thumb|240px|Feynman-diagram for utsendelse av ett foton fra elektron i bevegelse. Kvantisert strålingsteori omhandler kvantisering av elektromagnetisk stråling. Dette teoretiske gjennombruddet ble gjort av Paul Dirac i 1927 kort etter kvantemekanikken var etablert for partikler. Det viste at strålingen kan beskrives som masseløse partikler som Einstein allerede i 1905 hadde foreslått som en forklaring av fotoelektrisk effekt. I tillegg viste arbeidet til Dirac at fotonene oppfylte Bose-Einstein statistikk.

I den kvantiserte strålingsteorien kan fotoner emitteres og absorberes av partikler med elektrisk ladning. Deres totale antall er derfor ikke konstant. En tilsvarende teori for ikke-relativistiske partikler ble snart utviklet av Pascual Jordan og andre. Den blir i dag ofte omtalt som andrekvantisering. Med etableringen av Dirac-ligningen i 1928 ble relativistisk kvantefeltteori utviklet i årene som fulgte. Den opprinnelige strålingsteorien tok dermed etter hvert formen til moderne kvanteelektrodynamikk for kvantisert stråling og elektroner. Det er den mest nøyaktige teori som noensinne er laget.S.S. Schweber, QED and the Men Who Made It, Princeton University Press, New Jersey (1994). ISBN 0-691-03327-7.

Elektromagnetiske felt

Den klassiske teorien for elektromagnetiske felt er formulert ved Maxwells ligninger. De beskriver hvordan det elektriske feltet og det magnetiske feltet varierer i tid og rom. Når feltene opptrer som stråling, består denne av elektromagnetiske bølger. Kvantisert strålingsteori beskriver de elektromagnetiske feltene som her opptrer, i overensstemmelse med kvantemekanikkens prinsipper. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.

En kvantemekanisk beskrivelse er basert på Schrödinger-ligningen hvor strålingens Hamilton-operator inngår. Den bygger på den klassiske energien til systemet. For den frie strålingen er den gitt ved energitettheten

der ε0 og μ0 er henholdsvis elektrisk og magnetisk konstant i SI-systemet med måleenheter. De to feltene som opptrer her, er ikke uavhengige av hverandre, men er forbundet gjennom ligningene til Maxwell. Han innførte vektorpotensialet slik at

hvor er Coulomb-potensialet som er null for fri stråling. Dens klassiske Hamilton-funksjon tar dermed formen

og danner grunnlaget for kvantemekanisk fremstilling av strålingens egenskaper. Det vil innebære en kvantisering av vektorpotensialet som er den grunnleggende variable i denne strålingsteorien.

Da vektorfeltet har tre komponenter, kan det derfor se ut til det også er antall frihetsgrader i denne feltteorien. Men på grunn av gaugeinvarians er det her naturlig å gjøre bruk av den ekstra betingelsen

Dette kravet kalles for valg av strålingsgauge eller «transvers gauge». Det elektromagnetiske feltet inneholder derfor to frihetsgrader. W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, Oxford Universiity Press, England (1960).

Periodiske grensebetingelser

Klassisk strålingsteori er basert på lløsninger av Maxwells ligninger. Disse er avhengig av grensebetingelsene som feltene må oppfylle. En kvantisering av vektorfeltet kan på mange måter gjøres mest direkte ved å benytte dets Fourier-komponenter i et stort volum V = L3 hvor det pålegges periodiske grensebetingelser. Da er

Da må bølgevektoren ha retningsvektoren med komponenter og så videre. Hvis nå for eksempel vil feltet forbli uforandret. J.J. Sakurai, Advanced Quantum Mechaniics, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1967).

Fourier-komponentene i denne fremstillingen er generelt komplekse, men oppfyller da feltet er reelt. Det kan benyttes til å uttrykke den elektromagnetiske feltenergien ved disse komponentene. Da det elektriske feltet nå tar formen

hvor blir det elektriske bidraget til denne gitt ved integralet

Her er gjort bruk av ortonormeringen

som igjen følger fra det 1-dimensjonale integralet

som opptrer her ved bruk av periodiske grensebetingelser og kan uttrykkes ved et Kronecker-delta på høyre side. Av samme grunn kan summen over alle mulige bølgevektorer erstattes med integralet

når volumet V  blir veldig stort.

Magnetisk bidrag Det tilsvarende bidraget til feltenergien fra magnetfeltet

blir på lignende måte

når man benytter den transverse gaugebetingelsen som betyr at Summen av de elektriske og magnetiske bidragene til den fri feltenergien tar dermed den endellige formen

hvor er vinkelfrekvensen forbundet med bølgevektoren k via lyshastigheten

Polarisasjonsvektorer

Gaugebetingelsen betyr at Fourier-komponenten ligger I et plan som står vinkelrett på bølgevektoren k. Det er derfor hensiktsmessig å innføre to ortogonale «polarisasjonsvektorer» De kan i alminnelighet være komplekse og kan normeres som

Sammen med enhetsvektoren danner de et fullstendig sett av vektorer i det 3-dimensjonale rommet. De har derfor den spesielle egenskapen

som har mange praktiske anvendelser.

Hver Fourier-komponent av vektorfeltet kan nå i denne basisen splittes opp i to komplekse vektorkomponenter

slik dat hele feltenergien tar formen

Her beskriver hvert ledd i den doble summen energien til en 2-dimensjonal harmonisk oscillator da utslaget til denne er en kompleks størrelse.

Polarisasjonsindeksen λ  kan ta to verdier tilsvarende de to retningene feltvekktoren kan ha i forhold til bølgevektoren k. Hvis denne er i en retning z, kan det elektriske feltet ha en retning langs x- eller y-aksen. Disse to retningene er beskrevet ved polarisasjonsvektorene ex  og ey. Bølgen er da «lineært polarisert». Derimot er sirkulær polarisasjon beskrevet ved de komplekse vektorene

tilsvarende høyrevridd (R ) og venstrevridd (L ) polarisasjon. Begge vektorene står vinkelrett på bølgevektoren k, men går over i hverandre når denne skifter retning.

Feltkvantisering

I den elektromagnetiske feltenergien har komponenten en konjugert impuls som også er kompleks. Den konjugerte impulsen til det magnetiske vektorpotensialet A er derfor det elektriske feltet E. Kvantisering kan nå gjennomføres ved å la disse to variable bli operatorer og som oppfyller de kanoniske kommutatorene

Dermed er strålingen beskrevet ved Hamilton-operatoren

for uendelig mange, kvantiserte «strålingsoscillatorer». Egenverdiene til operatorene finnes på vanllig måte ved å innføre kreasjons- og annihilasjonsoperatorer definert ved

De kanoniske kommutatorene tar nå formen

Derfor er en annihilasjonsoperator, mens er en tilsvarende kreasjonsoperator som skaper et ekstra kvant i en elektromagnetiske mode (k,λ). Det totale antall kvant i denne moden er gitt ved egenverdien tii antallsoperatoren som kan være 0, 1, 2 og så videre.

Energi og impuls Ved hjelp av disse nye stigeoperatorene tar nå Hamilton-operatoren for stråliingsfeltet formen

På denne måten er det klart at den kvantemekaniske beskrivelsen av elektromagnetisk stråling er matematisk ekvivalent med et system av uendelige mange harmoniske oscillatorer.

Klassisk teori viser at elektromagnetiske bølger utøver et strålingstrykk. Det skyldes en fluks av impuls som kan finnes fra en utvidelse av Poyntings teorem, og har en tetthet = . Dermed er den totale impulsen i feltet gitt ved

Vektorproduktet kan her forenkles ved bruk av gaugebetingelsen Etter å ha innført komponentene av feltet langs de to polarisasjonsvektorene, blir den kvantemekanisk impulsoperatoren

etter å ha latt i den siste summen etterfulgt av et ombytte av de to operatorene.

Fotontilstander

Egentilstander for både energi og impuls kan konstrueres ved bruk av kreasjonsoperatorene til feltet på samme måte som for den éndimensjonale oscillatoren. Den laveste tilstanden eller «grunntilstanden» inneholder ingen kvant og må derfor oppfylle

Energien til denne tomme tilstaden er ikke null, men

Denne summen er divergent eller uendelig stor da feltet inneholder uendelig mange oscillatorer. Men under andre forhold der utstrekningen til feltet er begrenset på en eller annen måte, kan en slik divergent sum likevel gi et endelig svar. Dette fenomenet omtales som Casimir-effekt og er blitt eksperimentelt påvist på mange forskjellige måter. S. K. Lamoreaux, Casimir forces: Still surprising after 60 years, Physics Today 60 (2), 40-46 (2007).

Tilstanden med ett kvant i moden (k, λ) er nå

Den har energi og impuls Da er Det betyr at dette kvantet er en masseløs partikkel som i dag bærer navnet foton.

En generell tilstand med foton i denne moden blir nå

Tilstanden er éntydig gitt ved antallet av fotoner med samme kvantetall (k,λ) den inneholder. Ingen andre kjennemerker finnes for å skille dem fra hverandre og de må betraktes som identiske partikler. Da det ikke er noen begrensninger på hvor mange fotoner tilstanden kan inneholde, er de derfor bosoner og adlyder Bose-Einstein statistikk.

Ved bruk av en senkeoperator kan antall foton i tilstanden forandres på den måten at

Den tilsvarende heveoperatoren gir i stedet

Det er dette algebraiske uttrykket som Dirac i 1927 viste kunne forklare sammenhengen mellom Einsteins strålingskoeffisienter.

Tidsutvikling

De forskjellige kvantetilstandene har en tidsutvikling som er gitt ved Schrödinger-ligningen, mens operatorene forblir de samme. På den måten har man en beskrivelse av systemet i Schrödinger-bildet. Derimot er kvantisert feltteori vanligvis mest hensiktsmessig fremstilt i Heisenberg-bildet der tilstandene forblir uforanderlige, mens operatorene varierer med tiden. De følger da bevegelsesligningene som for annihilasjonsoperatorene gir

eller

Sammen med resultatet for den tilsvarende kreasjonsoperatoren har man da for Forurier-komponenten

Det betyr at det kvantiserte vektorpotensialet tar den endelige formen

i Heisenberg-bildet. Denne operatoren viser tydelig bølge-partikkel-dualiteten i beskrivelsen av et foton med kvantetallene (k,λ). Feltoperatoren som beskriver skapelse og annihilasjon av denne partikkelen, er den klassiske bølgen hvor amplituden er blitt en stigeoperator. T.D. Lee, Particle Physics and Introduction to Field Theory, World Scientific, Singapore (1988). ISBN 3-7186-0033-1.

Historisk tilbakeblikk Denne forståelsen av det elektromagnetiske feltet kan føres helt tilbake til Max Planck da han i 1900 oppdaget sin lov for sort stråling. Den kom han frem til ved å anta at strålingen var i kontakt med materielle partikler som bare kunne avgi eller motta energi i diskrete kvant. Selve strålingen mente han måte beskrives klassisk som et kontinuerlige felt styrt av Maxwells ligninger. Det var Einstein som ved studier i 1905 av den fotoelektriske effekten kom frem til at energikvantene måtte betraktes som partikler eller fotoner i selve strålingen. En av de første som beskrev denne som harmoniske oscillatorer, var Peter Debye noen få år senere. Men det var først ved etableringen av den nye kvantemekanikken i 1925 og arbeidene til Pascual Jordan og Paul Dirac at den endelige, kvantefeltteoretiske formuleringen ble utarbeidet. A. Pais, Inward Bound, Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.

Transvers fotonpropagator

I klassisk elektrodynamikk beregnes kobling av feltet til eksterne, elektriske strømmer ved hjelp av de retarderte løsningene av bølgeligningen. Disse er gitt ved Green-funksjon som tilfredsstiller spesielle grensebetingelser. Den tilsvarende, kvantemekaniske koblingen er også gitt ved en Green-funksjon, men med andre grenebetingelser først formulert ved Richard Feynman. Denne kalles vanligvis for en propagator til fotonet da den beskriver dets bevegelse.

Ved valg av Coulomb-gaugen er opptrer fotonet som et kvant for det transverse vektorfeltet A(x,t). På samme måte som for andre felt defineres propagatoren ved vakumforventningsverdien av et tidsordnet produkt av feltoperatoren i to forskjelige punkt. Det blir nå

hvor tidsordningen er uttrykt ved Heavisides steppfunksjon og Ved å bruke definisjonen av denne som et komplekst integral, kan dette forenkles til

på samme måte som for Klein-Gordon-feltet. Her kan