thumb|right|Simbòls dei quatre operacions aritmeticas elementàrias per lei nombres usuaus.
L’aritmetica es la branca dei matematicas qu'estúdia lei nombres entiers naturaus, relatius, racionaus e reaus e sei relacions e proprietats en liame amb leis operacions elementàrias (adiccion, multiplicacion, raiç carrada, etc.). Dins una acceptacion pus rara qu'es utilizada per lei matematicians, l'aritmetica inclutz de concèptes pus largs eissits de la teoria dei nombres. Intègra alora de brancas complèxas dei matematicas modèrnas coma l'aritmetica modulara, la teoria algebrica dei nombres ò l'aritimetica dei polinòms.
Istòria
L'aritmetica primitiva
Lei sistèmas egipcian e mesopotamian
thumb|right|Divèrsei chifras escrichas amb d'ieroglifs egipcians.
La numeracion escricha egipciana èra fondada sus la basa 10(fr) Marianne Michel, Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes, Brussèlas, Safran, 2023, 604 p.(de) Kurt Sethe, Von Zahlen und Zahlworten bei den alten Ägyptern und was für andere Völker und Sprachen daraus zu lernen ist : Ein Beitrag zur Geschichte von Rechenkunst und Sprache, Estrasborg, Karl J. Trübner, 1916.. Cada poissança de 10 èra representada per un ieroglif pròpri. Un nombre èra ansin escrich en adiccionant lei simbòls permetent d'arribar a sa valor. I aviá pas d'òrdre particular per gravar aquelei signes. Pasmens, coma aquò podia menar a de representacions lòngas, existissiá de notacions simplificadas per certanei nombres. Leis Egipcians conoissián tanben certanei fraccions. Per lei representar, utilizavan lo meteis sistèma de signes en indicant la natura fraccionària dau nombre per un simbòl especiau. Lei multiplicacions e lei divisions èran realizadas per un metòde de duplicacion que foguèt utilizat dins mai d'una region fins au sègle XIX.
La numeracion mesopotamiana apareguèt durant la segonda mitat dau millenari IV(en) Eleanor Robson, « Mathematics, metrology, and professional numeracy », dins Gwendolyn Leick (dir.), The Babylonian World, Londres e Nòva York, Routledge, 2007, pp. 418-431.. Sa branca pus coneguda es aquela desvolopada per lei matematicians babilonians. Èra fondada sus l'utilizacion d'una basa 10 per lei nombres pichons e d'una basa 60 per lei nombres pus grands. Aqueu sistèma es a l'origina de la nòstra mesura dau temps amb son ora devesida en 60 minutas. Per lei nombres pichons, son foncionament èra similar a la numeracion egipciana amb una representacion dei nombres per lo mejan d'una addicion ò, pus rarament, per d'una sostraccion de signes(en) Mathieu Ossendrivjer, Babylonian Mathematical Astronomy: Procedure texts, Springer, 2012, p. 30. En revènge, per lei nombres pus importants, veniá en partida posicionala car certaneis elements avián una plaça reservada dins l'escritura d'un nombre. Lo zèro foguèt longtemps desconegut, mai una notacion apareguèt dins leis observacions astronomicas tardivas vèrs la fin dau sègle III avC. Lo sistèma mesopotamian permetiá de representar leis entiers e lei fraccions aguent una poissança de 60 coma denominator.
Lei sistèmas grèc e roman
thumb|right|Divèrsei chifras escrichs amb lo sistèma de numeracion roman.
Lei matematicas grègas foguèron largament influenciadas per lei matematicas egipciana e babiloniana. Dins lo corrent de son istòria, lei Grècs utilizèron dos sistèmas diferents. Lo premier èra la numeracion attica qu'èra eissida dau sistèma ieroglific egipcian. Lo segond èra lo sistèma roman. Pasmens, lo premier aguèt una influéncia pus importanta car foguèt utilizat per mai d'un sabent important. Utilizava 27 letras per escriure lei nombres fins a . Un simbòl particular foguèt pus tard inventat per d'astronòms per representar un zèro. Per lei fraccions, lei Grècs foguèron incialament limitats ai fraccions conegudas per leis Egipcians. Pasmens, adoptèron pauc a cha pauc una notacion generala amb un numerator e un denominator per exprimir de rapòrts pus divèrs.
La numeracion romana èra basada sus un sistèma addicionau permetent de representar lei nombres 1, 5, 10, 50, 100, 500 e . Lei nombres escrichs avián un sens de lectura anant de la senèstra a la drecha. Èra possible de representar lei fraccions en utilizant una basa 12. Un sistèma d'abac permetiá de realizar rapidament d'operacions elementàrias(fr) Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, 1994, p. 454.. Aqueu sistèma es encara utilizat dins lo monde actuau per d'usatges particulars (notacion dei sègles, dei sobeirans, de l'annada de construccion d'un immòble, etc.).
Lo sistèma chinés
La numeracion chinesa es apareguda dins lo corrent dau millenari III avC. Constituïda de caractèrs chinés, es un sistèma de basa 10 qu'es fondat sus de principis posicionaus e addicionaus. Encara utilizada dins la China actuala, utiliza dos ensembles diferents de chifras : un jòc de chifras simplas (小写/小寫, « pichona escritura ») utilizat per lei notacions de la vida vidanta e un jòc pus sofisticat (大写/大寫, « granda escritura ») destinat ai notacions dins lei sectors bancaris e marchands.
Lo desvolopament deis auxiliars de calcul
Leis auxiliars de calcul son un ensemble de procès, desvolopats per mai d'un pòble, destinats a facilitar lei calculs dins la vida vidanta. Van dei taulas d'operacions elementàrias ai taulas trigonometricas e logaritmicas. Amb lo calcul mentau e lo calcul digitau, aguèron una gròssa importància fins a l'aparicion dei mejans de calcul modèrnes. Lor istòria es ansin un pan major de l'istòria de l'aritmetica.
La numeracion decimala de posicion
La numeracion actuala, basada sus lei chifras araboindianas apareguèt en Índia dins lo corrent dau sègle VI(en) Stephen Chrisomalis, Numerical Notation: A Comparative History, Cambridge University Press, 2010, pp. 194-197.. Descubèrt per leis Arabs, aqueu sistèma au sen dau monde musulman lòng dei rotas comercialas(en) David Eugene Smith e Louis Charles Karpinski, The Hindu–Arabic Numerals, Boston, Ginn, 1911, pp. 99-127. sota doas formas diferentas : lei chifras araboindianas occidentalas e lei chifras araboindianas orientalas. Arribant en Euròpa au sègle XII, lei premiers son a l'origina dei « chifras aràbias » utilizadas en Occident a l'ora d'ara(en) David Eugene Smith e Louis Charles Karpinski, The Hindu–Arabic Numerals, Boston, Ginn, 1911, pp. 2 e 134-135.. Pasmens, son usatge foguèt pas immediat, compres au sen de l'elèit sabent arabi, e foguèt esperar lo sègle XVI per veire la numeracion decimala de posicion araboindiana remplaçar lei sistèmas pus ancians eissits de la basa sexagesimala. Se fau nòtar que lei principis dei chifras indianas se difusèt tanben a l'èst ont inspirèt lo sistèma de notacion posicionala utilizat en China durant lo periòde Song(en) Frank Swetz, « The Evolution of Mathematics in Ancient China », dins Douglas M. Campbell e John C. Higgins, Mathematics: People, Problems, Results, Taylor & Francis, 1984..
Dei taulas logaritmicas ai maquinas de calcul
Amb lo desvolopament dei sciéncias, especialament aqueu de l'astronomia, de calculs pus complèxs apareguèron pus frequentament. Per lei resòuvre rapidament, mai d'un biais aproximatiu, divèrsei metòdes foguèron imaginats. Per exemple, a la fin dau sègle XVI e au començament dau sègle XVII, la prostaferèsi foguèt fòrça populara per calcular lei multiplicacions implicant de nombres compausats de plusors chifras. Èra fondada sus l'utilizacion de formulas coma, 2cos(a).cos(b) = cos (a + b) + cos (a – b), per remplaçar lei multiplicacions e lei divisions per d'addicion e de sostraccions(fr) Delambre, Histoire de l'astronomie moderne, 1821, vol. 1, p. 163.. Foguèt la cèrca de tecnicas similaras que menèt a la descubèrta dei logaritmes per John Napier (1550-1617) en 1614(fr) Maite Gorriz Farré e Santiago Vilches Latorre (trad. Simon Prime), L'origine du calcul et des logarithmes : Napier, Barcelona, RBA Coleccionables, 2018..
L'invencion dei règlas de calcul per lo matematician anglés Edmund Gunter (1581-1626) foguèt una consequéncia d'aquelei trabalhs. Aquelei sistèmas permetián de realizar rapidament de calculs complèxes per lo mejan d'un mecanisme logic. Per exemple, en 1623, l'astronòm Wilhelm Schickard (1592-1635) concebèt un relòtge calculant(fr) Jean Marguin, Histoire des instruments et machines à calculer, Hermann, 1994, p. 48.. Pasmens, la maquina de calcular pus famosa es la Pascalina de Blasi Pascal (1623-1662). Producha a quauqueis exemplaris(fr) Nathalie Vidal e Dominique Vogt, Les Machines Arithmétiques de Blaise Pascal, Clarmont-Ferrand, Muséum Henri-Lecoq, 2011., èra capabla de realizar d'addicions e de sostraccions. Pascal assaièt de la comercializar mai poguèt jamai redurre son còst de fabricacion d'un biais significatiu.
30 ans pus tard, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) concebèt una maquina capabla de realizar de multiplicacions. En 1691, capitèt de'n fabricar un exemplari reau(en) George Ifrah, The Universal History of Computing, John Wiley & Sons, Inc., 2001, p. 125., mai lo mecanisme foguèt jamai comercializat. L'interès per lei maquinas de calcular destinadas au grand public demorèt important durant lo sègle XVIII amb plusors prototipes recensats, mai ges de modèls economicament interessants. Aquò cambièt amb l'Aritmomètre de Thomas de Colmar. Après un lòng trabalh de recèrca e d'engenhariá entre 1850 e 1915, poguèt brevetar una maquina capabla de realizar totei leis operacions elementàrias que foguèt venduda a exemplaris entre 1850 e 1915. D'autrei modèls venguèron la concurrenciar a partir de la fin dau sègle XIX e lei maquinas de calcular conoguèron un desvolopament important fins a l'aparicion de l'informatica. Dispareguèron dins leis ans 1970 e foguèron remplaçadas per lei maquinas electronicas actualas.
L'aritmetica teorica
Lo periòde ellenic
L'aritmetica teorica preellenica es mau coneguda car lei documents sus aqueu subjècte son rars. Pasmens, èra pas inexistenta coma o mòstra quauquei documents fenicians de la premier mitat dau millenari I avC(fr) Pascal Mueller-Jourdan, Une initiation à la philosophie de l'antiquité tardive : les leçons du Pseudo-Elias, Friborg, Éditions du Cerf, 2007, p. 73.. Lei Pitagoricians son generalament considerats coma lei premiers teoricians de l'aritmetica, mai sei trabalhs mesclavan filosofia, metafisica e matematicas. Pasmens, foguèt necessari d'esperar lei trabalhs d'estructuracion dei matematicians grècs pus tardius, en particular aquelei d'Euclides (vèrs 325-265 avC) e Diofant d'Alexàndria († sègle III apC ?), per impausar la demostracion de concèptes importants coma l'irracionalitat de √2La demostracion de l'irracionalitat de √2 es sovent atribuïda a Euclides, mai leis istorians dei sciéncias contèstan aquela afiermacion. Aquela demostracion sembla puslèu lo resultat d'una lònga reflexion que se debanèt entre lei sègles V e III avC (J. L. Berggren, « History of Greek mathematics: A survey of recent research », Historia Mathematica, vol. 11, n° 4, novembre de 1984, pp. 394-410 ; M. Caveing, La figure et le nombre : Recherches sur les premières mathématiques des Grecs, Presses universitaires du Septentrion, 1998, pp. 33-75).. D'efiech, lei libres VII, VIII e IX deis Elements contènon una sintèsi dei conoissanças aritmeticas de l'epòca.