L’algèbra lineara es una branca de las matematicas qu'estúdia principalament los vectors, los espacis vectoriaus, las matritz e las aplicacions linearas. Permet mai que mai de representar e de resòlver de sistèmas d'eqüacions linearas. Pasmens, las aisinas de l'algèbra lineara son utilizadas dins fòrça domenis de las matematicas, la fisica, l'informacion, de l'engenhariá, de l'estatistica e del tractament de las donadas. Atau, la màger part de sas aplicacions consistís a representar una situacion amb de nombres organizats en vectors o en matritz, puèi a estudiar las transformacions d'aqueles nombres.
Istòria
Las originas de l'algèbra lineara se tròban dins de questions fòrça ancianas sus las eqüacions e la geometria. En particular, los matematicians antics cercavan de metòdes per determinar de quantitats desconegudas a partir d'un ensemble de relacions ligadas entre elas. En China, de metòdes per resòlver de sistèmas d'eqüacions foguèron atau desvolopats fa mai de dos millenaris. Per exemple, dins lo Jiǔzhāng Suànshù (« Nòu Capitóls sus l'Art del Calcul »), apareisson de tecnicas que presentan de semblanças amb lo metòde d'eliminacion de Gauss(fr) Karine Chemla e Guo Shuchun, Les neuf chapitres. Le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, París, Dunod, agost de 2005..
A partir dels sègles XVII e XVIII, los matematicians europèus desvolopèron de tecnicas mai generalas per estudiar los sistèmas d'eqüacions. Per exemple, Leibniz (1646-1716) estudièt de metòdes ligats al determinants(en) Matthew L. Jones, The Good Life in the Scientific Revolution: Descartes, Pascal, Leibniz, and the Cultivation of Virtue, Chicago, University of Chicago Press, octòbre de 2006, pp. 237-239. e, en 1750, Gabriel Cramer (1704-1752) publiquèt una règla permetent de trobar las solucions de certans sistèmas d'eqüacions(en) Thomas Muir, The theory of determinants in the historical order of development, New York, Dover Publications, 1905.. Puèi, al sègle XIX, foguèron pauc a pauc precisadas las nocions que forman l'algèbra lineara modèrna. Demest las figuras principalas d'aquela transformacion, se pòt citar lo matematician anglés Arthur Cayley (1821-1896) que contribuïguèt fòrça al desvolopament de la teoria de las matritz(fr) Raúl Ibáñez Torres (trad. Martine Joulia), L'origine de l'algèbre moderne : Cayley, Barcelona, RBA Coleccionables, 2018, p. 28.. Pasmens, cal tanben nòtar lo ròtle de James Joseph Sylvester (1814-1897) qu'inventèt lo tèrme « matritz »(en) J. J. Sylvester, « Additions to the articles in the September Number of this Journal "On a new Class of Theorem" and "On Pascal's Theorem" », London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine, vol. 37, novembre de 1850, pp. 363-369., e de Hermann Grassmann (1809-1877), William Rowan Hamilton (1805-1865) e Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) que desvolopèron las nocions d'espaci, de transformacion e de vector(en) Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System, Dover Publications, 1967.(en) Albert Lewis, « Hamilton, William Rowan (1805–1865) », Oxford Dictionary of National Biography (ed. en linha), Oxford University Press, 2004..
Al sègle XX, l'algèbra lineara venguèt una partida importanta de las matematicas modèrnas. Foguèt fòrça utilizada en fisica, en particular en mecanica quantica, e son usatge s'espandiguèt dins d'autres domenis amb l'aparicion dels ordinators e lo desvolopament del calcul numeric. Uèi, demòra una aisina fondamentala dins fòrça sciéncias e tecnicas.
Concèptes principals
Los vectors
Un vector es un objècte matematic generalament representat per un segment orientat que sos extremitats son son ponch de partença e son ponch d'arribada. Sa localizacion dins l'espaci es pas importanta que dos desplaçaments de dos ponchs d'origina diferents pòdon correspòndre au meteis vector. Un vector pòt èsser apondut a un autre vector e multiplicat per un nombre.
Dins un plan, un vector pòt èsser representat per una sageta. Per exemple, lo vector (3 ; 2) pòt representar un desplaçament de tres unitats dins una direccion e de doas dins una autra. Pasmens, la nocion de vector es pas limitada als vectors geometrics definits dins d'espaci de doas o de tres dimensions. Per exemple, dins un espaci de quatre dimensions, es possible de definir un vector (4 ; -2 ; 7 , 3). Dins d'autras situacions, una lista de nombre o quitament una foncion pòdon èsser consideradas coma de vectors.
Los espacis vectorials
Un espaci vectorial es un ensemble d'objèctes matematics que se pòdon apondre entre eles e multiplicar per de nombres, en respectant cèrtas règlas. Lo plan ordinari es un espaci vectorial de dimension 2 e l'espaci geometric es un espaci vectorial de dimension 3. Pasmens, existisson d'espacis vectorials de dimensions mai grandas. Per exemple, l'ensemble de las listas de 100 nombres pòt èsser considerat coma un espaci vectorial de dimension 100.
La dimension d'un espaci vectorial correspònd al nombre de vectors independents necessaris per descriure totes los vectors de l'espaci. Per exemple, per descriure un ponch o un vector dins un plan, doas coordenadas son necessàrias. Dins l'espaci ordinari, n'en cal tres. La dimension permet doncas de saber quantas informacions independentas son necessàrias per descriure un objècte dins l’espaci considerat.
Una basa es un ensemble de vectors independents que permet d'exprimir totes los vectors d'un espaci. Dins un plan, los vectors (0 ; 1) e (1 ; 0) forman una basa usuala. Per exemple, lo vector (3 ; 2) pòt s'escriure en foncion d'aqueles dos vectors : (3 ; 2) = 3 (1 ; 0) + 2 (0 ; 1). Los nombres 3 e 2 son alara las coordenadas del vector dins aquela basa. Es possible de causir d'autras basas. Las coordenedas càmbian, mas lo vector representat demòra lo meteis.
Las aplicacions linearas
Una aplicacion lineara es una transformacion que respècta l'addicion dels vectors e lor multiplicacion per un nombre. Se f es una aplicacion lineara, alara las doas relacions seguentas son verificadas :
Dins un plan, una rotacion al torn d'un ponch fix, una simetria o una dilatacion son d'exemples de transformacions que pòdon èsser linearas segon la transformacion considerada. Las aplicacions linearas pòdon èsser representadas per de matritz quand las basas dels espacis son fixadas.
Las matritz
Una matritz es un tablèu rectangular de nombres organizats en linhas e en colomnas. Per exemple :
Una matritz pòt servir a representar una aplicacion lineara, mas tanben a organizar los coeficients d’un sistèma d’eqüacions. De mai, las matritz pòdon èsser apondudas entre elas e multiplicadas. Pasmens, la multiplicacion de doas matritz es una operacion diferenta de la multiplicacion abituala dels nombres e l'òrdre de las matritz i es sovent important.
Una matritz es tanben caracterizada per son reng e son determinant. Lo reng d'una matritz permet de determinar lo nombre de direccions independentas que son representadas per sas linhas o sas colomnas. Per exemple, se la linha d'una matritz pòt èsser obtenguda a partir d'una autra per una multiplicacion simpla, aquela linha apond pas una informacion independenta. Lo reng es doncas una manièra de mesurar lo nombre d'informacions independentas contengudas dins una matritz.
Lo determinant es un nombre associat a una matritz carrada, es a dire una matritz que tèn un nombre identic de linhas e de colomnas. Dins lo cas d'una transformacion geometrica, la valor absoluda del determinant indica cossí la transformacion modifica las airas o los volums. Un determinant egal a zèro significa que la transformacion fa perdre almens una dimension. Una matritz carrada de determinant non nul a una matritz invèrsa.
Los sistèmas d'eqüacions linearas
Un sistèma d'eqüacions linearas es un ensemble d'eqüacions que devon èsser satisfachas d'un biais simultanèu. Per exemple, lo sistèma seguent :
Accèpta una solucion unica : x = 0,3 e y = -1,1.
Pasmens, un sistèma pòt tanben aver una infinitat de solucions o pòt èsser sens solucion. Una tecnica fòrça coneguda per estudiar aqueles sistèmas es l'eliminacion de Gauss que consistís a transformar progressivament lo sistèma per ne facilitar la resolucion.
Las valors pròprias e los vectors pròpris
Un vector pròpri d'una transformacion lineara es un vector non nul, après la transformacion, garda la meteissa direccion. La transformacion pòt alara cambiar sa longor e, eventualament, son sens. Lo nombre que descriu aquel cambiament es la valor pròpria. Per exemple, se una transformacion multiplica un vector per 3 sens ne cambiar la direccion, aquel vector es un vector pròpri e 3 es sa valor pròpria. Los vectors pròpris e las valors pròprias son utilizats dins fòrça domenis, especialament per estudiar de sistèmas que càmbian amb lo temps.
Aplicacions principalas
L'algèbra lineara es presenta dins fòrça domenis ont cal representar e transformar de quantitats.
Fisica
En fisica, los vectors servisson a representar de grandors coma la posicion, la velocitat, l'acceleracion e las fòrças. En efièch, las matritz permeton tanben de representar de transformacions geometricas e apareisson dins mai d'una teoria fisica, en particular en mecanica quantica.
Informatica
En informatica, los vectors e las matritz son utilizats per representar de donadas. Per exemple, un imatge numeric pòt èsser representat per una matritz de nombres correspondent als pixels. D'autras estructuras de donadas pòdon egalament èsser representadas jos forma de vectors o de matritz. L'algèbra lineara es tanben importanta dins lo calcul numeric que consistís a utilizar d'ordinators per resòlver de problèmas matematics.
Tractament de l'imatge e del senhal
Las operacions sus las matritz permeton de modificar e d'analizar d'imatges numerics. Un imatge pòt atau èsser agrandida, redusida, virada o transformada amb de metòdes que fan intervenir de calculs matricials. Lo meteis tipe d'aisinas es utilizat dins lo tractament de senhals, coma los senhals sonòrs o las donadas produsidas per de captors.
Estatistica e donadas
Quand una granda quantitat de donadas es representada jos forma de tablèu, las matritz permeton de las organizar e de las estudiar. De metòdes estatistics utilizan atau de matritz de correlacion o de covariància per descriure las relacions entre diferentas variablas. Los vectors pròpris e las valors pròprias intervenon tanben dins de metòdes de reduccion de dimension, coma l'analisi de composantas principalas.
Engenhariá
En engenhariá, l'algèbra lineara es utilizada per representar e estudiar de sistèmas mecanics, electronics o autres. Dins las simulacions numericas, un problèma fisic pòt èsser transformar en un grand sistèma d'eqüacions linearas. L'ordinator pòt alara utilizar de metòdes d'algèbra lineara per n'aprochar la solucion. Los elements finits, utilizats per exemple per estudiar lo comportament d'estructuras, fan intervenir de calculs d'aquela mena.
Grafes e rets
Un graf es format d'un ensemble de ponchs ligats entre eles per d'arestas. Una ret de transpòrt, una ret informatica o una ret de relacions interpersonalas pòdon, per exemple, èsser representadas amb un graf. Una matritz d'adjacéncia permet alara de representar aquelas relacions jos forma de nombres e l'algèbra lineara vèn una aisina utila per estudiar las proprietats de la ret.
Annèx
Ligams intèrnes Algèbra Aplicacion lineara Calcul numeric Determinant Espaci vectorial Matematicas Matritz Sistèma d'eqüacions linearas Vector
Bibliografia
(fr) Vincent Blanloeil, Une introduction moderne à l’algèbre linéaire, Ellipses, 2012.
Nòtas e referéncias
Categoria:matematicas