L’analisi es la branca dei matematicas derivada dau calcul infinitesimau desvolopat au sègle XVII. Es la disciplina matematica que tracta dei calculs implicant la nocion d'infinit. Compren de nocions fondamentalas coma lo limit, la continuitat, la derivacion e l'integracion tant per lei nombres reaus que complèxes. L'estudi deis espacis metrics e topologics, lo calcul dei variacions e la teoria dei foncions fan egalament partida de l'analisi. Existís donc un nombre important de sosbrancas coma l'analisi reala, l'analisi complèxa, l'estudi deis eqüacions diferencialas, l'analisi armonica ò l'analisi numerica.
Istòria
Lo periòde antic
Lei calculs aprochats e leis irracionaus
thumb|right|Fotografia de la tauleta YBC 7289, representacion pus anciana d'un calcul de la valor aprochada de √2.
L'analisi es probablament apareguda durant l'Antiquitat Auta amb lei calculs aprochats mesopotamians fondats sus de procès de calcul illimitats. En particular, lei Babilonians avián calculat una valor aprochada de √2 entre 1900 e 1600 avC(en) David Fowler e Eleanor Robson, « Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context », Historia Mathematica, vol. 25, 1998, pp. 366-378.. Entre 800 e 500 avC, de prèires indians trobèron tanben una approximacion racionala de √2(en) Kim Plofker, Mathematics in India, Princeton University Press, 2009, pp. 17-18.. Pasmens, lei metòdes utilizats per realizar aquelei calculs èran encara limitats. Ansin, lei trabalhs dau Grèc Eron d'Alexàndria († sègle I apC) marquèron una evolucion importanta en permetent d'estimar la valor de la racina carrada d'un nombre que que siegue. Segon son metòde, èra possible de trobar la racine d'un nombre A a partir d'una approximacion arbitrària a0 en calculant a1 = (a0 + A/a0)/2. Lo calcul èra repetit amb la valor novèla fins a l'obtencion d'una precision sufisentaAqueu metòde èra probable conegut en Egipte avans lei trabalhs d'Eron Alexàndria (Marianne Michel, Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problème, Safran Bxl, 2014)..
La descubèrta dei nombres irracionaus es un autre element de basa de la fondacion de l'analisi. Es probablament anciana mai leis escrichs pus vièlhs que parlan clarament d'aqueu subjècte son grècsPasmens, i a una linha dins un tractat indian que sembla indicar una conoissença de l'irracionalitat de √2 per de matematicians indians (Bibhutibhusan Datta, The Science Of The Sulba: A Study In Early Hindu Geometry, 1932). Pasmens, la datacion d'aqueu tèxte es pauc clar (entre 800 a 200 avC).. Segon Aristòtel (384-322 avC), la pròva de l'existéncia d'aquelei nombres foguèt establida per lei pitagoricians a partir d'un estudi sus la valor de √2(fr) Árpád Szabó (trad. Michel Federspiel), L'aube des mathématiques grecques, Vrin, 2000, p. 25.. L'estudi sistematic d'aquelei valors irracionalas foguèt realizada pus tard per Euclides (v. 325 - v. 265 avC) que definiguèt la nocion de rapòrt entre dos grandors. Dins aquò, la comprenença modèrna dei tèxtes grècs e dei descubèrtas dei matematicians dau periòde es malaisada en causa de l'usatge d'un vocabulari diferent dau lengatge modèrne dei matematicas. Ansin, certanei trabalhs grècs sus lei nombres irracionaus son desenant l'objècte d'interpretacions diferentas.
La question dei tangentas, dei diorismes e dei volums
Lei problemas de geometria ocupèron una plaça importanta dins lo desvolopament de l'analisi car sei problemas principaus foguèron la causa de recèrcas importantas fins a la Renaissença. Entre aquelei problemas, tres tenguèron un ròtle major – la question de la tangenta, lei diorismes e lei volums de certaneis objèctes – car apareguèron durant la recèrca de la quadratura dau ceucle. Per la tengenta, lo problema èra liat a l'existéncia « l'angle de contingéncia », es a dire l'angle entre la corba que limita una figura e la tangenta a aquela corba. Euclides declarèt impossible lo passatge d'una drecha entre la corba e la tangenta (unicitat de la tangenta). Pasmens, leis otís matematicas de l'Antiquitat e de l'Edat Mejana èran insufisents per descriure corrèctament un tal angle. Aquò entraïnèt fòrça debats que venguèron l'implicacion de filosòfs. Dins aquò, permetèron tanben de melhorar la visualizacion d'objèctes fòrça pichons.
Lei diorismes son liats a la question dei tangentas. Lo cas pus important per lei Grècs èra probablament aqueu de la parabòla elliptica, valent a dire l'eqüacion cubic. D'efiech, una tala eqüacion a pas totjorn doas racinas e lei matematicians grècs e arabs s'interessèron au cas limit de l'eqüacion amb una racina unica. L'estudi geometrica dei conicas mostrèt de liames entre aqueu cas e l'estudi dei tangentas. Apollonius de Perge (v. 240 avC - v. 190 avC) foguèt una figura importanta de l'estudi d'aquelei problemas(en) Julian L. Coolidge, A History of The Conic Sections and Quadric Surfaces, Dover, 1968, pp. 13-26.
La question dau calcul dei volums es egalament, en partida, liada a la question dei tangentas. Es principalament l'òbra de Democrit d'Abdèra (v. 460 - v. 370 avC) e d'Eudox de Cnide (408-355 avC). D'efiech, per calcular lo volum d'una piramida ò d'un còn, utilizèron d'aproximacions que prefiguran lo calcul infinitesimau(en) Morris Kline, Mathematical from ancient to modern times, Oxford University Press, 1972, p. 37..
De la descubèrta deis indivisibles au calcul diferenciau
Leis indivisibles e leis integralas
thumb|right|Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1653).
De la fin de l'Antiquitat a la fin de l'Edat Mejana, lei progrès en analisi foguèron febles. Pasmens, gràcias ai traduccions aràbias, una partida importanta dei sabers grècoromans foguèt pas perduda. De mai, quauquei progrès foguèron realizats en China e en Índia. Dins la premiera region, Zu Chongzhi (429-500) descurbiguèt lo principi de Cavalieri (ò metòde deis indivisibles) tre lo sègle V apC. Dich metòde deis indivisibles, aqueu principi consistís a devesir un volum en sosvolums simples per calcular pus aisament lo volum totau. Puei, dins la peninsula indiana, au sègle XII, Bhaskara II (v. 1114-1185) utilizèt la derivada e descurbiguèt lo teorèma de Rolle(en) Brajendranath Seal, « The positive sciences of the ancient Hindus », Nature, vol. 97, n° 2426, 1915, p. 177.. En Euròpa, se fau egalament nòtar lei trabalhs dau matematician francés Nicole Oresme (v. 1320-1382) qu'aguèt l'idèa d'utilizar de representacions graficas per visualizar lei foncions. Demostrèt tanben la divergéncia de la seguida armonica dins un tractat publicat en 1360(en) Victor J. Katz (dir.), Sourcebook in the Mathematics of Medieval Europe and North Africa, Princeton University Press, 2016, p. 184.. Pasmens, aquelei descubèrtas demorèron isoladas e foguèron gaire esplechadas.
La represa dei progrès en analisi aguèt donc luòc en Euròpa a partir de la fin de la Renaissença. D'efiech, en 1635, Bonaventura Cavalieri (1598-1647) publiquèt Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, un tractat que presentèt lo metòde deis indivisibles e que suscitèt un interès novèu per la disciplina au sen de l'elèit intellectuau dau continent(it) Umberto Bottazzini, Infinito, il Mulino, 2018, pp. 107-137.. En particular, de personalitats coma René Descartes (1596-1650), Pèire de Fermat (1601-1665), Gilles Personne de Roberval (1602-1675) e Evangelista Torricelli (1608-1647) s'interessèron ai trabalhs de Cavalieri. Aquò menèt au perfecionnament de son metòde e a la descubèrta deis integralas(fr) François de Gandt, L'Œuvre de Torricelli. Science galiléenne et nouvelle géométrie, Publication de la Faculté des Lettres et sciences humaines / les Belles lettres, 1987.(fr) François de Gandt, « Naissance et métamorphose d'une théorie mathématique : la géométrie des indivisibles en Italie (Galilée, Cavalieri, Torricelli) », dins Sciences et techniques en perspectives, n° 9, 1984-1985, pp. 179-229.. Pasmens, la premiera definicion de l'integrala èra unicament geometrica e foguèt encara necessari d'esperar 150 ans avans de veire la definicion modèrna d'aquela nocion.
Lei premierei basas dau calcul diferenciau
Lei premierei basas dau calcul diferenciau foguèron descubèrtas durant d'estudis sus lo traçat dei tangentas ai corbas. Fermat e Roberval s'interessèron fòrça a aqueu subjècte. Per aquò, trabalhèron sus de polinòmis permetent de calcular lei racinas d'una eqüacion representar la tangenta en un ponch donat. Durant aquel estudi, Fermat estudièt lo cas de la drecha y = ax + b tangenta en x<small>0</small> a la corba descricha per lo polinòmi P(x). Per exprimir aquela tangenta, Fermat cerquèt lo zerò dau polinòmi P(x, ax + b).
Aquò li permetèt d'exprimir lo problema dei tangentas d'un biais novèu. Per eu, s'una foncion racionala R(x) a un extremom en x<small>0</small> e se a es pròche (mai diferent) de x<small>0</small>, alora l'eqüacion R(x<small>0</small>) = R(a) accèpta doas racinas a e a + e qu'enquadran x<small>0</small>. Se se condidèra l'egalitat R(a) = R(a + e) en factorizant e, alora ven una eqüacion de la forma T(a, e) = 0. Se e es chausida egala a 0, l'eqüacion T(a, 0) = 0 permet alora de calcular l'extremom cercat. Un tau metòde prefigura largament lo calcul diferenciau qu'aparéis tanben dins lei trabalhs de Kepler ò de Descartes.
Lei seguidas entieras
L'estudi dei seguidas conoguèt una certana popularitat en França e en Anglatèrra a partir dau sègle XIV amb de personalitats coma Richard Swineshead († 1354). Pasmens, lei progrès foguèron lents fins a la segonda mitat dau sègle XVII. Lei matematicians anglés aguèron un ròtle centrau durant aqueu periòde que veguèt de progrès tant dins la teoria dei seguidas (invencion dau tèrme « seguida convergenta » per James Gregory(en) W. W. Rouse Ball, A Short History of Mathematics, 1908.) que dins leis aplicacions concrètas d'aqueu concèpte (binòmi de Newton, desvolopament de foncions trigonometricas...). Puei, en 1715, Brook Taylor (1685-1731) establiguèt un liame entre lei seguidas e lo calcul diferenciau gràcias a l'estudi dei seguidas que pòrtan son nom(en) Kirsti Andersen, Brook Taylor's work on linear perspective : a study of Taylor's role in the history of perspective geometry ; including facsimiles of Taylor's two books on perspective, Springer, 1992..
La descubèrta dau calcul diferenciau
thumb|right|Edicion dei trabalhs de Isaac Newton en fisica que presentan una dei premierei versions dau calcul diferenciau.
La descubèrta dau calcul diferenciau modèrne es atribuïda a Isaac Newton (1642-1727) e a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Lo premier s'interessèt au subjècte en desvolopament leis idèas d'Isaac Barrow (1630-1677) qu'èra estat son professor(fr) Jean-Pierre Niceron, Mémoires pour servir à l'histoire des hommes illustres, chez Briasson, t. 40, 1739, pp. 1-14.. Barrow aviá sintetizat lei trabalhs de Fermat e imaginat l'utilizacion d'acreissements pichons per estudiar lo problema dei tangentas. Newton desvolopèt aquelei recèrcas per leis adaptar ai grandors fisicas liadas au temps e ai formas geometricas. Aquò li permetèt de desvolopar sei teorias mecanicas onte lo calcul diferenciau tèn un ròtle centrau.