thumb|right|Figur 1: En løsning (lilla) på Apollonios’ problem. De gitte sirklene er vist i svart.
thumb|right|Figur 2: Fire komplementære løsningspar til Apollonios’ problem; de gitte sirklene er vist i svart.
I euklidsk plan-geometri er Apollonios’ problem oppgaven å konstruere sirkler som er tangentielle til tre gitte sirkler i planet (figur 1). Problemet ble formulert og løst av Apollonios fra Perga (ca. 262–190 f.Kr.) i hans verk (, «Berøringer»). Selve verket er gått tapt, men en redegjørelse for resultatene er bevart i en fremstilling fra 300-tallet e.Kr. av Pappos fra Alexandria.
For tre generelt plasserte sirkler finnes det i alt åtte forskjellige sirkler som er tangentielle til dem (figur 2). Disse opptrer i par, ett for hver måte de tre gitte sirklene kan deles i to delmengder på (det finnes fire måter å dele en mengde med kardinalitet 3 i to deler).
På 1500-tallet løste Adriaan van Roomen problemet ved hjelp av skjæringspunktene mellom hyperbeler, men denne løsningen benytter metoder som ikke er begrenset til klassiske passer-og-linjal-konstruksjoner. François Viète fant derimot en passer-og-linjal-løsning ved å utnytte grensetilfeller: enhver av de tre gitte sirklene kan enten krympes til et punkt (radius null) eller utvides til uendelig radius (en rett linje). Viètes fremgangsmåte, som løser mer kompliserte tilfeller ved hjelp av enklere grensetilfeller, regnes som en plausibel rekonstruksjon av Apollonios’ egen metode.
Van Roomens metode ble senere forenklet av Isaac Newton, som viste at Apollonios’ problem er ekvivalent med å bestemme en posisjon ut fra differansene mellom avstander til tre kjente punkter. Dette har praktiske anvendelser innen navigasjon og posisjonsbestemmelse, blant annet i systemer som LORAN.
Senere matematikere innførte algebraiske metoder som oversetter det geometriske problemet til algebraiske ligninger. Disse metodene ble ytterligere forenklet ved å utnytte de symmetrier som er iboende i Apollonios’ problem: løsningssirkler forekommer som regel i par, der den ene løsningen omslutter de gitte sirklene som den andre utelukker (figur 2). Joseph Diaz Gergonne brukte denne symmetrien til å gi en elegant passer-og-linjal-løsning, mens andre matematikere benyttet geometriske transformasjoner, som sirkelinversjon, for å forenkle konfigurasjonen av de gitte sirklene.
Disse utviklingene danner et geometrisk rammeverk for algebraiske metoder (blant annet via Lie-sfæregeometri) og muliggjør en klassifikasjon av løsningene i 33 prinsipielt forskjellige konfigurasjoner av de gitte sirklene.
Apollonios’ problem har gitt opphav til omfattende videre arbeid. Generaliseringer til tre dimensjoner – konstruksjon av en kule som er tangent til fire gitte kuler – og videre til høyere dimensjoner er blitt studert. Spesielt har konfigurasjonen av tre gjensidig tangentielle sirkler fått stor oppmerksomhet. René Descartes gav en formel som knytter sammen radiene til løsningssirklene og de gitte sirklene; denne er kjent som Descartes’ teorem. En iterativ løsning av Apollonios’ problem i dette tilfellet leder til den såkalte apollonske pakningen, en av de tidligste fraktalene beskrevet i trykt form, og av betydning i tallteori blant annet via Ford-sirkele og Hardy–Littlewood-sirklemetoden.
Historie
Apollonios fra Perga formulerte og løste problemet i verket (Epaphaí, «Berøringer»), som senere er gått tapt. Kunnskapen om resultatene er likevel bevart gjennom en omtale fra 300-tallet e.Kr. hos Pappos fra Alexandria, som refererer Apollonios’ fremgangsmåte og hovedpunkter.
Den første «nye» løsningsmetoden i nyere tid ble publisert i 1596 av Adriaan van Roomen, som reduserte problemet til å finne skjæringspunkter mellom to hyperbler (se nedenfor). Metoden ble senere forenklet av Isaac Newton, som i Principia viste at problemet kan omformes til et posisjoneringsproblem: finn et punkt ut fra kjente differanser i avstander til tre kjente punkter (en form for hyperbolsk trilaterasjon).
I samme periode ble et sentralt «kvalitetskrav» tydelig: klassisk euklidisk geometri søker konstruksjoner som kan utføres med bare passer og linjal. Van Roomen bruker hyperbler, og det viser ikke i seg selv om problemet kan løses innenfor passer-og-linjal-rammen. François Viète utviklet derfor en metode som nettopp holder seg til passer og linjal, ved å bruke grenseoverganger (der en sirkel «krymper» til et punkt eller «vokser» til en linje) for gradvis å bygge opp fra enklere deltilfeller til den generelle situasjonen.
Utover 1700- og 1800-tallet kom både mer rene geometriske forenklinger og mer algebraiske metoder. En standard referanse for den klassiske gjennomgangen av problemfeltet (inkludert historiske linjer) er Coolidge.
Tidlige løsningsmetoder
De tidlige metodene kan grovt deles i to spor:
Geometriske konstruksjoner (passer og linjal, eventuelt supplert med kjeglesnitt): Viète og senere flere 1800-tallsbidrag utviklet elegante, konstruktive løsninger som utnytter likformighetssentre, potens av et punkt, pol–polar-dualitet m.m.
Analytiske/algebraiske metoder: Ved å skrive «berøring» som ligninger for avstand mellom sentre og radier, får man et ligningssystem som i prinsippet kan løses eksplisitt. Dette gir også et naturlig rammeverk for å telle antall løsninger og forstå symmetrier (løsninger opptrer ofte i konjugerte par).
Hyperbel- og trilaterasjonsformuleringen
Van Roomen: skjæring mellom hyperbler (1596)
Van Roomen reduserer først den generelle situasjonen (tre gitte sirkler) til et delproblem: finn sirkler som berører to gitte sirkler, f.eks. og . La være radius i løsningssirkelen, og radiene i de gitte sirklene. Dersom løsningssirkelen berører og utvendig, er avstanden mellom sentrene henholdsvis og . Ved innvendig berøring blir tilsvarende (og analogt for ), forutsatt at .
Poenget er at differansen alltid blir en konstant som ikke avhenger av (radiustermen kansellerer). Dermed må sentrum for løsningssirkelen ligge på en hyperbel med brennpunkter i sentrene til og , siden en hyperbel nettopp kan karakteriseres ved konstant differanse i avstander til to faste punkter (brennpunktene). En tilsvarende hyperbel bygges fra paret med konsistent valg av innvendig/utvendig berøring. Skjæringspunktene (hvis de finnes) gir sentrene for løsningssirkler som oppfyller de valgte berøringsbetingelsene. Ved å gå gjennom alle kombinasjoner av innvendig og utvendig berøring mot de tre gitte sirklene, får man hele løsningsmengden (typisk åtte).
Newton: omforming til trilaterasjon (1687)
Newton omformulerer problemet i et språk som i moderne termer ligger nær trilaterasjon: Finn et punkt slik at differansene i avstand fra til tre kjente punkter , , er kjente størrelser. Disse punktene svarer til sentrene i de tre gitte sirklene, mens er sentrum i løsningssirkelen. Når berøringsforholdene oversettes til avstander mellom sentre, opptrer igjen konstante avstandsdifferanser (for utvendig berøring: ; for innvendig: ), og radien kan elimineres fra differanser på samme måte som hos van Roomen.
I stedet for å arbeide direkte med to hyperbler, konstruerer Newton hyperblenes direktriser og bruker at for en hyperbel er forholdet mellom avstanden til et brennpunkt og avstanden til en direktrise konstant (eksentrisiteten). Skjæringen mellom relevante direktriser gir et punkt som bestemmer en linje som må ligge på. Videre er også et bestemt forhold mellom avstander kjent, og da følger at ligger på en sirkel definert ved et fast forhold mellom avstander til to faste punkter (ofte omtalt som en «Apollonios-sirkel»). Dermed reduseres problemet til å finne skjæringspunkter mellom en linje og en sirkel.
Denne omformuleringen er også grunnen til at Apollonios’ problem har fått en tydelig «anvendt» etterhistorie: tilsvarende geometri ligger under hyperbolsk posisjonering, der man finner posisjon fra differanser i avstander (eller ankomsttider) til kjente sendere.
Tidlige matematiske formuleringer
Den opprinnelige ideen om uendelig mange aper ble lenge brukt som et retorisk bilde snarere enn et presist matematisk utsagn. Først på begynnelsen av 1900-tallet fikk den en form som tilfredsstilte moderne sannsynlighetsteori.
Émile Borel var blant de første som eksplisitt knyttet metaforen til sannsynlighetsregning. I artikkelen «La mécanique statique et l’irréversibilité» (1913) brukte han aper ved skrivemaskiner som et tankeeksperiment for å illustrere hvor ekstremt usannsynlige, men ikke umulige, visse mikroskopiske tilstander er innen statistisk mekanikk.
Borels poeng var ikke at slike hendelser var praktisk relevante, men at sannsynlighetsteorien tillater hendelser med ekstremt liten sannsynlighet uten at de dermed er logisk umulige.
Formulering som sannsynlighetsteorem
I moderne språkdrakt kan setningen om uendelig mange aper uttrykkes som et utsagn om tilfeldige sekvenser:
Gitt en uendelig følge av uavhengige og identisk fordelte tilfeldige variabler, der hver bokstav i et endelig alfabet har positiv sannsynlighet, vil enhver endelig streng nesten helt sikkert forekomme uendelig mange ganger.
Her betyr «nesten helt sikkert» at hendelsen har sannsynlighet 1, ikke at den inntreffer i endelig tid eller med praktisk rimelighet.
Denne formuleringen kan avledes direkte fra den andre Borel–Cantelli-lemmatet, som sier at dersom summen av sannsynlighetene for uavhengige hendelser divergerer, vil uendelig mange av dem inntreffe med sannsynlighet 1.
Blokkargumentet
En klassisk og pedagogisk tilnærming er det såkalte blokkargumentet. Man deler den uendelige teksten i ikke-overlappende blokker med samme lengde som målteksten. Hver blokk har en fast, positiv sannsynlighet for å være identisk med målteksten. Siden det finnes uendelig mange slike blokker, følger det at teksten nesten helt sikkert vil forekomme minst én gang, og i praksis uendelig mange ganger.
Argumentet er konservativt, ettersom teksten også kan forekomme på tvers av blokkgrensene. Det styrker konklusjonen ytterligere.
Flere aper og parallelle prosesser
Setningen kan generaliseres til situasjoner med mange samtidige «aper». En uendelig samling aper som hver skriver en endelig tekststreng, er matematisk ekvivalent med én ape som skriver uendelig lenge.
Dette viser at parallellisering ikke endrer den grunnleggende sannsynlighetsstrukturen: Det avgjørende er ikke antallet aper, men det uendelige antallet uavhengige forsøk.
Normalitet og tallteori
En alternativ formulering benytter tallteori. Dersom man tolker en uendelig bokstavrekke som en representasjon av et reelt tall i et gitt tallsystem, tilsvarer det å skrive «tilfeldig» å velge et tall uniformt fra intervallet [0,1].
Nesten alle reelle tall er såkalte normale tall, det vil si at alle endelige siffersekvenser forekommer med korrekt frekvens.
Dette innebærer at nesten alle uendelige sekvenser inneholder enhver endelig tekst, inkludert hele Shakespeare-verker, Bibelen eller enhver annen spesifisert bokstavrekke.
Begrensninger og misforståelser
En vanlig misforståelse er å tolke setningen som et utsagn om hva som vil skje i fysisk virkelighet. Teoremet er rent matematisk og sier ingenting om realistiske tidsrammer eller fysiske ressurser.
Som Arthur Eddington påpekte, finnes det sannsynligheter som er så små at de i praktisk fysikk må behandles som umulige, selv om de formelt ikke er det.
Setningen om uendelig mange aper illustrerer derfor først og fremst skillet mellom matematisk mulighet og fysisk realiserbarhet.
Formelt sannsynlighetsbevis
Setningen om uendelig mange aper kan formuleres og bevises presist innen moderne sannsynlighetsteori. Beviset bygger på standardantagelser om uavhengighet og positiv sannsynlighet, og er et klassisk eksempel på anvendelse av Borel–Cantelli-lemmatet.
Modellantagelser
Anta at vi har et endelig alfabet med symboler, der hvert symbol har sannsynlighet minst for å bli valgt ved hvert tastetrykk. Tastetrykkene antas å være statistisk uavhengige og identisk fordelte.