de to første partiklene i tilstanden, vil da den forandres som
hvor for bosoner og for fermioner. E.S. Abers, Quantum Mechanics, Pearson Education, New Jersey (2004). ISBN 0-13-146100-1.
Energien til en slik mangepartikkeltilstand er gitt ved summen av energiene εk til hver enkelt partikkel. Når antall partikler er stort, kan dens beregning bli vanskelig. Den kan betraktelig forenkles ved å utvide Hilbert-rommet for N partikler til et mye større «Fock-rom» som har plass til alle tilstandene for et vilkårlig antall partikler. Det må da innføres nye operatorer som forbinder tilstander som opprinnelig befinner seg i Hilbert-rom med forskjellig antall partikler.
Kreasjonsoperatorer
En kreasjonsoperator er definert ved å skape en ny partikkel med kvantetall k i en N-partikkeltilstand
Virker to slike operatorer på den samme tilstanden, forandres den til
Men da denne nye tilstanden har symmetriegenskapen må man ha at hvor har motsatte verdier for bosoner og fermioner. Denne egenskapen skrives vanligvis som
hvor den generaliserte kommutator for to operatorer og er definert som For bosoner er dette den vanlige kommutatoren, mens den for fermioner med vanligvis skrives med krøllete parenteser,
Den kalles da en «antikommutator» og opptrådte for første gang i forbindelse med Pauli-matrisene for partikler med spinn-1/2.
En 1-partikkeltilstand med kvantetall k er nå der er den tomme tilstanden uten partikler. Den betegnes vanligvis som «vakuum-tilstanden» til mangepartikkelsystemet.
Annihilasjonsoperatorer
Den adjungerte til kreasjonsoperatoren er annihilasjonsoperatoren Den fjerner en partikkel med kvantetallet k fra en vilkårlig tilstand. Hvis den virker på den tomme tilstanden, må den gi null,
Likedan når den virker på 1-partikkeltilstanden blir resultatet
Det følger fra den adjungrte sammenhengen sammen med at
I det generelle tilfellet virker den alltid på partikkelen som inntar førsteplassen i en vilkårlig tilstand På grunn av symmetriegenskapene til denne, kan hvilken som helst av partiklene opptre her. Derfor kan de i prinsippet alle bidra ved en beregning av virkningen til annihilasjonsoperatoren. For eksempel hvis man betrakter den enkle tilstanden , blir
Sammenlignes det med at må man ha at
Denne generaliserte kommutatoren mellom annihilasjonsoperatorer og kreasjonsoperatorer er grunnlaget for en feltteoretisk beskrivelse av slike mangepartikkelsystem. A.L. Fetter and J.D. Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Systems, Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-42827-3.
Antallsoperatorer
De nye operatorene har samme algebraiske egenskaper som stigeoperatorene for en kvantisert harmonisk oscillator. At de øker og minsker antall partikler i hver tilstand følger fra antallsoperatorene Kommutatorene
gjelder både for bosoner og fermioner. Det følger fra identiteten viser at er en heveoperator, mens er en senkeoperator.
Ved bruk av egenverdiene nk til disse antallsoperatornene som også kalles for «besettelsetall» eller «okkupasjonstall», kan nå mangepartikkeltilstandene skrives på den alternative måten hvor n0 angir hvor mange partikler er i laveste 1-partikkeitilstand med ε0, n1 er antallet med nest laveste energi ε1 og så videre. For bosoner med kan antall partikler i en bestem 1-partikkeltilstand økes vilkkårlig mye ifølge
Derimot for fermioner med er ikke det mulig fordi i dette tilfellet. Det betyr at antallsoperatoren oppfyller
og kan derfor bare ta verdiene nk = 0 eller 1. Det viser som forventet at Paulis eksklusjonsprinsipp gjelder.
Schrödinger-felt
Ved bruk av én-partikkeltillstandene kan man på denne måten bygge opp en basis av mangepartikkeltilstander i Fock-rommet. En vilkårlig, annen basis kan derav utledes ved vanlig, kvantemekanisk transformasjonsteori. En spesielt viktig basis er basert på 1-partikkeltillstandene for en partikkel i posisjon x. Fullstendighetsrelasjonen gir nå
Her er nå slik at der
er en ny kreasjonsoperator som skaper en partikkel i posisjonen x i det fysiske rommet. Den adjungerte operatoren
fjerner en partikkel som befinner seg i samme punkt. Denne nye annihilasjonsoperatoren er feltoperatoren for dette systemet av identiske partikler. Omvendt kan man si at alle partiklene er identiske fordi de skapes av det samme, kvantiserte feltet.
Alt hva som tidligere kunne beskrives ved de opprinnelige stigeoperataorene, kan nå uttrykkes ved disse ny feltoperatorene. For eksempel er den kanoniske kommutatoren i denne andrekvantiserte teorien
fordi 1-partikkeltilstandene utgjør et fullstendig sett. Derimot kommuterer felttoperatoren med seg selv i et annet punkt.
Hamilton-operator
Fra definisjonen av feltoperatoren vil produktet
være et uttrykk for antall partikler i posisjonen x. At det virkelig er tettheten av partikler i dette punktet, kommer tydelig frem fra integralet
Denne operatoren gir dermed det totale antall partikler i en mangepartikkeltilstand ved å summere opp okkupasjonstallene ifor hver 1-partikkeltilstand.
På samme vis kan den totale energien i systemet uttrykkes ved 1-partikkelenergiene εk og dermed finnes fra Hamilton-operatoren
Innholdet av den store parentesen her er Hamilton-operatoren for en enkelt partikkel i det ytre potensialet U(x). Den totale Hamilton-operatoren kan derfor skrives som et integral over en «Hamilton-tetthet»
Her er en operator i den førstekvantiserte 1-partikkelteorien, mens er Hamilton-operatoren I den andrekvantiserte mangepartikkelteorien.
Tidsutvikling
Det er en totale Hamilton-operatoren som bestemmer tidsutviklingen av tilstandsvektoren til hele systemet av identiske partikler. Den er gitt ved løsning av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen
I dette «Schrödinger-bildet» er operatorene som virker på disse tilstandene, uavhengige av tiden. En alternativ beskrivelse av systemet kan gis i Heisenberg-bildet der tilstandene er uforanderlige og all tidsvariasjon er lagt til operatorene som virker på dem. For feltoperatoren betyr det at den utvikler seg som
Ved her å benytte at blir dermed
I motsetning til en relativistisk feltoperator hvor summen inneholder også et lignende ledd med kreasjonsoperatorer for antipartikler, inngår her bare ett ledd da denne andrekvantiserte teorien er ikke-relativistisk. Den kanoniske kommutatoren
gjelder fremdeles såfremt de to operatorene inngår med samme tid. F. Mandl and G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, New York (1984). ISBN 0-471-90650-6.
Denne tidsutviklingen er ekvivalent med hva som følger fra Heisenbergs bevegelsesligning
Det ikke-relativistiske kvantefeltet oppfyller derfor den samme Schrödinger-ligningen som bølgefunksjonen for en enkelt partikkel gjør. Dette er en av grunnene for at det bærer navnet Schrödinger-felt.
Vekselvirkninger
Når partiklene kan bevege seg helt fritt, er hver av dem beskrevet ved Hamilton-operatoren hvor impulsoperatoren Dens egenfunksjoner er plane bølger
når de beregnes i et stort volum V med periodiske grensebetingelser. Impulsen til partikkelen beskrevet ved denne bølgefunksjonen, er nå , mens dens energi er Den tilsvarende feltoperatoren tar nå formen
som gjelder både for bosoner og fermioner.
Ytre potensial
Når disse identiske partiklene befinner seg i et felles, ytre potensial, er Hamilton-operatoren for hver av dem. De plane bølgene er ikke lenger løsninger av 1-partikkel Schrödinger-ligningen som nå er generelt vanskelig å løse eksakt. Men de danner likevel et fullstendig sett av løsninger som verifiseres ved at
når man benytter den matematiske overgangen
i grensen der volumet V blir veldig stort. Ved et bestemt tidspunkt t = 0 kan derfor feltoperatoren fremdeles skrives som
mens den ved andre tidspunkt vanskelig kan beregnes. Prinsipielt er den gitt ved bruk av den totale Hamilton-operatoren
Her opptrer faktoren som er den Fourier-transformerte
av det ytre potensialet. Det første leddet i Hamilton-operatoren representerer den kinetiske energien til partikkelen med impuls ħ k før den vekselvirker med potensialet. Fourier-komponenten Uq tilfører den en impuls ħ q slik at den forlater potensialet med impulsen ħ k + ħ q. Dette representerer en spredning av partikkelen mot potensialet. Det tilsvarende spredningstverrsnittet kan nå regnes ut på en systematisk måte ved en Born-ekspansjon av spredningsamplituden basert på denne vekselvirkningen i Hamilton-operatoren.