Em matemática, a dualidade de Tannaka–Krein é uma teoria que estuda a interação entre um grupo topológico compacto e a sua categoria de representações lineares. Trata-se de uma extensão natural da dualidade de Pontryagin — válida para grupos topológicos compactos e discretos comutativos — ao caso de grupos compactos não comutativos. A teoria recebe o nome de Tadao Tannaka e Mark Grigorievich Krein. Em contraste com o caso comutativo estudado por Lev Pontryagin, o objeto dual de um grupo compacto não comutativo não é um grupo, mas sim uma categoria de representações Π(G) munida de estrutura adicional, formada pelas representações de dimensão finita de G.
Os teoremas de dualidade de Tannaka e Krein descrevem o processo inverso, que reconstrói o grupo G a partir da categoria Π(G), mostrando que o grupo pode ser recuperado de sua categoria de representações. Além disso, eles caracterizam essencialmente todas as categorias que podem surgir dessa forma. Posteriormente, Alexander Grothendieck mostrou que, por um procedimento análogo, a dualidade de Tannaka pode ser estendida ao caso de grupos algébricos por meio do formalismo tannakiano. Enquanto isso, a teoria original continuou a ser desenvolvida e refinada por pesquisadores em física matemática. Uma generalização da teoria fornece um quadro natural para o estudo das representações de grupos quânticos, e atualmente está sendo estendida a supergrupos quânticos, grupoides quânticos e seus duais algebroides de Hopf.
Ideia da dualidade de Tannaka–Krein Na teoria da dualidade de Pontryagin para grupos localmente compactos comutativos, o objeto dual de um grupo G é o seu grupo de caracteres , constituído pelas suas representações unitárias unidimensionais. Se permitirmos que G seja não comutativo, o análogo mais direto do grupo de caracteres é o conjunto das classes de equivalência das representações unitárias irredutíveis de G. O análogo do produto de caracteres é o produto tensorial de representações. Contudo, representações irredutíveis não formam em geral um grupo, nem sequer um monoide, pois o produto tensorial de duas representações irredutíveis pode não ser irredutível.
Assim, deve-se considerar o conjunto de todas as representações de dimensão finita e tratá-lo como uma categoria monoidal, onde o produto é o tensor usual e o objeto dual é dado pela operação de representação contragrediente.
Uma representação da categoria é uma transformação natural monoidal do funtor identidade em si mesmo. Equivalentemente, é uma função não nula que associa a cada objeto um endomorfismo do espaço de T e satisfaz:
e, para qualquer operador de entrelaçamento ,
O conjunto de todas as representações da categoria pode ser munido de multiplicação
e de uma topologia definida pela convergência pontual; isto é, se e somente se para todo objeto . Pode-se demonstrar que torna-se então um grupo topológico compacto.
Teoremas de Tannaka e Krein O teorema de Tannaka fornece um método para reconstruir um grupo compacto G a partir de sua categoria de representações Π(G).
Seja G um grupo compacto e
o funtor esquecimento que associa a cada representação complexa de dimensão finita o espaço vetorial subjacente. Define-se uma topologia no conjunto das transformações naturais como a mais fraca tal que todas as projeções
sejam contínuas. Diz-se que preserva tensores se é a identidade na representação trivial e satisfaz
Diz-se ainda que é auto-conjugada se . O conjunto de todas as transformações naturais auto-conjugadas que preservam tensores é um subconjunto fechado de e, quando G é compacto, constitui um grupo compacto. Cada elemento define tal transformação, obtendo-se um morfismo
O teorema de Tannaka afirma que esse morfismo é um isomorfismo.
O teorema de Krein responde à questão: quais categorias podem ocorrer como objetos duais de um grupo compacto?
Seja Π uma categoria de espaços vetoriais finito-dimensionais munida de produto tensorial e involução. As condições seguintes são necessárias e suficientes para que Π seja dual de um grupo compacto G:
existe um objeto tal que para todo objeto A (necessariamente único até isomorfismo); todo objeto de Π decompõe-se como soma de objetos mínimos; se A e B são objetos mínimos, então é unidimensional (se forem isomorfos) ou nulo.
Quando essas condições são satisfeitas, a categoria é da forma Π = Π(G), onde G é o grupo associado às representações de Π.
Generalizações O interesse na dualidade de Tannaka–Krein foi renovado na década de 1980 com a descoberta dos grupos quânticos nos trabalhos de Drinfeld e Michio Jimbo. Uma abordagem central consiste em estudar um grupo quântico por meio de suas representações de dimensão finita, que formam uma categoria semelhante a uma categoria monoidal simétrica, porém mais geral — uma categoria monoidal trançada. Verificou-se que existe uma teoria de dualidade análoga à de Tannaka–Krein também nesse contexto, fornecendo um enquadramento natural para o estudo simultâneo dos grupos quânticos e de suas representações.
Posteriormente, surgiram exemplos de categorias monoidais trançadas na teoria conforme racional de campos. A filosofia de Tannaka–Krein sugere que tais categorias devem provir de grupos quânticos; uma série de trabalhos de Kazhdan e Lusztig confirmou esse fato. Por outro lado, categorias monoidais trançadas associadas a certos grupos quânticos foram usadas por Reshetikhin e Turaev para construir novos invariantes de nós.
Teorema de Doplicher–Roberts O teorema de Doplicher–Roberts (devido a Sergio Doplicher e John E. Roberts) caracteriza Rep(G) em termos de teoria das categorias, como um tipo de subcategoria da categoria dos espaços de Hilbert. Tais subcategorias consistem em representações unitárias de grupos compactos que satisfazem:
são uma C*-categoria monoidal simétrica estrita com conjugados; possuem subobjetos e somas diretas, e a álgebra C* dos endomorfismos da unidade monoidal contém apenas escalares.
Ver também Teorema de Gelfand–Naimark
Referências
Ligações externas
Categoria:Categorias monoidais Categoria:Teoria das representações unitárias Categoria:Análise harmônica Categoria:Grupos topológicos Categoria:Teorias de dualidade