Na matemática, um espaço vetorial graduado é um espaço vetorial que possui a estrutura extra de uma graduação, que é uma decomposição do espaço vetorial em uma soma direta de subespaços vetoriais, geralmente indexados pelos inteiros.
Para espaços vetoriais "puros", o conceito foi introduzido na álgebra homológica, e é amplamente utilizado para álgebras graduadas, que são espaços vetoriais graduados com estruturas adicionais.
Graduação inteira Seja o conjunto de inteiros não negativos. Um espaço vetorial -graduado, frequentemente chamado simplesmente de espaço vetorial graduado sem o prefixo , é um espaço vetorial junto com uma decomposição em uma soma direta da forma:
onde cada é um espaço vetorial. Para um dado n, os elementos de são então chamados de elementos homogêneos de grau n.
Espaços vetoriais graduados são comuns. Por exemplo, o conjunto de todos os polinômios em uma ou várias variáveis forma um espaço vetorial graduado, onde os elementos homogêneos de grau n são exatamente as combinações lineares de monômios de grau n.
Graduação geral Os subespaços de um espaço vetorial graduado não precisam ser indexados pelo conjunto dos números naturais, e podem ser indexados pelos elementos de qualquer conjunto I. Um espaço vetorial I-graduado V é um espaço vetorial junto com uma decomposição em uma soma direta de subespaços indexados por elementos i do conjunto I:
Portanto, um espaço vetorial -graduado, como definido acima, é apenas um espaço vetorial I-graduado onde o conjunto I é (o conjunto dos números naturais).
O caso em que I é o anel (os elementos 0 e 1) é particularmente importante na física. Um espaço vetorial -graduado também é conhecido como um superespaço vetorial.
Homomorfismos
Para um conjunto de índices geral I, uma transformação linear entre dois espaços vetoriais I-graduados é chamada de transformação linear graduada se preservar a graduação dos elementos homogêneos. Uma transformação linear graduada também é chamada de homomorfismo (ou morfismo) de espaços vetoriais graduados, ou transformação linear homogênea:
para todo i em I.
Para um corpo fixo e um conjunto de índices fixo, os espaços vetoriais graduados formam uma categoria cujos morfismos são as transformações lineares graduadas.
Quando I é um monoide comutativo (como os números naturais), então pode-se definir mais genericamente transformações lineares que são homogêneas de qualquer grau i em I pela propriedade
para todo j em I,
onde "+" denota a operação do monoide. Se, além disso, I satisfizer a propriedade do cancelamento de modo que possa ser mergulhado em um grupo abeliano A que ele gera (por exemplo, os inteiros se I forem os números naturais), então pode-se também definir transformações lineares que são homogêneas de grau i em A pela mesma propriedade (mas agora "+" denota a operação de grupo em A). Especificamente, para i em I, uma transformação linear será homogênea de grau −i se
para todo j em I, enquanto se não estiver em I.
Assim como o conjunto de transformações lineares de um espaço vetorial para si mesmo forma uma álgebra associativa (a álgebra de endomorfismos do espaço vetorial), os conjuntos de transformações lineares homogêneas de um espaço para si mesmo – restringindo os graus a I ou permitindo quaisquer graus no grupo A – formam álgebras graduadas associativas sobre esses conjuntos de índices.
Operações em espaços vetoriais graduados Algumas operações em espaços vetoriais podem ser definidas também para espaços vetoriais graduados.
Dados dois espaços vetoriais I-graduados V e W, sua soma direta tem como espaço vetorial subjacente V ⊕ W com graduação (V ⊕ W)i = Vi ⊕ Wi .
Se I for um semigrupo, então o produto tensorial de dois espaços vetoriais I-graduados V e W é outro espaço vetorial I-graduado, , com graduação
Séries de Hilbert–Poincaré
Dado um espaço vetorial -graduado que é de dimensão finita para cada sua série de Hilbert-Poincaré é a série de potências formal:
A partir das fórmulas acima, a série de Hilbert-Poincaré de uma soma direta e de um produto tensorial de espaços vetoriais graduados (de dimensão finita em cada grau) são, respectivamente, a soma e o produto das séries de Hilbert-Poincaré correspondentes.
Ver também Graduação (matemática) Álgebra graduada Comódulo Módulo graduado Regra de Littlewood-Richardson
Referências
Bibliografia Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Capítulos 1-3), , Capítulo 2, Seção 11; Capítulo 3.