thumb|396x396px|Iperbòla obtenguda coma interseccion d'un còn e d'un plan En matematicas, una iperbòla es une corba plana obtenguda coma la dobla interseccion d'un doble còn de revolucion amb un plan. Pòt tanben se definir coma una conica d'excentricitat superiora a 1 o coma l'ensems dels punts que la diferéncia de las distàncias a dos punts fixes es constanta.
Una iperbòla es constituida de dos brancas disjonchas simetricas l'una de l'autra e possedissent doas asimptotas comunas.
Se pòt encontrar l'iperbòla dins fòrça circonstanças coma quand se representa graficament la foncion invèrsa, e aquela de totas las foncions que li son associadas: , o encara dins l'ombra creada per una font de lutz sus una paret, dins la trajectòria d'unes còs dins l'espaci o dins las interferéncias produchas per doas fonts d'ondulacions de meteissa frequéncia. Es tanben la corba seguida, pendent una jornada, pel tèrme de l'ombre del gnomòn de la mòstra de solelh d'estil polar.
L'iperbòla interven dins d'autres objèctes matematics coma los iperboloíds, lo paraboloíd iperbolic, las foncions iperbolicas. Sa quadratura, es a dire lo calcul de l'airal comprés entre una porcion d'iperbòla e son axe principal, es a l'origina de la creation de la foncion logaritme. thumb|Arc d'iperbòla dessenhada per l'ombre creada per una lampa
Definicions geometricas
Interseccion d'un còn e d'un plan Se considèra un còn de revolucion engendrada per la rotacion d'una drecha (OA) a l'entorn d'un axe (Ox) e se nomena θ l'angle geometric entre aquelas doas drechas. Se pren d'autre mena un plan que la normala fach amb l'axe (Ox) un angle superieur a π/2-θ. Se lo plan passe pas per O, trenca lo còn seguent una iperbòla. Se lo plan passe per O, trenca lo còn segon doas drechas secantas en O.
Quand una lampa amb paralum es plaçada près d'una paret verticala, la corba que delimita, sus la paret, la zona enlusida e la zona ombrejada es un arc d'iperbòla. De fach, la lutz es difusada segon un còn — los rais luminoses partisson del centre de l'ampola e s'apièjan sulcercle de l'overtura de la lampa — trencat par un plan parallèl a l'axe del còn — la paret. left|thumb|Principi de las linhas de declinason d'una mòstra de solelh Es tanben lo meteis principi qu'explica l'existéncia d'iperbòlas sus una mena de mòstra de solelh. Pendent una jornada, los rais solars passant per la punta del gnomòn dessenhan una partida de còn que l'axe, parallèl a l'axe de rotacion de la Tèrra, passa per la punta del gnomòn. L'ombre d'aquela punta, sul plan de la mòstra del solelh dessenha alara una partida d'iperbòlaDu moins cela est vrai pour tous les cadrans horizontaux situés entre les cercles polaires et tous les cadrans verticaux situés au delà des tropiques, nomenada arc diurn o linha de declinason, intersection del còn e d'un plan. Pendent l'annada, l'angle del còn varia. Als equinòccis, es de 90°, lo còn es un plan e l'ombra dessenha una drecha. Als solsticis, l'angle es de 66° 34' e l'ombra dessenha una iperbòla.
La construccion de l'iperbòla coma seccion d'un còn e d'un plan se pòt relizar amb un compàs perfièch.
Definicion per fogal e directritz thumb|Iperbòla d'excentricitat 3/2, amb son fogal F, sa directritz (D), sas asimptotas e son cercle principal. La distància MF es totjorn egala a un còp e mièg la distància MH Sián (D) una drecha e F un punt apartenent pas a (D), e siá P lo plan contenent la drecha (D) e lo punt F. Se nomena iperbòla de drecha directritz (D) e de fogal F l'ensems dels punts M del plan P verificant
ont d(M, F) mesura la distància del punt M al punt F e d(M, (D)) mesura la distància del punt M a la drecha (D).
La constanta e es nomenda excentricitat de l'iperbòla. Es caracteristica de la forma de l'iperbòla: se se transfòrma l'iperbòla per una similitud, son excentricitat demora incambiada. Es donc independenta de la causida arbitrària de la marca ortonormada per aquel plan; determina totes los autres rapòrts de distàcias (e totas las diferéncias angularas) mesurats sus l'iperbòla. Mai e es grand, mai l'iperbòla s'envasa, las doas brancas s'apròchant de la directritz. Mai e s'apròcha d'1 mai l'iperbòla se redondís, las doas brancas s'alunhant l'una de l'autra, aquela situada dins lo meteis miègplan que lo fogal s'aprochant d'una parabòla.
Notam K lo projectat ortogonal d'F sus (D). (KF) es alara clarament un axe de simetria de l'iperbòla nomenada axe focal.
L'axe focal trenca l'iperbòla en dos punts nomenats los soms S e S' de l'iperbòla.thumb|Traça del còn (Γ), del plan (P) , de l'esfèra (Σ) e del plan (P') dins lo plan passant per l'axe del còn e perpendicular a (P). La seccion del plan e del còn es una iperbòla de fogal F de directritz passant per K, de som S e d'excentricitat SF/SK.|esquèrraLa mediatritz del segment [SS'] es, tanben un axe de simetria de l'iperbòla nomenat axe non focal. Lo punt d'interseccion dels dos axes, notat O, es alara lo centre de simetria de l'iperbòla.
Lo cercle de diamètre [SS'] es nomenat cercle principal de l'iperbòla.
La simetria ortogonala al respècte de l'axe non focal envia lo fogal F e la directritz (D) en F' e (D'). Per simetria, l'iperbòla es tanben l'iperbòla de fogal F', de directritz (D') e d'excentricitat e.
Una tala iperbòla possedís en mai doas asimptòtas passant per O e pels punts d'interseccion del cercle principal e de las directriças. Aqueles punts son tanben los projectats ortogonals dels fogals sus las asimptotas. Aquelas doas asimptòtas son perpendicularas, se dich que l'iperbòla es equilatèra.
En relacion amb la definition precedenta, l'iperbòla obtenguda coma seccion de còn e de plan pòt èsser definida per fogal e directritz. Se considèra una esfèra (Σ) inscricha dins lo còn (Γ) e tocant lo plan (P) en F (esphèra de Dandelin) e (P') lo plan contenent lo cercle de tangéncia de l'esfèra e del còn. L'iperbòla es de fogal F e de directritz (D) drecha d'interseccion dels dos plans (P) e (P'). Dins lo plan perpendicular a (P) e passant per l'axe del còn, se trapan lo punt F, lo som S e lo punt K. L'excentricitat es donada pel rapòrt SF/SK. Depend pas que de l'inclinason del plan al respècte de l'axe del còn. Se se nomena (d) la traça de (P) dins lo plan perpendicular a (P) passant per l'axe del còn, se se nota α l'angle entre (d) e l'axe del còn e θ l'angle du còn, l'excentricitat es de cos(α)/cos(θ).
Aquela relacion entre fogal, directritz e excentricitat dins una iperbòla es expleitada dins la construccion de las lentilhas divergentas: se l'indici de la lentilha al respècte de la mitat es de e, e se la superfícia concava de la lentilha es una iperbòla de fogal F e d'excentricitat e, lo fais de rais parallèls passant la lentilha, s'espandís coma se los rais venián del fogal FRobert Ferréol, hyperbole, sur L'Encyclopédie des formes mathématiques remarquables
Definicion bifocala thumb|Proprietat de divergéncia d'una lentilha iperbolica L'iperbòla es lo luòc geometric dels punts que la diferéncia de las distància als dos fogals es constanta.
Geometricament, aquò fa:
Sián F e F' dos punts distinctes del plan, distants de 2c e siá a un real estrictament comprés entre 0 e c. Se nomena iperbole de fogals F e F' l'ensems dels punts M del plan verificant la proprietat seguenta:
L'axe focal es lo nom de la drecha portant ambedos fogals: es un dels dos axes de simetria de l'iperbòla, lo sol que la trenca. Per aquela rason, se lo nomena atal axe traversièr e sos punts comuns amb la corba son los soms S e S' de l'iperbòla. Lo real de la definition çai dessús aparéis coma la mitat de la distància entre los soms. Las directriças de l'iperbòla passan pel punt del contacte de las tangentas al cercle principal (cercle de diamètre [SS']) eissits dels fogalsConséquence de , prop. 24.1.16.
En cada punt M d'aquela iperbòla, la bisectritz del sector angular (FMF') se trapan èsser a tangenta en M a la corba.
Aquela construccion de l'iperbòla permet d'explicar la preséncia d'iperbòla pendent d'interferéncias entre doas fonts de meteissa frequéncia. Al punt M lo desfasatge de l'onda al respècte de la font S1 es proporcional a la distància MS1. Lo desfasatge entre l'onda venent de S1 e l'onda venent de S2 es donc proporcional a la diferéncia de las distàncias. Ambedoas ondas s'anullan quand lor desfasatge es egal a (2k+1)π. Ambedoas ondas s'amplifican quand lor desfasatge es de 2kπ. Los punts ont l'onda resultanta a una amplitud nulla e los punts ont l'onda resultanta a una amplitud maximala dessenhant donc un fais d'iperbòlas de fogals S1 e S2.
Existisson de mecanismes amb còrda e carèla expleitant aquela proprietat de las iperbòlas per dessenhar lor traçat. es lo cas del dispositiu realizat per Ibn Sahl al sègle XBoris A. Rosenfeld et Adolf P. Youshkevitch, « Géométrie », dans Histoire des sciences arabes, t. 2, Seuil, 1997, p. 97. center|thumb|Construccion mecanica d'una iperbòla segon lo metòde d'Ibn Sahl. La règla pivòta a l'entorn del fogal F2. Lo gredon M, sus la règla s'apièja sus una còrda F1MD de longor fixe e dessenha una partida d'iperbòla de fogals F1 e F2.|251x251pxcenter|thumb|Interferéncias produchas per doas fonts sincrònas amb las linhas nodalas e antinodalas|310x310px
Imatge d'un cercle par una omografia Coma tota conica, l'iperbòla se pòt considerar coma l'imatge d'un cercle per una transformacion projectiva. Mai precisament, se (H) es una iperbòla e (C) un cercle, existís una transformacion projectiva que transforma (C) en (H). Per exemple, l'iperbòla es l'imatge de son cercle principal per una transformacion projectiva que l'expression analitica, dins una marca ortonormada portada pels sieus axes de simetria, es
ont a es lo rai del cercle principal e ± b/a los penjals de las sieunas asimptòtas.
Aquela proprietat permet de transferir a l'iperbòla de las proprietats tocant de las règlas d'incidéncia de drechas dins un cercle, coma lo teorèma de Pascal.
D'entra las transformacions projectivas, n'i a de particularas coma las omologias armonicas. Son d'omologias involutivas de centre I d'axe (d) e de rapòrt -1. Dins aquelas, un punt M, son imatge M', lo centre I e lo punt m d'interseccion de (IM) amb (d) son en division armonica.
Un cercle (C) a per imatge una iperbòla per una omologia armonica de centre I e d'axe (d) se e pas que se l'imatge (d') de l'axe (d) per l'omotecia de centre I e de rapòrt 1/2 trenca lo cercle en dos puntsExtraits de la conférence de Michel Guillerault lors de l’université d'été 93, 3 - Conique comme transformée de cercle par homologie harmonique, sur le site de Cabri-Geomètre.. Reciprocament, una iperbòla essent donada, es possible de trobar de cercles e de las omologias armonicas associadas escambiant iperbòla e cercle. Per exemple: Una iperbòla de fogal F, de directritz (d) e d'excentricitat e es l'imatge del cercle de centre F e de rai eh (ont h es la distància entre lo fogal e la directritz) per l'omologia armonica de centre F e d'axe (d1) imatge de (d) dins l'homotecia de centre F e de rapòrt 2. Una iperbòla equilatèra es l'imatge de son cercle principal per una omologia armonica de centre un dels soms e d'axe (d) passant per l'autre som e perpendicular a l'axe principal de l'iperbòla. Quand l'iperbòla es pas equilatèra, demora l'imatge d'un cercle per una omologia armonica de centre un dels soms, mas lo cercle es pas mai le cercle principal e l'axe passa pas mai per l'autre som. Son d'omologias d'aquel tipe que permeton de montrar le teorèma de Frégier. center|thumb|L'iperbòla e lo cercle son omològs dins l'omologia armonica de centre F e d'axe (d1)center|thumb|L'iperbòla équilatèra e son cercle principal son omològs dns l'omologia armonica de centre S2 e d'axe (d). Per construire lo punt M' se dessenha per m una tangenta al cercle qui tòca lo cercle en M. La drecha (S2M) encontra la perpendiculara a l'axe focal passant per m en M'
Relacions entre las grandors caracteristicas d'una iperbòla thumb|Las diferentas grandors d'una iperbòla Las grandors (geometricas o numericas) d’una iperbòla son: