Ptolemaios' setning

thumb|240px|Teoremet gjelder for en firkant som er innskrevet i en sirkel.

Ptolemaios' setning er et grunnleggende resultat i euklidsk geometri. Det omhandler firkanter som har alle sine hjørner på en sirkel. Benevnes disse A, B, C og D, vil dens sider være linjestykkene AB, BC, CD og DA med tilsvarende lengder. Setningen sier at summen av produktetene av motsatte sider i en slik syklisk firkant vil være likt med produktet av dens to diagonaler AC og BD, det vil si

Setningens navn er knyttet til den greske naturviter Klaudios Ptolemaios som gjorde det kjent for nesten to tusen år siden i sitt store verk Almagest. Her ble det benyttet til beregning av en kordetabell som behøvdes for å forklare og forutsi astronomiske fenomen. Av den grunn inneholder det implisitt mange spesielle tilfeller som er ekvivalente med noen av dagens trigonometrisk identiteter. C.M. Linton, From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy, Cambridge University Press, Cambridge (2004). ISBN 978-0-521-82750-8. Google Book.

Istedenfor utlede disse fra egenskapene til trekanter, fremkommer teoremet ved å benytte lengden av en korde i en sirkel og den tilsvarende sirkelbuen som den definerer. Da sidene i en syklisk firkant er korder da den alltid har sine hjørner på en sirkel, kan deres lengder forbindes ved å bruke teoremet som periferivinklene i firkantens hjørner tilfredsstiller.

Bevis thumb|240px|Definisjon av hjelpepunktet E på diagonalen AC.

Setningen til Ptolemaios kan bevises på flere forskjellige måter. Det kan for eksempel gjøres ved bruk av moderne trigonometri. D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover Publications, New York (1988). ISBN 0-486-65812-0. Mer direkte er det opprinnelige beviset til Ptolemaios som han ga i sitt verk Almagest.H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, The Matematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0. Man bestemmer da et punkt E på diagonalen AC slik at vinkelen v = EBA som linjen EB danner med siden AB, er like stor som vinkelen v = CBD mellom siden BC og diagonalen BD. Nå er vinklene CAB og BDC like store da de begge er periferivinkler over den samme korden BC. Dermed har trekanten AEB samme form som trekanten DCB slik at de tilsvarende sidene oppfyller likheten

På samme måte er også trekanten BEC likedannet med trekanten BAD slik at

Ved å skrive de to likhetene som AE⋅DB = DC⋅AB og EC⋅BD = AD⋅BC, fremkommer så ved addisjon

Da AE + EC = AC  er den andre diagonalen i tillegg til BD, er dermed setningen bevist.

Trigonometri

Ptolemaios gjorde bruk av sin setning til å konstruere en mer fullstendig tabell med lengden av korder som funksjon av de tilsvarende buelengdene på sirkelen hvor de inngikk. På den måten kunne hans geometriske beregninger av platenenes baner forenkles. Hipparkhos hadde laget en slik tabell tidligere, men den inneholdt bare verdier for buelengder som adskilte seg fra hverandre i stepp på grad.

Utgangspunktet for disse beregningene var de regulære polygonene. En likesidet trekant innskrevet i en sirkel, gir korden for buelengden 120°, mens et kvadrat gir den for buelengden 90°. På samme måte vil en regulær sekskant gi en verdi for 60°, mens den regulære femkanten gir kordelengden for 72°. Mellomliggende verdier kunne nå Ptolemaios finne fra sin setning om sykliske firkanter der den ene siden utgjør en diameter i sirkelen. G. van Brummelen, The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry, Princeton University Press, New Jersey (2009). ISBN 978-0-691-12973-0.

thumb|240px|Syklisk firkant for beregning av sinus til differensen av to vinkler. Dette er illustrert i figuren hvor firkanten ABCD er innskrevet i en sirkel hvor siden AD danner en diameter i denne. Vinklene og ansees som kjente og derfor også kordene AC og AB. Den ukjente korden BC tilsvarende vinkelen u - v  kan nå finnes fra Ptoleimaios' setning

Når man setter radius i sirkelen like med én enhet, er da diameter AD = 2. Hver av de gitte kordene kan nå uttrykkes ved sinus til deres respektive periferivinkler istedenfor å benytte den opprinnelige crd-funksjonen. Da er , , og . Dermed gir setningen den trigonometriske identiteten

Fra en syklisk firkant der en av dens diagonaler utgjør en diameter, kan man på lignende vis finne det tilsvarende resultatet for sin(u + v) og derfor også sinus til den halve vinkel.

Fra kordene til de regulære mangekantene kunne nå Ptolemaios beregne korden til en buelengde 72° - 60° = 12°. Ved halveringer kom han dermed ned til en buelengde på 3°. Fortsatte halveringer gir så korder for 1°30' og 45'. Herav var han i stand til å estimere kordelengden tilsvarende 30' eller °. På denne måten kunne han konstruere en fullstendig tabell av korder for alle buelengder fra null grad opp til 180° i like trinn på 0.5°.

Referanser

Eksterne lenker

Cut the Knot, Ptolemy's Theorem, med alternative utledninger. E.W. Weisstein, Ptolemy's Theorem, fra Wolfram Mathworld,

Kategori:Teorem i geometri