right|thumb|240px|Presesjon av en snurrebass om et fast punkt forklares ved Eulers ligninger.

Euler-ligningene for et stivt legeme er tre koblete differensialligninger som beskriver dets bevegelse i klassisk mekanikk. De ble etablert og gitt praktiske anvendelser av den sveitsiske matematiker Leonhard Euler for snart tre hundre år siden.

Ligningene er basert på spinnsatsen som knytter dreieimpulsen L til et legeme i bevegelse med dreiemomentet T som det er utsatt for. Når dette resultatet av Newtons lover benyttes i legemets massesenter, er hver komponent av dreieimpulsen gitt ved de tre hovedtreghetsmomentene I1, I2 og I3 multiplisert med de tilsvarende komponentene av rotasjonsvektoren ω i dette referansesystemet. Disse vil nå variere med tiden ifølge bevegelsesligningene

hvor på høyre side opptrer de tre komponentene til det ytre dreiemomentet. Også når dette er null, vil disse Euler-ligningene ha kompliserte løsninger som beskriver alt fra bevegelsene til tallerkener som kastes opp i luften til satellitter i fritt fall inn mot Jorden.

Symmetrisk legeme

For et stivt legeme med en symmetriakse vil Euler-ligningene forenkles. Velges denne aksen å være parallell med hovedretningen e3, vil treghetsmomentene . Når legemet ikke er påvirket av ytre krefter slik at dreiemomentet T = 0, sier den tredje ligningen i så fall at dω3/dt = 0. Legemet roterer da med konstant vinkelhastighet ω3 om sin egen symmetriakse.

Ved nå å derivere den første ligningen med hensyn på tiden og samtidig benytte den andre i resultatet, fremkommer den nye differensialligningen

med

Den beskriver harmoniske svingninger med vinkelfrekvens Ω. Dermed varierer denne komponenten av vinkelhastigheten med tiden som hvor integrasjonskonstanten ω0 må bestemmes i hvert tilfelle ut fra bevegelsen ved tiden . For den andre komponenten finner man på tilsvarende vis. Da betyr dette at også størrelsen til den totale vinkelhastigheten ω er bevart under bevegelsen. D. Kleppner and R. Kolenkow, An Introduction to Mechanics, Cambridge University Press, England (2014). ISBN 978-0-521-19811-0.

thumb|600px|Legemet til venstre roterer om en fast akse, i midten har det konstant presesjon og til høyre utfører det en nutasjon hvor vinkelen θ  ikke lenger er konstant. Disse komponentene av vinkelhastigheten ville sees av en observatør som sitter fast i det roterende legemet med et referansesystem som har akser langs hovedretningene til legemet. Vektoren ω synes da å rotere om symmetriaksen i dette systemet med vinkelhastigheten Ω. Denne presesjonen foregår i samme retning som egenrotasjonen ω3 såfremt I3 > I1. Dette gjelder derfor for et flattrykt legeme som for eksempel en skive eller tallerken. I motsatt fall som for en stav eller ølboks vil de to rotasjonene foregå i motsatt retning.

Når det ytre dreiemomentet T = 0, vil dreieimpulsen L være bevart. Den har derfor en konstant retning i et inertialsystem. Men i det roterende systemet som følger legemet, vil den også presessere med samme vinkelhastighet Ω. Det er en konsekvens av at symmetriaksen e3, ligger i planet definert ved vektorene L og ω. Det følger fra vektorproduktet som gir

Dette er derfor en direkte konsekvens av at sammen med og i det roterende referansesystemet.

Hvis den konstante vinkelen mellom symmetriaksen e3 og L er θ , vil den tilsvarende vinkelen mellom e3 og ω være α. Det betyr at mens den transverse komponenten er De tilsvarende komponentene av dreieimpulsen er = I3ω3 og = I1ω0 slik at man har sammenhengen

For et sammentrykt legeme vil derfor θ < α og motsatt for et langstrakt, symmetrisk legeme. L.D. Landau and E.F. Lifshitz, Course of Theoretical Physics, Volume 1: Mechanics, Pergamon Press, London (1961). Internet Archive

Euler-vinkler thumb|240px|Stasjonært referansesystem xyz og roterende x'y'z'  forbindes ved Euler-vinklene φ, θ  og ψ. Nodelinjen er her angitt som W.

Orienteringen til det stive legemet kan til hvert tidspunkt angis ved retningene til basisvektorene e1, e2 og e3 i det roterende referansesystemet som følger med legemet. Ved bruk av de tre Euler-vinkler φ, θ  og ψ kan man relatere disse til de ilsvarende vektorene ex, ey og ez  i det stasjonære systemet. Man kan da uttrykke legemets vinkelhastighet ω = ω1e1 + ω2e2 + ω3e3 som en lineær kombinasjon av en dreining dφ/dt = om z-aksen etterfulgt av en dreining dθ/dt = om nodelinjen og til slutt en dreining dψ/dt = om z' -aksen, det vil si e3. Langs de roterende aksene finner man dermed komponentene

Vinkelhastigheten angir på denne måten hvor raskt legemet presesserer om z-aksen, mens sier hvor raskt det roterer om sin egen akse e3. Hvis er forskjellig fra null, vil vinkelen θ  ikke være konstant, og man sier da at legemets presesjon også fremviser en nutasjon. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).

Når legemet beveger seg fritt uten påvirkning av ytre krefter, er dets dreieimpuls L konstant. Det er da hensiktsmessig å la den definere z-aksen i det stasjonære referansesystemet. Dens størrelse er da gitt ved komponenten Samtidig i det medfølgende referansesystemet er den samme vektoren hvor nå komponentene vil variere med tiden. Da , og , kan de tre vinkelhastighetene , og uttrykkes ved de tre Euler-vinklene samt dreieimpulsen L.

Presesjon

Disse kinematiske sammenhengene forenkles mye for et legeme som er symmetrisk om 3-aksen. Retningen til denne er da gitt ved de to vinklene φ  og θ  slik at hovedtreghetsmomentene ≠ I3. De to første ligningene kan da kombineres til å gi at = 0 sammen med

Vinkelen θ  mellom symmetriaksen og ez  er derfor konstant. Samtidig presesser den om denne aksen med en vinkelfrekvens ωp = som også har en konstant verdi. Ser man på de to første ligningene for vinkelfrekvensene ved tiden t = 0 som tilsvarer at ψ = π /2, så følger det at

Ved bruk av den tidligere sammenhengen mellom vinklene θ  og α  kan nå presesjonshastigheten skrives som

og er direkte gitt ved vinkelhastigheten til det roterende legemet.

Mens dette foregår, roterer legemet om sin egen symmetriakse med vinkelfrekvensen

som nå er konstant da θ  er det. Ved å gjøre bruk av at er derfor = - Ω. Denne vinkelen avtar derfor jevnt som

Alternativt kan dette resultatet nå skrives som og kan utledes mer direkte ved rent geometriske betraktninger.

Denne kombinasjonen av at et utstrakt legeme presesserer samtidig med at det roterer om sin egen symmetriakse, vil i det stasjonære referansesystemet observeres som om det vingler om en fast akse gitt ved retningen til dreieimpulsen L. Når det er flattrykket slik at I3 > I1, vil rotasjon og presesjon skje i motsatte retninger da < 0. I motsatt fall for et langstrakt legeme foregår disse to bevegelsene i samme retning.

Feynmans flyvende tallerken

Da Richard Feynman var nyansatt ved Cornell University like etter avslutningen av andre verdenskrig, så han en dag i kantinen en studet som kastet en tallerken opp i luften. Han la da merke til at logoen på den så ut til å rotere mye raskere enn tallerkenen presesserte. Dette fenomenet fant han så interessant at han bestemte seg for å utlede det fra de fundamentale bevegelsesligningene. Resultatet av denne beregningen gjorde ham lykkelig. R.P. Feynman, Surely You're Joking, Mr. Feynman, W. W. Norton & Company, New York: (1985). ISBN 0-393-01921-7.

En tallerken er som en tynn, rund skive med treghetsmoment som oppfyller I3 = 2I1. Fra ligningene for et symmetrrisk legeme følger da at

Når vinkelen θ  er liten, skal derfor presesjonshastigheten være omtrent dobbelt så stor som rotasjonshastighten, Dette er akkurat det motsatte resultat av hva Feynman husker i boken sin. S.M.Blinder, Feynman's Wobbling Plate, Wolfram Demonstrations Project (2011).

Stabilitet

Et stivt legeme kan rotere stabilt om hver av sine tre hovedakser. Men det minste avvik fra en slik retning fører mange ganger til at rotasjonen synes å bli uregelmessig og foregå om alle tre aksene. Dette følger direkte fra Euler-ligningene.

Hvis rotasjonen i utgangspunkt skjer for eksempel om 1-aksen, vil ω1 være stor, mens ω2 og ω3 kan antas å være svært små. Den første Euler-ligningen gir da Denne vinkelfrekvensen forblir derfor omtrent uforandret.med god tilnærmelse.

left|thumb|300px|Bevegelsene til høyre og venstre er stabile, mens den i midten rundt 2-aksen er ustabil. Ved å kombinere de to gjenværende ligningene, finner man på tilsvarende vis at ω2 oppfyller differensialligningen

på samme måte som ω3 gjør med

For et asymmetrisk legeme er alle hovedtreghetsmomentene forskjellige, og man kan tenke seg at de benevnes slik at I1 < I2 < I3 . Når det opprinnelig roterer om 1-aksen, vil derfor størrelsen Ω12 > 0. Det betyr at de resulterende variasjonene i både ω2 og ω3 vil være små svingninger med vinkelfrekvensen Ω1. Denne bevegelsen er derfor stabil. Det samme ville man ha funnet hvis den opprinnelige rotasjonen var om 3-aksen. Derfor er rotasjoner om de aksene som har det største og det minste treghetsmomentet, stabile.

En opprinnelig bevegelse om 2-aksen ville derimot resultere i den samme differensialligningen for ω1 og ω3, men med en tilsvarende frekvens Ω22 < 0. Det skyldes at I3 > I2 > I1 . Frekvensen Ω2 kan derfor anta imaginære verdier slik at ω1 og ω3 vil vokse seg store med det resultat at bevegelsen blir mye mer komplisert. Den sies da å være ustabil da den vil gi opphav til endelige rotasjoner om alle tre aksene.

Da det er 2-aksen som er den ustabile, kalles dette resultatet ofte for mellomakseteoremet. Det omtales også som «tennisracketteoremet» fordi man med et slikt stykke sportsutstyr lett kan overbevise seg selv om dets gyldighet. Kastes racketen opp i luften mens den roterer om håndtaket (1-aksen), vil den fortsette med det i sitt fall mot jorden. Det samme skjer hvis den opprinnelig kastes med en rotasjon om en akse vinkelrett på den brede slagflaten (3-aksen). Derimot får den straks en mye mer vinglete og kaotisk bevegelse når den i utgangspunktet har en rotasjon om en akse gjennom denne flaten (2-aksen).

Poinsots konstruksjon thumb|280px|Vinkelhastigheten ω forbinder massesenteret i treghetsellipsoiden og tangeringspunktet med det invariante planet i grønt.

Den frie bevegelsen til et asymmetrisk legeme kan fremstilles rent geometrisk uten å løse Euler-ligningene analytisk. Fremgangsmåten ble etablert av den franske matematiker Louis Poinsot rundt 1830 og er basert på at både den kinetiske energien

og dreieimpulsen er bevarte størrelser. I et rom med kartesiske koordinater ω1, ω2 og ω3 vil en konstant verdi på K  beskrive en ellipsoide med halvakser gitt ved størrelsen til de tre hovedtreghetsmomentene. Den kalles vanligvis for treghetsellipsoiden, men knyttes også ofte til Poinsot sitt navn.

På tilsvarende vis vil også den konstante verdien til L2 fremstille en litt annen ellipsoide. De tillatte verdiene av vinkelfrekvensen ω må ligge i skjæringspunktene mellom disse to flatene. Under bevegelsen til legemet vil de danne krumme kurver på de to ellipsoidene. Det tilsvarer at i det roterende referansesystemet som følger legemet og derfor også ellipsoiden, vil man se vinkelfrekvensen ω hele tiden skifte retning.

Polhode left|thumb|240px|Vingemutteren roterer slik at den røde polhoden på treghetsellipsoiden alltid er i kontakt med det invariante planet. Poinsots beskrivelse er basert på at dreieimpulsen er gradienten til den kinetiske energien i ω-rommet,

Denne konstante vektoren står derfor vinkelrett på treghetsellipsoiden. Av denne grunn kan man nå tenke seg at legemets bevegelse skyldes en rotasjon av den medfølgende ellipsoiden om dets massesenter slik at den berører et «invariant plan». Dette er derfor et tangentplan med en flatenormal som er parallell med L og derfor har en fast retning. Berøringspunktet er gitt ved vektoren ω(t ) på ellipsoiden. Da vil ellipsoidens senter alltid ligge i samme avstand fra dette planet.