thumb|Oskar Klein, 1894 - 1977. Kleins paradoks skapte grunnleggende vanskeligheter for forståelsen av moderne kvantemekanikk i de første årene mens den ble etablert. Det ble oppdaget av Oskar Klein i 1929. Han benyttet Diracs ligning til å beskrive hvordan elektroner med hastigheter som nærmer seg lyshastigheten, spredes mot et elektrisk potensial. Hans beregninger viste at når dette overstiger en viss størrelse, vil flere partikler bli reflektert tilbake fra potensialet enn det antall som ble sendt inn mot det. Kvantemekanikken slik som den da var formulert, tillot ikke at partikler kunne oppstå av seg selv slik at man dermed hadde et paradoks.
Dirac-ligningen var opprinnelig ment å gjelde for ett elektron som beveget seg så raskt at man må ta hensyn til Einsteins relativitetsteori. Men den medfører at ligningen beskriver samtidig både elektronet og dets antipartikkel (positron). Når tilstrekkelig energi er tilgjengelig som for eksempel i et sterkt, elektrisk potensial, vil de kunne frigjøres. Løsningen av paradokset fremkommer når man tar hensyn til denne muligheten. Dette ble først klarlagt mange år senere da kvantefeltteori ble grundig forstått som en utvidelse av den opprinnelige kvantemekanikken. Et tilsvarende fenomen er pardannelse hvor en partikkel skapes samtidig med sin antipartikkel.
Den kvantemekaniske dannelse av partikkel-antipartikkel par ligger til grunn for løsnigen av Kleins paradoks. På lignende vis kan også Hawking-stråling fra sorte hull forklares som tilsvarende pardannelse ved hendelseshorisonten.
Ikke-relativistisk bakgrunn
En elektrisk ladet partikkel med elektrisk ladning e og masse m som beveger seg inn i et svakt, elektrisk potensial V, vil i klassisk mekanikk få sin hastighet v litt redusert. Det skjer fordi noe av dens kinetiske energi der er dens impuls, går over til å bli potensiell energi eV. Når potensialet er så sterkt at klarer ikke partikkelen å trenge inn i det, og den spredes til siden eller tilbake. Det er som om den treffer en hard vegg.
Samme prosess kan beskrives kvantemekanisk ved bruk av Schrödinger-ligningen. Da kan bevegelsen til partikkelen fremstilles som en bølge på ligninende hvis som når lys beveger seg fra et medium til et annet med en litt forskjellig brytningsindeks. En del av lyset vil i så fall bli reflektert tilbake og resten fortsetter inn i det nye mediet med en litt annet hastighet bestemt av dets brytningsindeks. R.M. Eisberg, Fundamentals of Modern Physics, John Wiley & Sons, New York (1961). ISBN 0-471-23463-X. Internet archive.
Spredning mot potensialstepp thumb|320px|Innkommende partikkel fra venstre reflekteres eller spredes fremover av en potensialbarriere. Beskrivelsen av prosessen er enklest når man tenker seg at partikkelen beveger seg langs x-aksen der den møter et konstant potensial i x = 0. Dens potensielle energi er da
Den éndimensjonale Schrödinger-ligningen for bølgefunksjonen ψ(x) kan skrives som
når man benytter naturlige enheter der den reduserte Planck-konstanten . Løsningen av ligningen til venstre for steppet består av to ledd,
De representerer henholdsvis den innkommende partikkelen og den reflekterte hvor R er sannsynlighetsamplituden for at det skal skje. D. J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9. På den andre siden av steppet er løsningen på samme vis
og beskriver en partikkel som beveger seg til høyre inn i potensialet med amplitude T og impuls q = √(2m(E - eV)). Disse to løsningene må gå kontinuerlig over i hverandre i punktet x = 0 og betyr at
hvor κ = q/p.
Partikkelbevarelse
Sannsynligheten for at partikkelen skal bli reflektert tilbake, er nå
Hvis et stort antall partikler blir sendt mot potensialet, vil antallet som bare skifter retning og beveger tilbake, være proporsjonal med denne sannsynligheten. På samme måte er strømmen av partikler som trenger inn i potensialet og fortsetter mot høyre, gitt ved
De to størrelsene oppfyller
Denne sammenhengen som gjelder for en slik ikke-relativistisk partikkel, sier at i sitt møte med potensialet vil den enten bli reflektert tilbake eller fortsette videre. Sannsynligheten for at noe annet skal skje, er null så lenge potensialet er svakt og tilfredsstiiler Antall partikler som opptrer i prosessen, forblir uforandret. Det er typisk for ikke-relativistisk kvantemekanikk.
Tunnelering
Når potensialet blir så sterkt at det oppfyller vil en klassisk partikkel ikke kunne trenge inn i det slik at den blir reflektert tilbake. Kvantemekanisk skyldes dette at impulsen q i dette tilfellet blir et rent imaginært tall. Dermed blir |R | 2 = 1 som betyr at partikkelen med sikkerhet blir reflektert.
Samtidig er transmisjonskoeffisienten |T | 2 = 0 da bølgefunksjonen eiqx i dette tilfellet blir reell og avtar eksponentielt inne i potensialet. Det vil derfor ikke bli noen partikkelstrøm som beveger seg mot høyre inne i potensialet selv om sannsynligheten for å finne en partikkel i dette området ikke er helt lik null. Det er dette kvantemekaniske fenomenet som kalles tunnelering og har mange viktige konsekvenser.
Relativistiske partikler
Ett år etter at Dirac-ligningen var etablert for relativistiske elektroner på begynnelsen av 1928, påviste Oskar Klein at den resulterte i merkelige resultat for spredning mot et 1-dimensjonalt potensialstepp. O. Klein, Die Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nach der Relativistischen Dynamik von Dirac, Zeit. f. Phys. 53, 157– 165 (1929). Ligningen er i overenstemmelse med den spesielle relativitetsteorien på samme måte som den allerede kjente Klein-Gordon-ligningen for partikler med spinn s = 0 eller bosoner. I begge tilfeller kan man beregne sannsynlighetene |R | 2 og |T | 2 for at partikkelen reflekteres tilbake eller transmitteres inn i potensialet. Disse koeffisientene viser seg å ha samme form som for ikke-relativistiske partikler, men uttrykt ved en modifisert parameter κ . Det skyldes at sammenhengen mellom energi og impuls for relativistiske partikler er annerledes.
Ved fortsatt bruk av naturlige enheter, kan lyshastigheten antas å ha verdien . Impulsen til partikkelen til venstre for steppet er da
mens den til høyre for dette er
Den ikke-relativistiske situasjonen med et svakt potensial tilsvarer at og q er reell. Denne impulsen blir imaginær når potensialet blir sterkere slik at |E - eV | < m. Det vil igjen gi opphav til tunnelering. Men øker potensialet enda mer slik at blir q igjen reell. Det åpner opp for at man kan ha fri bevegelse av partikler inn i et klassisk forbudt område. Denne relativistiske muligheten når er opphavet til paradokset. F.J. Ynduráin, Relativistic Quantum Mechanics and Introduction to Field Theory, Springer-Verlag, Berlin (1996). ISBN 978-3-540-60453-2.
Klein-Gordon-partikler
Relativistiske partikler med spinn s = 0 er beskrevet ved Klein-Gordon-ligningen. For spredning mot potensialsteppet tar den formen
Til venstre for steppet er igjen løsningene på formen e ±ipx hvor nå p er gitt ved sitt relativistiske uttrykk. Det gjelder også løsningene på høyre side. Ved å oppfylle kravet om at bølgefunksjonen ψ(x) er kontinuerlig i punktet x = 0, kan nå amplitudene R og T for refleksjon og transmisjon beregnes. De får nøyaktig samme form som i det ikke-relativistiske tilfellet bare med den forskjell at nå involverer de relativistiske impulsene. Det betyr at de tilsvarende sannsynlighetene fremdeles oppfyller
så lenge q > 0. Dette resultatet kan tolkes som at man har partikkelbevarelse også i det kritiske tilfellet En nærmere undersøkelse av denne situasjonen viser at det likevel ikke er tilfelle. A, Hansen and F. Ravndal, Klein’s Paradox and Its Resolution, Physica Scripta 23, 1036-1042 (1981). Online.
Dirac-partikler
Elektroner har spinn s = 1/2 er beskrevet ved Dirac-ligningen. For det tilfellet at et elektron beveger seg i det gitt potensialsteppet, tar ligningen formen
hvor αx og β er 4×4 Dirac-matriser. Bølgefunksjonen er nå en spinor med fire komponenter som kan beregnes. Resultatet kan igjen sammenfattes ved amplituder R og T for refleksjon og transmisjon. De har igjen samme form som for Klein-Gordon-partikler, men den kinematiske variable κ har en litt annen form,
Den er positiv for svake potensial men blir negativ i det motsatte tilfellet selv om q da igjen er positiv. Med vil derfor mens transmisjonsamplituden T blir rent imaginær. Tilsammen oppfyller de nå
Det vil nå blir reflektert flere partikler tilbake mot venstre enn hva som kommer inn mot steppet på den siden. Med den forståelsen av Dirac-ligningen at den beskriver kun én partikkel, kan dette ikke skje og man har Kleins paradoks. J.D. Bjorken and S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York (1964).
En nærliggende vei ut av paradokset er å la impulsen q i løsningen av Dirac-ligningen være negativ i det kritiske tilfellet med Da ville og derfor gi Men et slik valg måtte da benyttes også i Klein-Gordon-løsningen som ville gitt for disse partiklene som dermed hadde overtatt paradokset.
Antipartikler
Både Klein-Gordon-ligningen og Dirac-ligningen i sterke potensial beskriver partikler med negativ, kinetisk energi. Det følger fra spesiell relativitetsteori hvor denne er gitt som mdt/dτ der den deriverte av tidskoordinaten er med hensyn til partikkelens egentid. E. F. Taylor and J. A. Wheeler, Spacetime Physics, W. H. Freeman and Company, San Francisco (1963). Partikkelens totalenergi er bevart under bevegelsen fra venstre mot høyre da det ytre potensialet som den befinner seg i, er statisk. Derfor er
Da venstresiden her er større enn hvilemassen m, må mdt/dτ på høyresiden være negativ når og derfor se ut til å beskrive en bevegelse bakover i tiden. Problemet med slike løsninger var lenge lite forstått, men etter oppdagelsen av positronet i 1932 var det klart at de har å gjøre med eksistensen av antipartikler. En løsning med negativ kinetisk energi og 3-impuls q beveger seg formelt bakover i tiden, men beskriver en antipartikkel som beveger seg fremover i tiden med impuls -q og motsatt elektrisk ladning. R.P. Feynman, Quantum Electrodynamics, Frontiers in Physics, W.A. Benjamin Inc, New York (1961), online archive.org
Pardannelse thumb|240px|Partikkel spredes på venstre side samtidig som antipartikkel kommer inn på høyre side.
Løsningene av begge bølgeligningene kan nå sammenfattes som
Her beskriver p1(x) den innkommende partikkelen eipx med positiv energi i området x < 0. Likedan representerer p2(x) den reflekterte bølgen e-ipx i det samme området. I området til høyre der beskriver n1(x) på samme måte en løsning eiqx med negativ kinetisk energi og som derfor beveger seg bakover i tiden. Det er nå ekvivalent med at den representerer en antipartikkel som kommer inn fra høyre med positiv energi og beveger seg mot potensialsteppet med impuls -q. Lignende, klassisk bevegelse av relativistiske partikler ble omtalt av Feynman allerede i 1948 og identifisert med antipartikler. R.P. Feynman, A Relativistic Cut-Off for Classical Electrodynamics, Physical Review 74, 939 - 946 (1948). Online.
Den matematiske sammenhengen mellom disse løsningene kan nå tolkes som at den innkommende bølgen fra venstre blir delvis spredt tilbake med sannsynlighet
og delvis bøyd bakover mot fortiden med sannsynlighet
Fysisk er det ekvivalent med sannsynligheten for at en antipartikkel kommer inn fra høyre og annihilerer partikkelen som kommer inn fra venstre. Men det betyr igjen at den samme sannsynligheten beskriver også den reverserte prosess hvor en partikkel og antipartikkel skapes samtidig i potensialsteppet og beveger seg så bort fra dette som frie partikler. Denne form for pardannelse ved høye energier er i dag påvist i mange andre sammenhenger.
Løsning av paradokset