Na teoria da decisão, o modelo de utilidade esperada subjetiva de Savage (também conhecido como framework de Savage, axiomas de Savage ou teorema de representação de Savage) é uma formalização da utilidade esperada subjetiva (UES) desenvolvida por Leonard J. Savage em seu livro de 1954, The Foundations of Statistics, baseado em trabalhos anteriores de Ramsey, von Neumann e de Finetti.
O modelo de Savage busca derivar uma distribuição de probabilidade subjetiva e uma função de utilidade de forma que a escolha de um agente sob incerteza possa ser representada pela maximização da utilidade esperada . Suas contribuições para a teoria da utilidade esperada consistem em formalizar uma estrutura na qual tal problema é matemáticamente bem posto e em derivar as condições axiomáticas que garantem a sua solução..
Primitivos e problema A estrutura de Savage postula as seguintes primitivas para representar a escolha de um agente sob incerteza:
Um conjunto de estados do mundo , dos quais apenas um É verdade. O agente não sabe qual é , então Representa algo sobre o qual o agente tem incerteza.
Um conjunto de consequências As consequências são os objetos dos quais o agente deriva utilidade.
Um conjunto de atos . Sendo atos funções que mapeiam estados desconhecidos do mundo para consequências tangíveis .
Uma relação de preferência sobre atos em : escrevemos para representar o cenário em que, quando só é possível escolher entre , o agente prefere o ato ou é indiferente. A preferência estrita significa que e que não é verdade.
O modelo, portanto, lida com condições sobre essas primitivas — em particular, em relação às preferências — de forma que se possa representar as preferências do agente por meio da utilidade esperada em relação a alguma probabilidade subjetiva sobre os estados . Ou seja, busca provar que existe uma distribuição de probabilidade subjetiva e uma função de utilidade de modo que:
onde .
A ideia central do problema é encontrar as condições (axiomas) sob as quais se pode considerar que o agente escolhe entre os atos como se ele considerasse apenas:
1) sua probabilidade subjetiva de cada estado ;
2) a utilidade que ele obtém da consequência dado em cada estado.
Axiomas Savage propõe os seguintes axiomas a respeito de :
P1 (O básico envolendo a relação de preferência) : a relação é completa ( , ou ) e também transitiva .
P2 (Princípio da Coisa Certa): para quaisquer atos , com sendo o ato que produz consequências se e se Então, para qualquer evento e quaisquer atos , vale o seguinte:
Em outras palavras: Dados dois atos, e , se você prefere a sabendo que ambos produzem resultados idênticos caso um evento não ocorra, então o conteúdo específico desse resultado comum é irrelevante para estabelecer sua preferência. O que define a escolha é apenas o que acontece quando ocorre.
Definição de Evento Não Nulo (necessária para P3): Um evento é não nulo se o agente tiver preferências sobre as consequências quando ocorre: ou seja, existem de modo que .
P3 (Monotonicidade nas consequências) : dados e atos constantes (Um ato que produz exatamente a mesma consequência para todos os estados de mundo possíveis. Formalmente, . Tal ato é denotado por .). Então se e somente se para todos os eventos não nulos .
P4 (Independência das crenças em relação aos gostos) : para todos os eventos e atos constantes , , , de modo que e , sustenta que
.
P5 (Não trivialidade): existem atos de modo que .
P6 (Continuidade dos eventos): Para todos os atos tais que , existe uma partição finita de de modo que e para todos .
O axioma final é mais técnico e só tem importância quando é infinito. Para qualquer , sendo a restrição de para Para qualquer ato e estado , com , ou seja, sendo o ato constante com valor .
P7 : Para todos os atos e eventos , nós temos
,
.
Teorema da representação de Savage Teorema: Dado um ambiente conforme definido acima com finito, os seguintes são equivalentes:
1) satisfaz os axiomas P1-P6 .
2) existe uma medida de probabilidade não atômica e finitamente aditiva definida sobre e uma função não constante de modo que, para todos ,
Para os casos em que o conjunto é infinito, a inclusão do axioma P7 torna-se estritamente necessária. Note que essa adição torna o axioma P3 redundante. Além disso, em ambos os casos, a medida de probabilidade é única e a função e a função de utilidade u é única a menos de uma transformação linear positiva (ou seja, quaisquer funções da forma , são as únicas representações equivalentes válidas).
Ver também
Modelo de utilidade esperada subjetiva de Anscombe-Aumann Teorema da utilidade de von Neumann-Morgenstern
Referências
Categoria:Teoremas de economia Categoria:Teoria da decisão Categoria:!Páginas com traduções não revistas