Em matemática, especificamente na teoria das categorias, a categoria das categorias pequenas, denotada por Cat, é a categoria cujos objetos são todas as categorias pequenas e cujos morfismos são funtores entre categorias. Cat pode, na verdade, ser considerada uma 2-categoria com transformações naturais servindo como 2-morfismos.
O objeto inicial de Cat é a categoria vazia 0, que é a categoria sem objetos e sem morfismos.empty category no nLab O objeto terminal é a categoria terminal ou categoria trivial 1, que possui um único objeto e seu morfismo identidade.terminal category no nLab
A categoria Cat é ela própria uma categoria grande e, portanto, não é um objeto de si mesma. Para evitar problemas análogos ao Paradoxo de Russell, não se pode formar a "categoria de todas as categorias". Mas é possível formar uma quasicategoria (significando que objetos e morfismos formam meramente um conglomerado) de todas as categorias.
Categoria livre
A categoria Cat possui um funtor de esquecimento U para a categoria de aljavas (quivers) Quiv:
U : Cat → Quiv
Este funtor esquece os morfismos identidade de uma determinada categoria e esquece as composições de morfismos. O adjunto à esquerda deste funtor é um funtor F que leva Quiv às categorias livres correspondentes:
F : Quiv → Cat
Propriedades 1-categóricas
Cat possui todos os limites e colimites pequenos. Cat é uma Categoria fechada cartesiana, com o exponencial dado pela categoria de funtores . Cat não é localmente fechada cartesiana. Cat é localmente finitamente apresentável.
Ver também Nervo de uma categoria Conjunto universo, a noção de um "conjunto de todos os conjuntos"
Referências
Ligações externas
Categoria:Categorias na teoria das categorias