thumb|280px|Linjene i et Feynman-diagram for elektron-positron spredning tilsvarer propagatorer for elektroner og fotoner. Tiden øker her mot høyre.
Propagator er en Green-funksjon som blir benyttet i kvantemekanikk og kvantefeltteori. Den beskriver bevegelsen til en partikkel og representerer sannsynlighetsamplituden for at den skal bevege seg fra et punkt til et annet punkt i et gitt tidsrom.
En ikke-relativistisk partikkel beveger seg alltid fremover i tiden, men opptrer vanligvis i en propagator med en energi som ikke er den samme som for en fri partikkel med samme impuls. Propagatoren for en relativistisk partikkel kan også bevege den bakover i tiden og uttrykker på den måten bevegelsen til sin egen antipartikkel.
Richard Feynman presenterte i sin doktorgradsavhandling fra 1942 en alternativ formulering av kvantemekanikken basert på veiintegral. Her ble for første gang introdusert en propagator som var ekvivalent med Schrödinger-ligningen. I 1948 viste Freeman Dyson at den tilsvarer en spesiell Green-funksjon. På den måten ble det snart klart at den strengt matematiske beskrivelsen av kvanteelektrodynamikk som Julian Schwinger hadde utviklet, var ekvivalent med den mer konkrete fremstillingen basert på bruk av Feynman-diagram.
Ikke-relativistisk partikkel
Bevegelsen til en partikkel som beveger seg i tre dimensjoner, er styrt av en Hamilton-operator som vanligvis ikke avhenger eksplisitt av tiden. Hver tilstand som partikkelen kan befinne seg i, forandrer seg med tiden. Denne variasjonen kan finnes fra tidsutvikliingsoperatoren
Hvis partikkelen befinner seg i en tilstand ved tiden t 0, vil den befinne seg i en annen tilstand
ved et senere tidspunkt t > t 0. Denne beskrivelsen er ekvivalent med den tidsavhengige Schrödinger-ligningen når Hamilton-operatoren ikke varierer med tiden.D. J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.
Propagatoren til partikkelen er sannsynlighetsamplituden for å observere den i punktet ved tiden t når den befant seg i punktet ved et tidligere tidspunkt t 0 < t,
Tidsutviklingen til en vilkårlig tilstandsvektor er ekvivalent med forandringen av bølgefunksjonen som beskriver tilstanden. Den kan nå skrives som
etter å ha satt inn et fullstendig sett med posisjonstilstander i matriseelementet. På denne måten kan man si at propagatoren bringer bølgefunksjonen frem i tid. R.P. Feynman and A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill Book Company, New York (1965).
Noen egenskaper
I det spesielle tilfellet at t = t 0 kan propagatoren uttrykkes ved Diracs deltafunksjon,
For senere tidspunkt kan den beregnes fra egenfunksjonene til Hamilton-operatoren med egenverdier Disse finnes ved å løse den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen slik at de tilsvarende egenfunksjone er Da egenvektorene utgjør et fullstendig sett gir dette ved innsettelse i propagatoren at
En fri partikkel har Hamilton-operator med egenverdier hvor p er partikkelens impuls. Egenfunksjonene er plane bølger
slik at summen over egentilstander i propagatoren må erstattes av et integral. Selv om det inneholder komplekse størrelser, kan det beregnes som et Gauss-integral og gir
Fra definisjonen følger at en generell propagator har egenskapen
som denne frie propagatoren derfor også oppfyller.
Green-funksjon
For at propagatoren skal kunne beregnes for alle tidsforskjeller mellom start- og sluttpunkt, kan definisjonen forandres til
ved bruk av Heavisides steppfunksjon. Den er én når argumentet er positivt og null ellers. Matematisk kan funksjonen utrykkes ved integralet
i grensen hvor den lille størrelsen ε → 0. Det viser også at den deriverte som følger fra den tilsvarende definisjonen av Diracs deltafunksjon. E.S. Abers, Quantum Mechanics, Pearson Education. New Jersey (2004). ISBN 0-13-146100-1.
Bølgefunksjone som inngår i propagatoren, er løsninger av Schrödinger-ligningen
Den selv må derfor oppfylle den partielle differensialligningen
hvor deltafunksjonen i tid kommer fra den deriverte av steppfunksjonen. Dette viser at propagatoren er en Green-funksjon for den tidsavhengige Schrödinger-ligningen. J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics, W.A. Benjamin, New York (1965).
Perturbasjonsteori
Vanligvis kan man ikke løse Schrödinger-ligningen i det generelle tilfellet og derfor ikke i stand til å beregne dens Green-funksjon. Men når Hamilton-operatoren kan splittes opp som hvor egenverdiproblemet for kan løses, kan man i mange tilfelle betrakte som en perturbasjon og på den måten utvikle en tilnærmet løsning av hele problemet. Denne fremgangsmåten tillater også at som alternativt kan behandles ved bruk av tidsavhengig perturbasjonsteori.
Ved å betrakte propagatoren som en Green-funksjon, kan dette ofte gjøres mer direkte. Den fulle propagatoren oppfyller nå differensialligningen
Ved bruk av den frie propagatoren vil en generell løsning derfor måtte oppfylle
Når det perturberende potensialet er tilstrekkelig svakt, kan man løse denne implisitte ligningen for den fulle propagatoren ved å innsette den frie propagatoren på høyre side. Det vil gi en løsning som tilsvarer første Born-approksimasjon. En mer nøyaktig løsning vil i neste omgang fremkomme ved å innsette denne løsningen på høyresiden av ligningen. Resultatet kan tolkes slik at den frie partikkelen kommer inn og treffer potensialet i et punkt. Derfra beveger den seg fritt og blir spredt av potensialet enda en gang før den fortsetter som en fri partikkel. Dette ville da være bidraget til propagatoren fra andre Born-approksimasjon. Slik kan man iterativt fortsette og dermed finne stadig nøyaktigere resultat.
Statisk propagator Når den Hamilton-operatoren er uavhengig av tiden, kan den fulle propagatoren omformes ved å gjøre bruk av den matematiske representasjonen til Heavisides steppfunksjon. Da blir
hvor matriseelementet
er Green-funksjonen for en partikkel som beveger seg med en gitt energi mellom to punkt. Selv om partikkelen vekselvirker med et statisk potensial, vil dens totale energi E forbli konstant. Green-funksjonen oppfyller nå differensialligningen
hvor Hamilton-operatoren er
For en fri partikkel kan denne statiske Green-funksjonen eksplisitt beregnes og har en sentral rolle i ikke-relativistisk spredningsteori. R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, New York (1982). ISBN 0-306-40397-8.
Green-operator
Den statiske propagatoren er matriseelementet av operatoren
hvor den lille størrelsen ε → 0. I denne grensen er operatoren den inverse til og kalles for «Green-operatoren».
Når Hamilton-operatoren kan splittes opp som der Green-funksjonen for den frie delen kan beregnes, har man rekkeutviklingen
hvor Green-operatoren for den frie partikkelen er
Denne rekkeutviklingen tilsvarer en Born-serie i statisk perturbasjonsteori og kan verifiseres ledd for ledd ved å multiplisere med på en av sidene av ligningen.
Fri propagator i impulsrommet Hamilton-operatoren til den frie partikkelen er gitt ved kvadratet av impulsoperatoren slik at dens statiske Green-funksjon er
Ved å innsette her et fullstendig sett med impulsegentilstander tar denne formen
hvor
kan betraktes som den frie propagatoren i impulsrommet. Den har utstrakt bruk i ikke-relativistisk mange-partikkelteori. A.L. Fetter and J.D. Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Systems, Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-42827-3.
Propagator som veiintegral thumb|170px|Illustrasjon av noen av veiene som inngår i veiintegralet for propagatoren mellom et punkt A og et senere punkt B. Betydningen av en propagator ble først klarlagt av Richard Feynman i hans doktorgradsarbeide. Der utviklet han en ny formulering av kvantemekanikken som var forskjellig fra den som tidligere var etablert av Heisenberg og Schrödinger. Deres formuleringer var basert på eksistensen av en Hamilton-operator som fikk en tilsvarende rolle som Hamilton-funksjonen hadde i klassisk mekanikk. Feynman tok derimot utgangspunkt i den klassiske Lagrange-funksjonen som dermed gjorde det enklere å utlede kvantemekaniske resultat for relativistiske teorier i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori.
I denne formuleringen kan sannsynlighetsamplituden som propagatoren representerer, fremstilles som en sum av de komplekse amplitudene for alle veiene mellom de to punktene det gjelder. Sannsynlighetsamplituden for én enkelt vei mellom et punkt x0 ved tiden t 0 og et annet punkt x ved tiden kan uttrykkes ved den klassiske virkningen
til den ene veien. Summen over alle disse amplitudene går over til et veiintegral i den kontinuerlige grensen. Det gir den kvantemekaniske propagatoren som dermed kan skrives på formen
En utregning av dette veiintegralet er avhengig av at integrasjonsmålet blir nøyaktig definert. Dette er enklest å gjennomføre for frie partikler hvor man på denne måten da kommer frem til det vanlige resultatet for propagatoren. B.R. Holstein, Topics in Advanced Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, Redwood City CA (1992). ISBN 0-201-50820-6.
Ikke-relativistisk kvantefeltteori
Beregning av egenskaper til systemer med mange identiske partikler gjøres mye enklere ved bruk av kvantefeltteori. For ikke-relativistiske partikler omtales vanligvis slike teorier som andrekvantiserte da det ikke lenger er deres posisjoner og impulser som er kvantiserte, men deres felles bølgefunksjon. For en fri partikkel går denne da over til å bli en kvantefeltoperator
hvor partikkelens energi er Denne operatoren fjerner en partikkel i punktet x ved tiden t. Det skjer via annihilasjonsoperatoren som fjerner en partikkel med impuls p fra systemet. Den hermitisk adjungerte operatoren
skaper på tilsvarende vis en partikkel i punktet x ved hjelp av kreasjonsoperatoren Disse feltoperatorene må oppfylle den kanoniske samtidskommutatoren
hvor det øverste fortegnet gjelder for fermioner og det nederste for bosoner. Det betyr at man må ha
samtidig som alle andre kommutatorer mellom disse operatorene er null. Den tomme tilstanden definert ved har lavest energi og er systemets vakuum. S.S. Schweber, H.A. Bethe and F. De Hoffmann, Mesons and Fields, Volume I, Row, Peterson and Company, Evanston IL (1955).
Propagator
Propagatoren til en fri partikkel kan nå finnes fra
Ved innsettelse av de to feltoperatorene uttrykt ved sine kreasjon og annihilasjonsoperatorer kombinert med den fundamentale kommutatoren mellom disse, finner man så
der og man benytter definisjonen av Heavisides steppfunksjon. Propagatoren er dermed den firedimensjonale Fourier-transformerte av den statiske Green-funksjonen i impulsrommet.
Når man benytter tidsordningsoperatoren kan propagatoren alternativt defineres som
Generelt vil tidsordningen av to operatorer gi et ekstra minustegn når to fermionfelt ombyttes. Den fulle progatoren for et vekselvirkende felt kan også finnes basert på denne definisjonen. I tillegg gjelder den for relativistiske kvantefeltteorier der feltoperatorene skaper og fjerner både partikler og antipartikler.
Relativistiske partikler
Når partiklene har meget høy energi, må de beskrives i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori. Det er da hensiktsmessig å benytte enheter slik at lyshastigheten c = 1. En partikkel med impuls p og masse m har en energi E som er bestemt ved sammenhengen
Ved bruk av kovariant formalisme kan dette skrives som hvor firevektoren alene karakteriserer partikkelens bevegelse.
Energien til en relativistisk partikkel kan nå ha to verdier med De med negativ energi går formelt bakover i tid, men Feynman kom frem til at disse løsningene beskriver antipartikler som beveger seg fremover i tid med en tilsvarende positive energi. Propagatoren for et boson beskrevet ved Klein-Gordon-ligningen kan derfor defineres som