thumb|300px|Plakett på Broome Bridge i Dublin til minne om oppdagelsen av kvaternioner. Den bærer teksten « Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication & cut it on a stone of this bridge.» Kvaternion (fra latin quaternio - gruppe med fire) eller Hamilton-tall er et element i en firedimensjonal utvidelse av de reelle tallene på samme måte som et komplekst tall er en todimensjonal utvidelse. Utvidelsen er ikke-kommutativ slik at når to kvaternioner multipliseres sammen, er resultatet avhengig av rekkefølgen til faktorene.
Hver kvaternion Q inngår i en algebra med fire basiselement (1,i,j,k) slik at den kan entydig skrives som
hvor a, b, c og d er reelle tall. Reglene for multiplikasjon av basiselementene ble funnet av William Rowan Hamilton i 1843. Historien sier at dette skjedde da han vandret med sin kone langs Royal Canal i Dublin. Med en kniv risset han de inn i steinen på en nærliggende bro for ikke å glemme dem. Senere ble oppdagelsen hedret med en plakett på samme sted.
Mengden av kvaternioner skrives H eller etter Hamilton. Da multiplikasjon er avhengig av rekkefølgen, danner den ikke en vanlig tallkropp som de reelle eller komplekse tallene gjør, men en divisjonsring der hvert element Q har en multiplikativ invers Q -1. Derfor kan man både både addere, subtrahere, multiplisere og dividere to kvaternioner Q og P med hverandre. Men på samme måte som multiplikasjon, er ikke divisjon lenger entydig da i allminnelighet er forskjellig fra .
Ligningen x2 + 1 = 0 har ingen løsninger i mengden av reelle tall. Men utvides denne til å inkludere komplekse tall, har den to løsninger i og -i der er den imaginære enheten. I mengden av kvaternioner har den samme ligningen uendelig mange løsninger.
I tillegg til ren matematisk interesse, benyttes kvaternioner også innen teoretisk fysikk hvor de gir en spesiell, kompakt metode til å beskrive rotasjoner i det tredimensjonale rommet. Dette har igjen anvendelser innen datagrafikk, robotikk og beregning av satellittbaner.
Kvaternioner er det enkleste eksempel på hyperkomplekse tall. De kan utvides til en algebra med åtte basiselement som utgjør mengden av oktonioner. Men i motsetning til kvaternionene, er denne divisjonsalgebraen ikke lenger assosiativ slik at i et produkt av tre eller flere oktonioner må rekkefølgen av de binære multiplikasjonene angis.
Basiselement Et komplekst tall kan skrives som z = a + bi hvor a og b er reelle tall og i er den imaginære enheten. Mengden av slike tall utgjør et todimensjonalt vektorrom med basiselement (1,i) hvor hver vektor har komponentene (a, b). Det samme vektorrommet utgjør også en algebra da produktet av to slike komplekse tall tilhører samme mengde fordi og . Den inverse av hvert komplekst tall kan også entydig finnes.S. MacLane and G. Birkhoff, Algebra, MacMillan Publishing Co., New York (1979). ISBN 0-02-978830-7.
Man kan prøve å utvide dette vektorrommet med en ekstra dimensjon ved å innføre en nye, imaginær enhet j som også tilfredsstiller j 2 = -1. Hvert tall i denne mengden vil da kunne skrives som a + bi + cj . Ved multiplikasjon av to slike tall, vil da produktet oppstå. Skal disse tallene utgjøre en algebra, må dette produktet kunne uttrykkes ved de tre basiselementene (1,i,j ). For å finne ut av egenskapene til dette nye produktet, kan man kvadrere det. Det gir i j i j. Hvis nå i og j kommuterer med hverandre, er dette lik med . Det betyr at slik at man må ha eller I begge tilfeller er den tredimensjonale utvidelsen i virkeligheten redusert til den opprinnelige i to dimensjoner.
I det motsatte tilfellet hvor de to basiselementene antikommuterer, kalte Hamilton dem for «tripletter». Skriver man dem med fete typer slik at , vil dermed . Produktet er derfor en imaginær størrelse som Hamilton ikke kunne uttrykke som et element i det tredimensjonale vektorrommet. Han måtte derfor til slutt innføre et fjerde basiselement med . På den måten får vektorrommet fire dimensjoner, og alle element har formen . Mengden av slike element ga Hamilton navnet kvaternioner. W. R. Hamilton, On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra, Philosophical Magazine 25(3), 489–495 (1844).
Presis definisjon +Multiplikasjon av basiselement×1ijk11ijkii −1k −jjj −k −1ikkj −i −1 Egenskapene til kvaternionene følger direkte fra egenskapene til basiselementene . Disse er entydig gitt ved definisjonene
som Hamilton opprinnelig kom frem til. For eksempel, ved å multiplisere med fra høyre, får man . Likedan gir en multiplikasjon med fra venstre at . Hvis dette resultatet så multipliseres med fra venstre, finner man at slik at disse to basiselementene antikommuterer med hverandre. Slik kan man fortsette og vise at de tre basiselementene og antikommuterer på samme måte. Men fremdeles gjelder og tilsvarende for de to andre basiselementene.
Disse detaljerte egenskapene kan sammenfattes som
Multiplikasjon av to vilkårlige kvaternioner kan nå utføres på en veldefinert måte.
Aritmetiske egenskaper
Da en kvaternion er et element i et vektorrom, vil den kunne adderes til en annen kvaternion P med resultatet
Herav følger også hvordan differansen mellom to kvaternioner kan finnes. Hvis alle komponentene i resultatet er null, snakker man om en «nullkvaternion» eller ganske enkelt 0.
Fra regnereglene for produkt av basiselement kan multiplikasjon av de to kvaternioner utføres. Som et et konkret eksempel kan man betrakte og . Da blir
I det generelle tilfellet gir det kvaternionske produktet
For hver kvaternion må det også eksistere en invers kvaternion med den egenskapen at under disse multiplikasjonsreglene.
Skalar-vektor oppsplitting
Resultatet av slik multiplikasjon kan gjøres mer opplysende ved å splitte en generell kvaternion med komponentene i en skalar del og en vektoriell del . Den kan da skrives som . Er den skalare delen lik med null, sies kvaternionen å være vektoriell eller imaginær. Derimot hvis den vektorielle delen er null, er kvaternionen skalar eller reell. For eksempel vil ligningen x 2 + 1 = 0 ha uendelig mange løsninger som er vektorielle kvaternioner med . De ligger på kuleflaten i et tredimensjonalt rom.
Med denne notasjonen kan nå summen av to kvaternioner skrives som , mens deres produkt er gitt som
Her er nå det vanlige indreproduktet, mens
er det tilsvarende kryssproduktet av de to tredimensjonale vektorene. Det følger fra de elementære kryssproduktene
hvor de diagonale produktene . Det generelle produktet av to vektorielle kvaternioner har en skalar del som er gitt ved indreproduktet av de tilsvarende vektorene og en vektordel som er gitt ved deres kryssproduktet. Mye av denne grunn blir derfor indreproduktet omtalt som et skalert produkt, mens kryssproduktet kalles et vektorprodukt.
Disse likhetstrekkene med vanlig vektoranalyse er ikke overraskene da kryssproduktet som der er av sentral betydning, oppsto i stor grad fra det kvaternionske produktet. Av samme grunn benyttes fremdeles notasjonen og som Hamilton innførte, for de kartesiske basisvektorene i et tredimensjonalt vektorrom. M.J. Crowe, A History of Vector Analysis, Dover Publications, New York (1994). ISBN 0-486-67910-1.
Konjugasjon og norm Størrelsen til et komplekst tall z = a + bi er gitt ved dets norm N(z) = a 2 + b 2. Kvadratroten av denne normen angir lengden |z | til vektoren som fremstiller tallet i det komplekse planet. Normen kan finnes fra det komplekskonjugerte tallet ved at = z *z = |z | 2. Normen til et produkt av to komplekse tall z1 og z2 vil da oppfylle Uttrykkes dette resultatet ved komponentene til de to tallene, oppfyller de en «to-kvadrats identitet» som kan føres tilbake til Diofantos. J. Stillwell, Mathematics and its History, Springer, New York (2002). ISBN 978-0-387-95336-6.
På samme måte defineres konjugasjon av en kvaternion som
og følger formelt fra Ved direkte multiplikasjon kan nå normen finnes fra definisjonen
slik at den er alltid positiv. Den inverse til kvaternionen er derfor
og oppfyller . Divisjon av to generelle kvaternioner og kan nå gjennomføres, men vil i allminnelighet kunne gi forskjellige resultet avhengig av om man beregner eller . Definerer man en «enhetskvaternion» ved at dens norm , vil den ha en invers som ganske enkelt er .
En konjugasjon av et produkt av to kvaternioner er gitt ved produktet av deres to konjugerte i omvendt rekkefølge, . Det kan man se nødvendigheten av allerede på enkleste nivå. For eksempel, Det betyr at
da multiplikasjon er assosiativ. Da hver norm er en sum av fire kvadrat, kalles denne egenskapen «Eulers fire-kvadrats identitet» og er
Likheten kan føres tilbake til Leonhard Euler som oppdaget den omtrent hundre år før Hamilton konstruerte kvaternionene.
Rotasjoner thumb|300px|Illustrasjon av et tredimensjonalt, cardansk oppheng som lar skiven i sentrum forbli i ro uavhengig av hvordan omgivelsene beveger seg ved kom-penserende rotasjoner om tre forskjellige akser.
Et komplekst tall z = x + i y kan fremstilles som en vektor i et todimensjonalt plan med kartesiske koordinater (x,y ). Hvis dette tallet multipliseres med et annet komplekst tall som har norm |z | 2 = 1, vil vektoren transformeres på en bestemt måte. Fra Eulers formel har man slik at den nye vektoren får koordinater og . Dette representerer en rotasjon av vektoren om en akse som står vinkelrett på planet da dens lengde forblir uforandret.
På en lignende måte kan kvaternioner benyttes til å beskrive rotasjoner i det tredimensjonale rommet. Da de tre basiselementene alle tilfredsstiller på samme måte som den imaginære enheten i i to dimensjoner, vil de kunne benyttes til å generere rotasjoner om x-, y- og z-aksen. Disse spesielle transformasjonene er gitt ved de tilsvarende enhetskvarternionene. S.L. Altmann, Rotations, Quaternions and Double Groups, Dover Publications, New York (1986). ISBN 0-486-44518-6. For eksempel vil en rotasjon om z-aksen være gitt som
Den inverse transformasjonen tilsvarer nå en rotasjonsvinkel -θ som forventet. Ved direkte utregning finner man herav
mens basiselementet forblir uforandret. Hvis man representerer en generell vektor i rommet ved den sektorielle kvaternionen vil den dermed transformeres til
under en rotasjon om z-aksen. Den viser den forventede forandringen av koordinatene normalt til rotasjonsaksen. Allerede året etter at Hamilton hadde etablert kvaternionene, viste Arthur Cayley at de kunne forbindes med slike romlige rotasjoner. A. Cayley, On certain Results relating to Quaternions, Philosophical Magazine 26(3), 141-145 (1845).
Generell rotasjon
Denne formalismen kan direkte utvides til å beskrive en rotasjon om en vilkårlig akse Velges den med norm er transformasjonen gitt ved enhetskvaternionen
der θ er rotasjonsvinkelen om denne aksen. Da produktet av to slike kvaternioner og vil gi en ny enhetskvaternion, danner rotasjonene en kontinuerlig Lie-gruppe som er SU(2). R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications, John Wiley & Sons, New York (1974). ISBN 0-471-30179-5. Eksplisitt kan man se det ved direkte utregning av kvaternionproduktet
som tilsvarer en rotasjon med en vinkel γ gitt ved
Dette uttrykket representerer cosinussetningen i sfærisk geometri. Den tilsvarende rotasjonsaksen c finnes fra
Grunnen til at de halve rotasjonsvinklene opptrer i denne formalismen, er forbundet med at kvaternionene kan avbildes på de todimensjonale matrisene som Pauli fant for kvantemekaniske partikler med spinn S = 1/2. R.L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, New York (2002). ISBN 0-8053-8714-5.
Rodrigues' rotasjonsformel 300px|right|thumb|Illustrasjon av Rodrigues' formel for rotasjon av vektoren v en vinkel θ om aksen k. Komponenten langs denne forblir uforandret, mens komponenten normalt på aksen roteres i et plan.