Em matemática, especificamente em teoria da medida, o teorema de decomposição de Hahn é o resultado que estabelece que o espaço no qual uma medida com sinal é definida sempre pode ser particionado em dois conjuntos mensuráveis de forma que se comporta como uma medida (sem sinal) em cada um desses conjuntos. Ele permite que vários resultados sobre medidas sejam facilmente estendidos para medidas com sinal. O teorema implica o Teorema de decomposição de Jordan, que afirma que toda medida com sinal é a diferença de duas medidas.
Uma consequência imediata do teorema é que toda medida com sinal deve possuir limite inferior ou limite superior.
Enunciado Seja um conjunto qualquer e o seu conjunto das partes. Seja uma -álgebra. Seja uma medida com sinal. O Teorema de Decomposição de Hahn afirma que existem tais que
Se então Se então
Além disso, possui limite inferior ou limite superior, e se existirem que também satisfazem as condições acima então todo deve satisfazer , onde é a diferença simétrica de . Equivalentemente, todo deve satisfazer .
Demonstração Uma medida com sinal não pode possuir tanto quanto na sua imagem. Suponha, sem perda de generalidade, que não existe tal que .
Seja o conjunto de todos os tais que se então . Se é uma sequência qualquer em então . Como existe uma sequência tal que temos que satisfaz . Como não podemos ter , concluímos que restrito a possui um limite inferior.
Seja . O resultado segue se mostrarmos que não existe tal que .
Suponha que existe tal que . Caso todo fosse tal que teríamos e , uma contradição. Portanto deve existir algum tal que , e consequentemente existe algum que satisfaz . Repetindo o argumento concluímos que existem , para todo , tais que .
Considere uma sequência tal que . Podemos supor que, dado , foi escolhido de tal forma que , para o maior possível. Ou seja, se definirmos podemos supor que .
Agora satisfaz . Como , deve haver algum tal que . Em particular, deve haver algum tal que . Mas como para todo , segue que , para todo . Consequentemente . Mas isso implica , uma contradição. Concluímos que nossa suposição inicial, de que existe tal que , deve ser falsa.
Portanto satisfazem as condições do enunciado. Além disso, o limite inferior de em é o limite inferior de em .
Suponha agora que também satisfazem essas condições. Como e são partições de temos que . E como todo deve satisfazer simultaneamente e devemos ter .
Isso conclui a prova.
Referências
Categoria:Teoria da medida