Na geometria algébrica, os motivos (ou às vezes motifs, seguindo o uso em francês) constituem uma teoria proposta por Alexander Grothendieck na década de 1960 para unificar a vasta gama de teorias de coomologia com comportamentos semelhantes, como a coomologia singular, a coomologia de de Rham, a coomologia étale e a coomologia cristalina. Filosoficamente, um "motivo" é a "essência coomológica" de uma variedade algébrica.
Na formulação de Grothendieck para variedades projetivas suaves, um motivo é uma tripla , onde é uma variedade projetiva suave, é uma correspondência idempotente, e m um inteiro; no entanto, tal tripla contém quase nenhuma informação fora do contexto da categoria de motivos puros de Grothendieck, onde um morfismo de para é dado por uma correspondência de grau . Uma abordagem mais focada no objeto é adotada por Pierre Deligne em Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. Nesse artigo, um motivo é um "sistema de realizações" – isto é, uma tupla
consistindo em módulos
sobre os anéis
respectivamente, vários isomorfismos de comparação
entre as mudanças de base óbvias desses módulos, filtrações , uma ação do grupo de Galois absoluto em e um automorfismo de "Frobenius" de . Estes dados são modelados nas coomologias de uma variedade -projetiva suave e nas estruturas e compatibilidades que admitem, e dão uma ideia sobre que tipo de informação está contida em um motivo.
Introdução A teoria dos motivos foi originalmente conjecturada como uma tentativa de unificar uma gama de teorias de coomologia que se multiplicavam rapidamente, incluindo a coomologia de Betti, a coomologia de de Rham, a coomologia l-ádica e a coomologia cristalina. A esperança geral é que equações como
[reta projetiva] = [reta] + [ponto]
[plano projetivo] = [plano] + [reta] + [ponto] possam ser colocadas em bases matemáticas cada vez mais sólidas com um significado profundo. Obviamente, já se sabe que as equações acima são verdadeiras em muitos sentidos, como no sentido de um CW-complexo onde "+" corresponde a anexar células, e no sentido de várias teorias de coomologia, onde "+" corresponde à soma direta.
Sob outro ponto de vista, os motivos dão continuidade à sequência de generalizações desde funções racionais em variedades, passando por divisores em variedades, até grupos de Chow de variedades. A generalização acontece em mais de uma direção, já que os motivos podem ser considerados em relação a mais tipos de equivalência do que a equivalência racional. As equivalências admissíveis são dadas pela definição de uma relação de equivalência adequada.
Definição de motivos puros A construção da categoria dos motivos puros geralmente ocorre em etapas via correspondências e completamentos pseudoabelianos; uma referência clássica é Kleiman, e exposições modernas podem ser encontradas em introduções como André.Abaixo, descrevemos o caso dos motivos de Chow . Primeiro passo: categoria das correspondências (de grau 0), Corr(k) Os objetos de são simplesmente as variedades projetivas suaves sobre k. Os morfismos são correspondências. Elas generalizam morfismos de variedades , que podem ser associados com seus grafos em , para ciclos de Chow de dimensão fixa em .
Será útil descrever correspondências de grau arbitrário, embora os morfismos em sejam correspondências de grau 0. Em detalhes, sejam X e Y variedades projetivas suaves e considere uma decomposição de X em componentes conexas:
Se , então as correspondências de grau r de X para Y são
onde denota os ciclos de Chow de codimensão k. As correspondências são frequentemente denotadas usando a notação "⊢", ex., . Para quaisquer e a sua composição é definida por
onde o ponto denota o produto no anel de Chow (isto é, a interseção).
Voltando à construção da categoria note que a composição de correspondências de grau 0 é de grau 0. Portanto, definimos os morfismos de como sendo as correspondências de grau 0.
A associação a seguir é um funtor (aqui denota o grafo de ):
Assim como a categoria possui somas diretas () e produtos tensoriais (). É uma categoria pré-aditiva. A soma de morfismos é definida por
Segundo passo: categoria dos motivos de Chow efetivos puros, Choweff(k)
A transição para os motivos é feita tomando-se o envelope pseudoabeliano de :
.
Em outras palavras, motivos de Chow efetivos são pares de variedades projetivas suaves X e correspondências idempotentes α: X ⊢ X, e os morfismos são de um certo tipo de correspondência:
A composição é a composição de correspondências definida acima, e o morfismo identidade de (X, α) é definido como sendo α : X ⊢ X.
A associação,
onde ΔX := [idX] denota a diagonal de X × X, é um funtor. O motivo [X] é frequentemente chamado de motivo associado à variedade X.
Como pretendido, Choweff(k) é uma categoria pseudoabeliana. A soma direta de motivos efetivos é dada por
O produto tensorial de motivos efetivos é definido por
onde
O produto tensorial de morfismos também pode ser definido. Sejam f1 : (X1, α1) → (Y1, β1) e f2 : (X2, α2) → (Y2, β2) morfismos de motivos. Então, sejam γ1 ∈ A(X1 × Y1) e γ2 ∈ A(X2 × Y2) representantes de f1 e f2. Logo
,
onde πi : X1 × X2 × Y1 × Y2 → Xi × Yi são as projeções.
Terceiro passo: categoria dos motivos de Chow puros, Chow(k) Para avançar para os motivos, adjuntamos a Choweff(k) um inverso formal (em relação ao produto tensorial) de um motivo chamado de motivo de Lefschetz. O efeito é que os motivos passam a ser triplas em vez de pares. O motivo de Lefschetz L é
.
Se definirmos o motivo 1, chamado de motivo de Tate trivial, por 1 := h(Spec(k)), então a elegante equação
é válida, uma vez que
O inverso tensorial do motivo de Lefschetz é conhecido como o motivo de Tate, T := L−1. Então definimos a categoria dos motivos de Chow puros por
.
Um motivo é, portanto, uma tripla
tal que os morfismos são dados pelas correspondências
e a composição de morfismos provém da composição de correspondências.
Como pretendido, é uma categoria pseudoabeliana rígida.
Outros tipos de motivos Para definir um produto de interseção, os ciclos devem ser "móveis" para que possamos interceptá-los em posição geral. A escolha de uma relação de equivalência adequada em ciclos garantirá que todo par de ciclos tenha um par equivalente em posição geral que possamos intersetar. Os grupos de Chow são definidos usando a equivalência racional, mas outras equivalências são possíveis, e cada uma define um tipo diferente de motivo. Exemplos de equivalências, da mais forte para a mais fraca, são
Equivalência racional
Equivalência algébrica
Equivalência nilpotente-smash (às vezes chamada de equivalência de Voevodsky)
Equivalência homológica (no sentido da coomologia de Weil)
Equivalência numérica A literatura ocasionalmente chama todo tipo de motivo puro de motivo de Chow, caso em que um motivo em relação à equivalência algébrica seria chamado de motivo de Chow módulo equivalência algébrica.
Motivos mistos Para um corpo base fixo k, a categoria dos motivos mistos é uma conjectural categoria tensorial abeliana , juntamente com um funtor contravariante
assumindo valores em todas as variedades (não apenas nas projetivas suaves, como era o caso dos motivos puros). Isso deve ser tal que a coomologia motívica definida por
coincida com a prevista pela K-teoria algébrica, e contenha a categoria dos motivos de Chow num sentido adequado (e outras propriedades). A existência de tal categoria foi conjecturada por Alexander Beilinson.
Em vez de construir tal categoria, foi proposto por Deligne construir primeiramente uma categoria DM com as propriedades esperadas para a categoria derivada
.
Recuperar MM a partir de DM seria então realizado por meio de uma (conjectural) t-estrutura motívica.
O estado atual da teoria é de que temos, de fato, uma categoria DM adequada. Essa categoria já é útil em aplicações. A demonstração de Vladimir Voevodsky, que lhe rendeu a Medalha Fields, para a conjectura de Milnor utiliza esses motivos como um ingrediente fundamental.
Existem diferentes definições propostas por Hanamura, Levine e Voevodsky. Sabe-se que elas são equivalentes na maioria dos casos, e daremos a definição de Voevodsky abaixo. A categoria contém os motivos de Chow como uma subcategoria plena e fornece a "correta" coomologia motívica. Contudo, Voevodsky também demonstrou que (com coeficientes inteiros) ela não admite uma t-estrutura motívica.
Motivos mistos geométricos
Fixaremos um corpo de característica e deixaremos que seja nosso anel de coeficientes.
Variedades suaves com correspondências Dada uma variedade suave e uma variedade , chamamos de correspondência prima de para um subesquema fechado integral que é finito sobre e sobrejetivo sobre uma componente de . Em seguida, podemos tomar o conjunto de correspondências primas de para e construir um -módulo livre . Seus elementos são chamados de correspondências finitas. Então, podemos formar uma categoria aditiva cujos objetos são variedades suaves e os morfismos são dados por correspondências suaves. A única parte não-trivial desta "definição" é o fato de que precisamos descrever as composições. Estas são dadas por uma fórmula de push-pull da teoria de anéis de Chow.
Exemplos típicos de correspondências primas vêm do grafo de um morfismo de variedades .
Localizando a categoria de homotopia A partir daqui podemos formar a categoria de homotopia de complexos limitados de correspondências suaves. Aqui as variedades suaves serão denotadas por . Se nós localizarmos esta categoria em relação à menor subcategoria espessa (o que significa que é fechada sob extensões) contendo morfismos
e
então podemos formar a categoria triangulada de motivos geométricos efetivos Note que a primeira classe de morfismos está localizando as -homotopias de variedades, enquanto a segunda dará à categoria dos motivos mistos geométricos a sequência de Mayer-Vietoris.
Além disso, note que esta categoria possui uma estrutura tensorial dada pelo produto de variedades, de modo que .
Invertendo o motivo de Tate Usando a estrutura triangulada, podemos construir um triângulo
a partir do mapa canônico . Definiremos e o chamaremos de motivo de Tate. Fazer o produto tensorial iterativo nos permite construir . Se tivermos um motivo geométrico efetivo , denotaremos como Além disso, isto se comporta funtorialmente e forma um funtor triangulado. Finalmente, podemos definir a categoria dos motivos mistos geométricos como a categoria dos pares para um motivo misto geométrico efetivo e um inteiro representando a torção pelo motivo de Tate. Os hom-grupos são então o colimite
Exemplos de motivos
Motivos de Tate Há vários exemplos elementares de motivos que são facilmente acessíveis. Um deles são os motivos de Tate, denotados por , ou , dependendo dos coeficientes usados na construção da categoria de motivos. Estes são blocos de construção fundamentais na categoria de motivos porque formam a "outra parte" ao lado das variedades abelianas.
Motivos de curvas
O motivo de uma curva pode ser compreendido explicitamente com relativa facilidade: o seu anel de Chow é simplesmente para qualquer curva projetiva suave , portanto as Jacobianas se incorporam na categoria dos motivos.
Explicação para não especialistas