__TOC__ An matemàtica, ij nùmer reaj a peulo, ëd fasson motobin informal, esse capì tanme ij nùmer assossià a na longheur o na grandëssa fìsica. As trata dij nùmer, positiv, negativ o 0, ch'a l'han n'arpresentassion decimal finìa o infinìa. Visadì, a son ij rassionaj (ch'a peulo scrivse sot forma ëd frassion) completà daj nùmer dont l'arpresentassion decimal a l'é infinìa nen periòdica (an efet, un nùmer real a l'é rassional se sò dësvlup decimal a l'é periòdich. Për esempi, 1/3=0,333333... a l'é rassional), parèj dla rèis quadrà ëd 2 e π. Costi-sì a son ciamà nùmer irassionaj. Antra ij nùmer reaj as fa ëdcò distinsion antra ij nùmer algébrich e ij nùmer trassendent.
Ël termo nùmer real a l'ha fàit soa aparission për la prima vira dovrà da Georg Cantor ant ël 1883 an soe publicassion ansima ai fondament dla teorìa dj'ansem. A l'é na retronimìa, an rispòsta a l'anvension dij nùmer imaginari. Ij nùmer reaj a son al sènter dla dissiplin-a matemàtica dl'anàlisi real, a la qual a son debitor ëd gran part ëd soa stòria.
La notassion original dl'ansem dij nùmer reaj a l'é . Tutun, le litre an grassèt a j'ero malfé da scrive ansima a na lavagna o la carta; antlora la notassion a l'é amponusse.
thumb|right|260px|Arpresentassion dla reta dij reaj con dj'esempi ëd costante reaj
Ant la vita ëd tuti ij di Ij nùmer reaj a peulo arpresenté dle mzure, parèj che ël pressi d'un prodot, ël perìod ëd temp antra doi aveniment, l'autëssa (positiva o negativa) d'un leu geogràfich, la massa ëd n'àtom o la distansa dla pì leugna dle galassie. Ij nùmer reaj a son dovrà tuti ij di, për esempi an conomìa, an anformàtica, an matemàtica, an fìsica o an angegnerìa.
La pì part dël temp, mach chèich sot-ansem ëd reaj a son dovrà: j'antregh naturaj j'antregh relativ ij nùmer rassionaj, esprimìbij sot forma ëd frassion a numerator e denominator antregh ij nùmer decimaj, ch'a son ij reaj ch'as peulo scrivse ëd fasson finìa an base 10 ij nùmer algébrich, ch'a comprendo tut nùmer ch'as peul ëscrivse an dovrand le quatr operassion elementar e le rèis ij nùmer calcolàbij, ch'a comprendo scasi tut ij nùmer dovrà an siensa e an angegnerìa (dont ij pì avosà a son e e π)
Bele che tuti costi sot-ansem ëd reaj a son infinì, a son tuti numeràbij e a arpresento donca mach na part motobin cita dl'ansem dij reaj. Mincadun ëd costi a l'ha ëd soe proprietà. Doi a son particolarman ëstudià: ij nùmer rassionaj e ij nùmer algébrich; as ciamo irassionaj coj reaj ch'a son nen rassionaj e trassendent coj ch'a son nen algébrich.
An siensa La fìsica a deuvra ij nùmer reaj tanme ansem dë mzura për doe rason essensiaj:
J'arzultà d'un cont ëd fìsica a deuvro soens dij nùmer ch'a son nen rassionaj, sensa ch'ij fìsich a pijo an cont la natura ëd costi valor ant ij sò rasonament. La siensa a deuvra dij concet tanme l'andi anstantani o l'acelerassion. Costi concet a son pont ëd partensa ëd teorìe matemàtiche anté che l'ansem dij reaj a l'é na necessità teòrica. An dzorpì, costi concet a l'han ëd propriétà fòrte e indispensàbij se l'ansem dle mzure a l'é lë spassi dij nùmer reaj.
D'àutra part, ël fìsich a peul nen realisé dle mzure ëd precission infinìa. L'arpresentassion numérica dl'arzultà d'un cont a peul esse aprocià ëd fasson precisa tant ch'as veul con un nùmer decimal. A lë stat dla fìsica dël di d'ancheuj, a l'é ëdcò impossìbil da na mira teòrica realisé dle mzure ëd precision infinìa. A l'é për sòn che, sia pr'ij sò bzògn ësperimentaj che teòrich, bele che ël fìsich a càlcola le mzure an , a esprim j'arzultà numérich sot forma ëd nùmer decimaj.
Parèj, ël fìsich a deuvra le proprietà dij nùmer reaj ch'a përmëtto ëd deje un sens a le mzure ch'a realisa e a eufro dij teorema potent për dimostré soe teorìe. Për ij valor numérich, as contenta dij nùmer decimaj. Cand a mzura la distansa che a përcor un sòlid ansima a un sercc complet, a deuvra ël valor π sensa posesse ëd chestion ansima a soa esistensa, ma un nùmer ëd decimaj soens cit a-j basta për ij sò cont.
Për finì, bele ch'ij nùmer reaj a peulo arpresenté un përfond ëd grandësse fìsiche, e che cost ëspassi a l'abia pì dë mzure ch'a sia nen possìbil ëd dovré, ij nùmer reaj a van nen bin për travajé ansima a vàire dij problema fìsich. D'ansem pì grand ch'a conten-o ij reaj a son ëstàit creà për podèj manipulé vàire spassi fìsich. Për esempi: lë spassi , për modelisé djë spassi vetoriaj ëd dimension pì granda che 1; l'ansem dij nùmer compless dont la strutura a l'ha dle proprietà pì fòrte che cola dl'ansem dij nùmer reaj.
Considerassion tecnològiche Ij nùmer reaj a peulo esse arpresentà sot forma d'un dësvlup decimal infinì. An teorìa, un përfond ëd grandësse a peul donca esse arpresentà ëd la sòrt. An pràtica, costi nùmer a dësvlup decimal infinì a son nen bon pr'ij cont e a son nen arpresentàbij ansima a j'ordinator. J'economista e j'anginié a-i deuvro an abreviand-ne o an arotondand-ne ël dësvlup decimal infinì. Ëd sòlit ant ël comersi as arotonda a doe gifre apress la vìrgola.
J'anformàtich, ch'a l'han a soa disposission dij tipo ëd dàit parèj dla vìrgola mòbil e dla vìrgola fissa a deuvro ëdcò lor mach d'aprossimassion adate ai cont anformàtich. Për arpresenté ëd fasson finìa chèich reaj ansima a n'ordinator, a ventrìa dispon-e ëd na memòria infinìa o d'un processor dedicà ai càlcoj simbòlich.
Prime armarche ansima a la nossion ëd dësvlup decimal infinì Minca nùmer real a peul esse arpresentà sot forma ëd nùmer a dësvlup decimal infinì. Costa definission a peul ësmijé pì sempia che d'àutre dovrà ëd sòlit dai matemàtich. Tutun, as vëd dlongh che costa a compòrta dle definission e dle dimostrassion motobin pì complicà. An efet ij nùmer reaj a son anteressant për la strutura e le proprietà dl'ansem che costi a formo: adission, multiplicassion, relassion d'órdin, e le proprietà ch'a gropo coste nossion. Coste proprietà a son mal contnùe ant la definission dësvlup decimal infinì e a-i comparisso dij problema teòrich:
Chèich nùmer a l'han doe arpresentassion. Për esempi, ël nùmer x=0,9999... (ij 9 a van anans a l'infinì), a verìfica l'equassion 10x = 9+x. Ël nùmer y=1,000000... (ij 0 a van anans a l'infinì) a n'é ëdcò na solussion. L'esistensa e l'unissità ëd solussion për costa equassion a son doe proprietà essensiaj për na definission unìvoca dij reaj. Për armedié a costa situassion, a-i é da manca d'identifiché j'arpresentassion decimaj ch'a son solussion ëd na midema equassion linear: la definission a dventa pì complicà.
Dovré un dësvlup decimal a fa gieughe un ròl privilegià a la base 10. A costa dificoltà as peul passeje 'nsima. As peul dovresse na base qualsëssìa: as parla antlora ëd dësvlup an base p. A l'é antlora possìbil dimostré che j'ansem costruì a parte da coste base a son isomòrf e che le proprietà dij nùmer reaj a resto bon-e an tute coste base. Tutun le dimostrassion a ven-o pì dure, e la definission a perd ëd soa simplissità.
Për finì j'algoritm naturaj për fé n'adission o na multiplicassion, a treuvo na limitassion ant la dobia arpresentassion dij nùmer decimaj. An efet, le reste as ten-o da ment da drita vers ësnistra, e n'algoritm efetiv a ciama ëd traté mach un nùmer finì ëd decimaj, visadì ëd tronché ij nùmer ansima ai quaj as fan ij cont: a peul ancapité donca che bele troncand tant leugn ch'as veul, un a l'abia mai ël decimal precis, për esempi ant ël cont 0,33...+0,66...=1. Passé dzora a costa dificoltà a ciama ëd fé arferiment a dle nossion ëd convergensa, ch'a men-o ëd fasson natural vers d'àutre manere ëd definì ij reaj.
Tutun, na vira stabilìa la strutura dl'ansem dij nùmer reaj, la notassion për mojen dij dësvlup decimaj a përmet dij cont efetiv, an goernand lë spìrit che a son pà tant ij decimaj precis d'un nùmer ch'a conto, ma pitòst soa posission rëspet a j'àutri reaj.
Aspet ëstòrich Orìgin dij nùmer Nàssita dle frassion Da l'antichità l'arpresentassion ëd na grandëssa mzuràbil a l'ha rëspondù a në bzògn. La prima rispòsta a l'é stàita la costrussion dle frassion (an cossient ëd doi antregh positiv). Costa solussion, butà an euvra motobin prest dai sumer e j'egissi, a l'ha marcià bin. Sòn a përmet d'avzinesse a na longheur qualsëssìa con tuta la precission ch'as veul.
Corëspondensa con le longheur thumb|left|Euclid La prima formalisassion sistematisà ch'as conòssa a l'é l'arzultà dël travaj d'Euclid ant ël III sécol aGC. Soa costrussion, arportà ant jElement, a men-a doe ideje fiamenghe ëd grand amportansa ant la stòria dla matemàtica.
La matemàtica a l'é formalisà con dj'assiòma, dij teorema e dle dimostrassion. As peul antlora costruì un sistema, con dij teorema anté che le dimostrassion as pògio ansima a d'àutri teorema. La matemàtica a l'é classificà an branche, dont la geometrìa e l'aritmética a na son le prinsipaj. Parlé ëd costrussion a l'ha antlora sò sens.
Un pont a l'é fabricà antra coste doe categorìe. Costa manera 'd rasoné, ch'a përmet ëd dovré dj'arzultà d'un-a dle doe branche dla matemàtica për fé lus an sl'àutra a l'é dle pì produtive. Ij nùmer a son antlora butà an corëspondensa con dle longheur ëd segment.
Problema d'incompletëssa Irassionalità dla rèis quadrà ëd 2 thumb|right|300px|Ël quadrà celest a l'ha surfassa dobia ëd cola dël quadrà gris
L'apròcc d'Euclid a buta an evidensa la prima contradission antra la nossion ëd nùmer dl'época, le frassion, e ël ròl che a l'é atribuije, l'arpresentassion ëd na grandëssa mzuràbil.
Na longheur dont ël quadrà a l'é ugual a 2 a esist. Un rasonament geométrich, gìa vej a l'época d'Euclid, a mostra ch'a l'é possìbil ëd costruì un quadrà B ëd surfassa dobia ëd cola d'un quadrà inissial A ch'as peul serne ëd banda ugual a 1. Se as denòta con la longheur dël lat dël quadrà B, ch'a l'é ugual a la longheur dla diagonal dël quadrà A, l'ugualiansa a l'é antlora verificà.
Na longheur dont ël quadrà a l'é ugual a 2 a esist pà sot forma ëd frassion. Chèich arzultà a son gìa conossù an aritmética, për esempi ël lema d'Euclid. À parte d'ës lema-sì as mostra che gnun nùmer a peul esse la rèis quadrà ëd 2. Ambelessì, nùmer a veul dì frassion positiva dagià che gnun-a àutra formalisassion a l'é ancor imaginàbil.
J'Element d'Euclid as fondo ansima a n'assiomàtica anté ch'a smija podèisse prové che na proposission a l'é ansema vera e fàussa. A-i sarà da manca ëd pì'd 2000 agn për l'umanità për arzòlve costa aparent contradission, an dasens na spiegassion dël përchè ij rassionaj a arpresento mach an manera imperfeta la reta real e trové coma arpresentela mej.
A l'é da armarché che tre sécoj anans Euclid, a l'é bel fé che Pitàgora a fussa a conossensa dl'irassionalità ëd chèiche rèis. D'àutra part, la prima formalisassion d'un ver sistema matemàtich costruì a ven d'Euclid.
La rèis quadra ëd 2 a l'é irassional Na dimostrassion për assurd ëd Paul Erdős, a mostra che a l'é irassional.
Butoma donca che a sia un rassional. A esisto antlora doi antregh p e q (pì grand che 0) parèj che .
An semplificand con ël divisor comun pì grand ëd p e q, i pudoma assume che p e q a sio prim antra 'd lor (la frassion a l'é dita ireduvìbil).
Elevoma al quadrà ij doi mèmber për oten-e
An multiplicand për q2 ij doi mèmber, i otnoma antlora
I na concludoma che 2 a divid e d'apress ël lema d'Uclid, dagià che 2 a l'é prim, i pudoma dì che 2 a divid p, donca a esist k antregh tal che p=2k. I otnoma antlora an semplificand për 2:
Costa ugualiansa a mostra, d'apress ël lema d'Uclid, che 2 a divid q.
I l'oma donca fàit vëdde che 2 a divid p e q, lòn ch'a l'é contraditòri con l'ipòtesi ëd partensa, anté ch'i l'avìo pijà p e q prim antra 'd lor.
Dësvlup decimal ilimità nen periòdich Se le frassion a permëtto an manera efetiva d'esprime minca longheur con la precision vorsùa, a venta tutun ten-e da ment che j'operassion, e an particolar la division, a dvento complicà se ël sistema ëd numerassion a l'é sernù pà bin.