Em processamento de sinais, o filtro de Wiener é um método estatístico usado para obter, a partir de observações incompletas ou contaminadas por ruído, a melhor estimativa linear possível de um sinal de interesse segundo o critério do erro quadrático médio. Em vez de simplesmente eliminar faixas de frequência escolhidas previamente, o filtro utiliza informações sobre a maneira como o sinal observado e o sinal desejado variam e se correlacionam. Com isso, pode ser empregado para reduzir ruído em imagens e áudio, compensar distorções introduzidas por canais de comunicação e realizar a predição de sinais.
Na formulação matemática clássica, o processo observado e o processo desejado são modelados como processos aleatórios conjuntamente estacionários em sentido amplo. O filtro minimiza, entre os filtros lineares admissíveis, o valor esperado do quadrado do erro de estimação; por isso, a solução é denominada estimativa linear de erro quadrático médio mínimo (LMMSE, do inglês linear minimum mean-square error). Quando os processos são conjuntamente gaussianos, o estimador LMMSE coincide com o estimador MMSE sem restrição de linearidade.
Descrição O objetivo do filtro de Wiener é calcular uma estimativa estatística de um sinal desconhecido usando um sinal relacionado como entrada e filtrando-o para produzir essa estimativa. Por exemplo, o sinal conhecido pode consistir em um sinal de interesse desconhecido que foi corrompido por ruído aditivo. O filtro de Wiener pode ser usado para atenuar o ruído do sinal corrompido, fornecendo uma estimativa do sinal subjacente de interesse.
Filtros determinísticos típicos são projetados para se obter uma resposta em frequência desejada. No entanto, o projeto do filtro de Wiener adota uma abordagem diferente. Assume-se que se tenha conhecimento das propriedades espectrais do sinal original e do ruído, e busca-se o filtro linear invariante no tempo cuja saída se aproxime o máximo possível do sinal original. Os filtros de Wiener são caracterizados pelo seguinte:
Hipótese: o sinal e o ruído aditivo são processos estocásticos estacionários, com características espectrais conhecidas ou com autocorrelação e correlação cruzada conhecidas Requisito: o filtro deve ser fisicamente realizável/causal (esse requisito pode ser dispensado, resultando em uma solução não causal) Critério de desempenho: erro quadrático médio mínimo (MMSE)
Este filtro é frequentemente usado no processo de deconvolução; para esta aplicação, veja Deconvolução de Wiener.
Em um caso particularmente comum, a observação é dada por
em que é o sinal desejado e é um ruído não correlacionado com o sinal. Para o filtro não causal, a resposta em frequência ótima é
Assim, componentes espectrais dominadas pelo sinal são preservadas, enquanto aquelas dominadas pelo ruído são atenuadas.
Formulações e soluções
Tempo contínuo
Seja o processo que se deseja estimar a partir do processo observado . O caso corresponde à predição, à filtragem e à suavização.
Adota-se neste verbete a convenção
e denota-se por a transformada de Fourier de . Assim,
e
No caso de tempo contínuo, serão consideradas duas formulações. Na primeira, não se impõe a restrição de causalidade, de modo que a estimativa pode depender de valores passados e futuros do processo observado. Na segunda, exige-se que o filtro seja causal, de modo que a estimativa em determinado instante dependa apenas dos valores presentes e passados da observação. A solução sem restrição de causalidade é mais simples, enquanto a solução causal exige uma fatoração espectral do processo observado.
Solução não causal Para estimar a partir de , considera-se a saída
O filtro LIT ótimo sem restrição de causalidade tem resposta em frequência
em que é a densidade espectral de potência de e é a densidade espectral de potência cruzada entre o processo desejado e o processo observado.
Definindo o erro como , o erro quadrático médio mínimo pode ser escrito como
Como , tem-se e . Portanto,
A resposta ao impulso é obtida pela transformada inversa de Fourier de .
Solução causal Quando se impõe a exigência de causalidade, a solução do filtro de Wiener pode ser expressa em termos de uma fatoração espectral do espectro do sinal observado. Seja a densidade espectral de potência de e a densidade espectral de potência cruzada entre e .
Faz-se uma fatoração espectral (Wiener–Hopf)
em que é escolhido como um fator causal/estável (associado a uma resposta ao impulso nula para e com inversa também causal/estável) e é o fator complementar (anti-causal). Para processos reais, é comum tomar .
Define-se então o operador como a parte causal de uma função no domínio da frequência: se tem transformada inversa de Fourier , então é a transformada de , em que é o degrau unitário (isto é, descarta-se a parte para ).
Com essa notação, define-se
e a solução causal do filtro de Wiener é
Em muitos exemplos didáticos, quando os espectros admitem representações racionais (via extensão analítica), a operação pode ser implementada por decomposição em frações parciais e retenção apenas dos termos compatíveis com causalidade/estabilidade (no caso contínuo, termos associados a polos no semiplano esquerdo).
A resposta ao impulso é obtida pela transformada inversa de Fourier de .
Filtro de Wiener em tempo discreto miniatura|Diagrama de um filtro de Wiener FIR em tempo discreto. A saída é comparada ao sinal desejado , produzindo o erro . Os coeficientes do filtro são escolhidos para minimizar o erro quadrático médio. Em tempo discreto, também podem ser considerados filtros com resposta ao impulso bilateral ou causal de duração infinita. Nesta seção, considera-se especificamente um filtro de resposta ao impulso finita (FIR) causal. Como o filtro possui um número finito de coeficientes, a minimização do erro quadrático médio reduz-se à solução de um sistema finito de equações lineares, denominado sistema de equações de Wiener–Hopf.
Considere um filtro FIR causal de ordem e comprimento , com vetor de pesos
e vetor de regressores
Adotando a convenção usual para sinais complexos, a saída do filtro é
Seja o sinal desejado. O erro é definido como
e o vetor é escolhido para minimizar
No filtro ótimo, o erro é ortogonal a todas as amostras utilizadas para formar a estimativa. No caso FIR, essa condição pode ser escrita como
A aplicação desse princípio conduz às equações de Wiener–Hopf:
em que é a matriz de autocorrelação (Toeplitz hermitiana) do vetor de entrada e
é o vetor de correlação cruzada entre a entrada e o desejado ( denota transposta conjugada e denota conjugação complexa).
Em termos de correlações escalares, usando a convenção
e
tem-se e para .
Assim, quando é inversível,
Para sinais reais, torna-se Toeplitz simétrica e vale ; para sinais complexos, é Toeplitz hermitiana e vale .
Devido à estrutura Toeplitz, existem algoritmos eficientes para resolver as equações de Wiener–Hopf sem inversão explícita, como o algoritmo de Levinson–Durbin (e suas extensões para o caso hermitiano).
Relação com mínimos quadrados
Considere pares de dados e forme a matriz
e o vetor
As estimativas amostrais das estatísticas de segunda ordem são
e
Quando é inversível, a solução de mínimos quadrados é
Essa solução converge para quando as estimativas amostrais convergem para as estatísticas dos processos envolvidos.
Aplicações O filtro de Wiener tem uma variedade de aplicações em processamento de sinais, processamento de imagens, sistemas de controle e comunicações digitais. Essas aplicações geralmente se enquadram em uma das quatro categorias principais:
Identificação de sistemas Deconvolução Redução de ruído Detecção de sinal
O filtro de Wiener pode ser usado no processamento de imagens para remover ruído de uma imagem. Por exemplo, usar a função matemática: WienerFilter[image,2] na primeira imagem à direita produz a imagem filtrada abaixo dela.
Filtros de Wiener são empregados na redução de ruído e no realce de sinais de fala.
A implementação de codificador SVT-AV1 emprega um filtro de Wiener bidimensional na redução de ruído utilizada durante a estimação dos parâmetros de granulação do filme.
História OO trabalho de Norbert Wiener sobre interpolação, extrapolação e suavização de séries temporais estacionárias foi inicialmente apresentado em um relatório de 1942 e publicado em forma de livro em 1949. Andrei Kolmogorov publicou independentemente uma formulação em tempo discreto em 1941. Por essa razão, a teoria também é denominada filtragem de Wiener–Kolmogorov. Em um apêndice ao livro de Wiener, Norman Levinson apresentou uma formulação em tempo discreto baseada na solução de um sistema finito de equações de correlação.
Ver também
Deconvolução Filtro de Kalman Filtro FIR Método de Wiener–Hopf
Leitura adicional
Thomas Kailath, Ali H. Sayed e Babak Hassibi, Estimativa Linear, Prentice-Hall, NJ, 2000, . Referências
Ligações externas
Função matemática do Filtro de Wiener
Categoria:Teoria dos filtros Categoria:Processamento de sinais