O teorema de Riemann-Roch é um importante teorema na matemática, especificamente na análise complexa e na geometria algébrica, para o cálculo da dimensão do espaço de funções meromorfas com zeros prescritos e polos permitidos. Ele relaciona a análise complexa de uma superfície de Riemann conexa e compacta com o gênero puramente topológico g da superfície, de uma maneira que pode ser transposta para contextos puramente algébricos.
Inicialmente provado como a desigualdade de Riemann por , o teorema alcançou sua forma definitiva para superfícies de Riemann após o trabalho do estudante de Riemann que teve uma vida breve, . Mais tarde, foi generalizado para curvas algébricas, para variedades algébricas de dimensões superiores e além.
Noções preliminares right|miniatura|Uma superfície de Riemann de gênero 3. Uma superfície de Riemann é um espaço topológico que é localmente homeomorfo a um subconjunto aberto de , o conjunto dos números complexos. Além disso, exige-se que os mapas de transição entre esses subconjuntos abertos sejam holomorfos. Esta última condição permite transferir as noções e os métodos da análise complexa que lidam com funções holomorfas e meromorfas em para a superfície . Para os propósitos do teorema de Riemann-Roch, assume-se sempre que a superfície é compacta. Coloquialmente falando, o gênero de uma superfície de Riemann é o seu número de alças; por exemplo, o gênero da superfície de Riemann mostrada à direita é três. Mais precisamente, o gênero é definido como a metade do primeiro número de Betti, ou seja, a metade da dimensão sobre do primeiro grupo de homologia singular com coeficientes complexos. O gênero classifica as superfícies de Riemann compactas a menos de homeomorfismo, ou seja, duas dessas superfícies são homeomorfas se e somente se seus gêneros forem os mesmos. Portanto, o gênero é um importante invariante topológico de uma superfície de Riemann. Por outro lado, a teoria de Hodge mostra que o gênero coincide com a dimensão sobre do espaço das 1-formas holomorfas em , de modo que o gênero também codifica informações analítico-complexas sobre a superfície de Riemann.Griffith, Harris, p. 116, 117
Um divisor é um elemento do grupo abeliano livre sobre os pontos da superfície. Equivalentemente, um divisor é uma combinação linear finita de pontos da superfície com coeficientes inteiros.
Qualquer função meromorfa dá origem a um divisor denotado por e definido como
onde é o conjunto de todos os zeros e polos de , e é dado por
.
Sabe-se que o conjunto é finito; isso é uma consequência de ser compacta e do fato de que os zeros de uma função holomorfa (não nula) não possuem um ponto de acumulação. Portanto, é bem-definido. Qualquer divisor desta forma é chamado de divisor principal. Dois divisores que diferem por um divisor principal são ditos linearmente equivalentes. O divisor de uma 1-forma meromorfa é definido de forma semelhante. O divisor de uma 1-forma meromorfa global é chamado de divisor canônico (geralmente denotado por ). Quaisquer duas 1-formas meromorfas produzirão divisores linearmente equivalentes, então o divisor canônico é univocamente determinado a menos de equivalência linear (daí "o" divisor canônico).
O símbolo denota o grau (ocasionalmente também chamado de índice) do divisor , ou seja, a soma dos coeficientes que ocorrem em . Pode-se mostrar que o divisor de uma função meromorfa global sempre tem grau 0, de modo que o grau de um divisor depende apenas de sua classe de equivalência linear.
O número é a quantidade de interesse primário: a dimensão (sobre ) do espaço vetorial de funções meromorfas na superfície, tais que todos os coeficientes de são não-negativos. Intuitivamente, podemos pensar nisso como sendo todas as funções meromorfas cujos polos em cada ponto não são piores do que o coeficiente correspondente em ; se o coeficiente em em for negativo, então exigimos que tenha um zero de pelo menos essa multiplicidade em – se o coeficiente em for positivo, pode ter um polo de, no máximo, essa ordem. Os espaços vetoriais para divisores linearmente equivalentes são naturalmente isomorfos através da multiplicação pela função meromorfa global (que é bem-definida a menos de um escalar).
Declaração do teorema
O teorema de Riemann-Roch para uma superfície de Riemann compacta de gênero com divisor canônico afirma que
.
Tipicamente, o número é o que interessa, enquanto é pensado como um termo de correção (também chamado de índice de especialidadeStichtenoth p.22Mukai pp.295–297), então o teorema pode ser vagamente parafraseado dizendo:
dimensão − correção = grau − gênero + 1.
Por ser a dimensão de um espaço vetorial, o termo de correção é sempre não-negativo, de modo que
.
Isto é chamado de desigualdade de Riemann. A parte de Roch da declaração é a descrição da possível diferença entre os lados da desigualdade. Em uma superfície de Riemann geral de gênero , tem grau , independentemente da forma meromorfa escolhida para representar o divisor. Isto segue de colocarmos no teorema. Em particular, contanto que tenha grau pelo menos , o termo de correção é 0, de modo que
.
O teorema será agora ilustrado para superfícies de baixo gênero. Há também vários outros teoremas intimamente relacionados: uma formulação equivalente deste teorema usando fibrados de linhas e uma generalização do teorema para curvas algébricas.
Exemplos O teorema será ilustrado escolhendo um ponto na superfície em questão e considerando a sequência de números
ou seja, a dimensão do espaço de funções que são holomorfas em todos os lugares exceto em , onde a função pode ter um polo de ordem no máximo . Para , exige-se que as funções sejam inteiras, isto é, holomorfas em toda a superfície . Pelo teorema de Liouville, tal função é necessariamente constante. Portanto, . Em geral, a sequência é uma sequência crescente.
Gênero zero A esfera de Riemann (também chamada de reta projetiva complexa) é simplesmente conexa e, portanto, sua primeira homologia singular é zero. Em particular, seu gênero é zero. A esfera pode ser coberta por duas cópias de , com o mapa de transição sendo dado por
.
Portanto, a forma em uma cópia de se estende a uma forma meromorfa na esfera de Riemann: ela tem um polo duplo no infinito, já que
Assim, seu divisor canônico é (onde é o ponto no infinito).
Portanto, o teorema diz que a sequência lê-se:
1, 2, 3, ... .
Essa sequência também pode ser deduzida a partir da teoria de frações parciais. Inversamente, se esta sequência começa desta maneira, então deve ser zero.
Gênero um right|miniatura|Um toro O próximo caso é uma superfície de Riemann de gênero , como um toro , onde é um reticulado bidimensional (um grupo isomorfo a ). Seu gênero é um: seu primeiro grupo de homologia singular é gerado livremente por dois laços, conforme mostrado na ilustração à direita. A coordenada complexa padrão em produz uma 1-forma em que é holomorfa em todos os lugares, ou seja, não possui polos de forma alguma. Portanto, , o divisor de , é zero.
Nesta superfície, a sequência é
1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;
e isso caracteriza o caso . De fato, para , , como foi mencionado acima. Para com , o grau de é estritamente negativo, de modo que o termo de correção é 0. A sequência de dimensões também pode ser derivada da teoria das funções elípticas.
Gênero dois em diante Para , a sequência mencionada acima é
1, 1, ?, 2, 3, ... .
Mostra-se a partir disto que o termo ? de grau 2 é 1 ou 2, dependendo do ponto. Pode ser provado que em qualquer curva de gênero 2 existem exatamente seis pontos cujas sequências são 1, 1, 2, 2, ... e o resto dos pontos tem a sequência genérica 1, 1, 1, 2, ... Em particular, uma curva de gênero 2 é uma curva hiperelíptica. Para , é sempre verdade que na maioria dos pontos a sequência começa com uns, e há finitamente muitos pontos com outras sequências (ver pontos de Weierstrass).
Riemann-Roch para fibrados de linhas Usando a estreita correspondência entre divisores e fibrados de linhas holomorfos em uma superfície de Riemann, o teorema também pode ser declarado de uma maneira diferente, mas equivalente: seja L um fibrado de linhas holomorfo em X. Seja o espaço de seções holomorfas de L. Este espaço será de dimensão finita; sua dimensão é denotada por . Seja K o fibrado canônico em X. Então, o teorema de Riemann-Roch afirma que
.
O teorema da seção anterior é o caso especial de quando L é um fibrado de pontos.
O teorema pode ser aplicado para mostrar que existem g seções holomorfas linearmente independentes de K, ou 1-formas em X, como se segue. Tomando L como o fibrado trivial, uma vez que as únicas funções holomorfas em X são constantes. O grau de L é zero, e é o fibrado trivial. Assim,
.
Portanto, , provando que existem g 1-formas holomorfas.
Grau do fibrado canônico Como o fibrado canônico tem , aplicar Riemann-Roch a nos dá
o que pode ser reescrito como
portanto, o grau do fibrado canônico é .
Teorema de Riemann-Roch para curvas algébricas Cada item na formulação acima do teorema de Riemann-Roch para divisores em superfícies de Riemann possui um análogo na geometria algébrica. O análogo de uma superfície de Riemann é uma curva algébrica não-singular (lisa) C sobre um corpo k. A diferença na terminologia (curva vs. superfície) deve-se ao fato de que a dimensão de uma superfície de Riemann como uma variedade real é dois, mas como uma variedade complexa é um. A compacidade de uma superfície de Riemann tem como contraparte a condição de que a curva algébrica seja uma variedade completa, o que é equivalente a ser uma variedade projetiva. Sobre um corpo genérico k, não existe uma boa noção de (co)homologia singular. O chamado gênero geométrico é definido como
ou seja, como a dimensão do espaço de 1-formas (algébricas) globalmente definidas (veja Diferencial de Kähler). Finalmente, funções meromorfas em uma superfície de Riemann são localmente representadas como frações de funções holomorfas. Assim, elas são substituídas por funções racionais que são localmente frações de funções regulares. Dessa forma, escrevendo para a dimensão (sobre k) do espaço de funções racionais na curva cujos polos em cada ponto não sejam piores do que o coeficiente correspondente em D, vale exatamente a mesma fórmula dada acima:
.
onde C é uma curva algébrica projetiva não-singular sobre um corpo algebricamente fechado k. De fato, a mesma fórmula vale para curvas projetivas sobre qualquer corpo, exceto que o grau de um divisor precisa levar em conta as multiplicidades provenientes das possíveis extensões do corpo base e dos corpos residuais dos pontos que suportam o divisor., Seção 7.3 Finalmente, para uma curva própria sobre um anel artiniano, a característica de Euler do fibrado de linhas associado a um divisor é dada pelo grau do divisor (apropriadamente definido) mais a característica de Euler do feixe estrutural .* , Teorema VIII.1.4., p. 164
A suposição de que a curva seja lisa pode ser relaxada: para uma curva (projetiva) sobre um corpo algebricamente fechado, cujos anéis locais sejam todos anéis de Gorenstein, a mesma afirmação acima é válida, desde que o gênero geométrico como definido acima seja substituído pelo gênero aritmético ga, definido como
.
(Para curvas lisas, o gênero geométrico concorda com o aritmético). O teorema também foi estendido a curvas singulares genéricas (e a variedades de dimensões superiores).
Aplicações
Polinômio de Hilbert