thumb|Fra Al-jabr, et av mesterverkene i arabisk matematikk.
Matematikkens historie går flere tusen år tilbake i tid, lenge før ordet matematikk oppstod. Ordet «matematikk» kommer fra gresk μάθημα (máthema) som betyr vitenskap, kunnskap eller læring, og μαθηματικός (mathematikós) betyr «glad i å lære». I dag gjelder begrepet en bestemt kunnskapsgren – et deduktivt studium av antall, struktur, rom og endring.
Lenge før matematikk utviklet seg som eget kunnskapsområde har menneskene vært opptatt av antall, strukturer, former og figurer, lokalisering i rommet og andre emner knyttet til matematikk. Den mest fundamentale matematiske prosessen er telling,Katz, 1998, s. 4 så det er naturlig å starte matematikkens historie med tall og tallsystemer. Tidlig ble det også behov for å kunne måle og veie, og å kunne sammenligne ulike størrelser. Fra primitiv telling og måling har matematikk gradvis utviklet seg til mer og mer generelle og abstrakte idéer og teorier.
De eldste matematiske tekstene vi kjenner stammer fra det gamle Mesopotamia, fra omkring 1800 f.Kr., og fra det gamle Egypt, fra omkring 1650 f.Kr. Også i India har man funnet gamle matematiske tekster, fra mellom 800 og 500 f.Kr. De eldste tekstene omtaler problemstillinger og metoder i aritmetikk og geometri, og i alle tre landområdene har en hatt kjennskap til det som i dag omtales som Pytagoras’ læresetning. Fra Kina kjenner vi svært gamle matematiske tekster.
Grunnen for matematikk som eget fagområde ble lagt i antikkens Hellas. I det 6. århundre før Kristus blandet Pytagoras og hans disipler matematikk, musikk og mystisisme, i en skole der kunnskap om tall og geometri sto sentralt. Euklid levde i Alexandria omkring 300 før Kristus, og Euklids Elementer ble med sin aksiomatiske tilnærmingsmåte en viktig lærebok i flere tusen år. Også Arkimedes (født ca 287 f.Kr.) skulle få stor betydning for senere vitenskap i middelalderen. Kunnskap om gresk matematikk ble for en stor del glemt i Europa, men ble tatt vare på og videreutviklet i den muslimske verden, i Arabia og Persia. I middelalderen ble arabiske tekster oversatt til latin, og disse oversettelsene formidlet kunnskap om både gresk, arabisk og indisk matematikk til Europa. Ikke minst viktig var introduksjonen av de hindu-arabiske tallene til Europa, på 1200-tallet.
Utviklingen av matematikk i europeisk middelalder var langsom, men ble stimulert ved opprettingen av de første universitetene. Mens grekerne i antikken i hovedsak unngikk uendelige prosesser, studerte europeiske matematikere på 1400-tallet uendelige følger og rekker. Drevet fram av behov innenfor navigasjon ble trigonometri en stadig viktigere del av matematikk. François Viète (1540–1603) innførte bruk av bokstaver i ligninger og la på den måten grunnlaget for moderne matematisk notasjon.
Matematikk har alltid vært et viktig verktøy i naturvitenskapene, og framskritt i matematikk har nesten alltid gått parallelt med utvikling i andre fag, ikke minst i fysikk og astronomi. Mange naturvitenskapsmenn, som Galileo Galilei (1564–1642) og Johannes Kepler (1571–1630), bidro også til utviklingen av matematikk.
Sentralt i utviklingen på 1700-tallet sto innføringen av analytisk geometri av René Descartes (1596–1650) og Pierre de Fermat (1607–1665). En milepæl var også etableringen av differensial- og integralregning, der grunnlaget ble lagt av Gottfried Leibniz (1646–1716) og Isaac Newton (1642–1726). Funksjonsbegrepet vokste fram fra studiet av geometriske kurver og ligninger. En gradvis standardisering av matematisk notasjon ble nå etablert, ikke minst påvirket av arbeidene til Leibniz og Leonhard Euler (1707–1783).
Studiet av algebraiske ligninger hadde på 1600-tallet ført til innføring av komplekse tall, et viktig steg i en prosess der matematiske størrelser ble mer og mer abstrakte. Bruken av denne formen for tall tok for alvor fatt med arbeidene til Leonhard Euler og med etablering av kompleks funksjonsanalyse, av Augustin Louis Cauchy (1789–1857). Carl Friedrich Gauss (1777–1855), kanskje den største matematikeren noensinne, beviste blant annet fundamentalteoremet i algebra, om eksistensen av komplekse røtter i en polynomligning.
Oppdagelsen av at det er mulig å definere ikke-euklidske geometrier fikk mange til å se på grunnlaget for matematikk med nye øyne. Også utforskning av patologiske funksjoner viste at mange intuitive begrep trengte en tydeligere klargjøring. På 1800- og 1900-tallet arbeidet mange matematikere med å etablere et stringent grunnlag for matematikken. Karl Weierstrass (1815–1897) var sentral i prosessen med å klargjøre skillet mellom geometri og algebra, i en prosess som i ettertiden er kalt «aritmetrisering av analysen». Mengdelæren, innført av Georg Cantor (1845–1918), la grunnlaget for en ny uttrykksmåte, som i dag brukes i nær sagt alle deler av matematikk. Studiet av matematiske strukturer, som grupper, metriske rom og vektorrom, var viktig for utviklingen av abstrakt algebra.
David Hilbert (1862–1943) formulerte i 1900 en liste på 23 uløste matematiske problem, en liste som fikk stor innflytelse på utviklingen i nyere matematikk. En av utfordringene var å bevise at aritmetikkens aksiomer er konsistente. Idealbildet av et fullkomment matematisk system fikk imidlertid flere skudd for baugen på 1900-tallet, ikke minst da Kurt Gödel (1906–1978) viste at det ikke er mulig å definere et formelt aksiomatisk system som grunnlag for hele matematikken.
I nyere tid har det oppstått mange nye retninger i matematikk, for eksempel numerisk analyse, stimulert av utviklingen av datamaskiner. Matematikken fortsetter å utvikle seg både i bredden og dybden, og faget er i dag så omfattende at det er umulig for en matematiker å ha oversikt over alt.
Forhistorisk tid, antikken og middelalderen thumb|Ishango-benet utstilt på Det belgiske vitenskapsmuseet i Brussel
Forhistorisk matematikk Opphavet til matematikk ligger i menneskets behov for å kunne telle, å kunne måle og å kunne beskrive størrelse og form. Alt i tidlige samler- og jeger-samfunn har det vært viktig å kunne formidle antall, for eksempel antall dyr og antall fiender. Strukturen i flere språk kan indikere at de første former for primitiv telling har vært basert på et skille mellom «en», «to» og «mange». Innsikten om at to steiner og to fisk har noe felles, representerer en første form for abstraksjon som er fundamental i matematikk.
Naturlig nok har kroppen lenge vært brukt som hjelpemiddel, og alt Aristoteles bemerket at telling basert på fem og ti er en direkte konsekvens av antall fingrer og tær.: C.B.Boyer; A history of mathematics s.3 Det engelske ordet «digit» for tall har opphav i det latinske «digitus», som betyr «finger». Også mange navn på primitive måleenheter viser opphav i kroppen, for eksempel knyttet til hånd-, fot- og armlengde.
Ved arkeologiske utgravninger i Tsjekkoslovakia er det gjort funn av et lårben fra en ulv som er datert til omkring f.Kr.Bekken, 1984 På dette benet er det risset inn 55 streker, systematisk etter hverandre. I Sentral-Afrika ble det i 1960 funnet et leggben av en ape, også dette med innrissede streker delt inn i grupper. Dette såkalte Ishango-benet er tidfestet til mellom f.Kr. og f.Kr., og strekene er blitt tolket som en form for telling eller en kalender.
Primitiv telling har vært basert på å risse inn streker og kanskje også ved å sammenligne med et antall pinner, steiner og lignende. En nødvendig forutsetning for matematikkens utvikling var skrivekunsten, som gjorde at en kunne skrive tall og relasjoner mellom tallene på en systematisk måte.
De første jordbrukssamfunnene utviklet seg rundt de store elvene Nilen, Eufrat og Tigris, Indus, Chang Jang og Huang He, og disse samfunnene trengte former for matematisk kunnskap for å kunne fungere. Det er derfor naturlig at vi fra disse samfunnene har de første systematiske nedtegnelsene av matematisk kunnskap. Først og fremst måtte en ha en godt utviklet kalender, slik at en kunne vite når det er tid for å så og høste. For å kunne lage en kalender, trengtes foruten kunnskap om tall og aritmetikk, omfattende astronomiske kunnskaper. Kunnskaper innenfor astronomi utvikles gjennom matematiske beregninger. Et jordbrukssamfunn har også behov for å kunne utføre landmåling, slik at en kan fordele landområdene mellom bøndene. Landmåling krever geometrisk kunnskap, og ordet «geometri» betyr da også landmåling. Det var behov for å kartlegge og beregne regelmessige elveflommer, slik at en kunne sikre seg mot for store tap av avling og menneskeliv. Etter en flom måtte en ofte måle opp bøndenes landområder på nytt, for flommene medførte gjerne endringer i landskapet. Historiske kilder viser at alle sivilisasjoner har utviklet matematisk kunnskap for å løse praktiske problemer, i forbindelse med bokføring, astronomi, jordbruk og konstruksjon.
Matematikk i oldtidens Egypt (ca. 1850–600 f.Kr.)
thumb|Rhind-papyrusen er en viktig kilde til kunnskap om de gamle egypternes matematikk Fram til forskerne klarte å tyde de babylonske leirtavlene, var Egypt den rikeste kilden man hadde til kunnskap om matematikk i oldtiden. De eldste funnene av skrevne tall er fra ca 3300 f.Kr., i form av hieroglyfer hogd i ben, sten og metall.: F.Cajori; A history of mathematical notations I s.11ff Egypterne brukte et titallsystem, men en har også funnet spor av system basert på 5, 12, 20 og 60. Tallsystemet hadde symboler for 1, 10, 100, , , og . Det eldste systemet var rent additivt, det vil si at et tall kunne leses som summen av flere symboler plassert ved siden av hverandre. Etter hvert ble systemet også multiplikativt, slik at for eksempel tallet kunne skrives med to symbol, som 120 og 100 plassert ved siden av hverandre.
Egypterne hadde en kalender der året var delt inn i 12 måneder, hver på 30 dager. I tillegg hadde en fem festdager, slik at året var 365 dager. Også konstruksjon og plassering av pyramidene vitner om at egypterne hadde et høyt utviklet system for telling og måling. For å kunne lage konstant helning på pyramidesidene hadde en for eksempel laget seg et mål tilsvarende dagens cotangens.
De viktigste kildene til egyptisk matematikk er papyrusruller, skrevet med blekk i hieratisk skrift, en forenklet, rundet form for hieroglyfer. Blant disse rullene er Rhind-papyrusen den viktigste. Denne er tidfestet til ca. 1550 f.Kr., men teksten indikerer at det er en kopi av et eldre dokument, sannsynligvis fra Mellomriket 2000 - 1800 f.Kr.: C.B.Boyer; A history of mathematics s.9ff Rhind-papyrusen er antageligvis skrevet som en lærebok i aritmetikk og geometri, og rullen inneholder en beskrivelse av metoder for brøkregning, multiplikasjon og divisjon samt problemer tilsvarende en enkel form for ligninger. Brøkregningen var i hovedsak begrenset til bruk av stambrøk, det vil si brøk med tallet 1 i teller (egyptiske brøker). Egypterne brukte imidlertid også brøken 2/3 og en sjelden gang brøker av typen . Rhind-papyrusen inneholder to tabeller, der ulike brøker skrives som en sum av stambrøker. I tillegg inneholder rullen 84 problemer med løsning, de fleste av matematisk karakter. Den grunnleggende operasjonen var addisjon. Multiplikasjon kunne utføres ved et system basert på dobling og summasjon. Divisjon brukte brøktabellene, sammen med en form for dobling av divisor.
Rhind-papyrusen beskriver også praktiske geometriske problem knyttet til beregning av areal og volum. I ett av problemene hevdes det at arealet av en sirkel med diameter 9 enheter er det samme som en firkant med sidekant 8 enheter. Dette gir et uttrykk for π svarende til . Det er ikke funnet bevis for at egypterne kjente til den pytagoreiske læresetningen, selv om Berlin-papyrusen kan indikere en form for kjennskap.
Moskva-papyrusen (ca. 1890 f.Kr.) er eldre enn Rhind-papyrusen, men ikke så innholdsrik.