Os problemas de Taniyama são um conjunto de 36 problemas matemáticos propostos pelo matemático japonês Yutaka Taniyama em 1955. Os problemas concentravam-se principalmente na geometria algébrica, na teoria dos números e nas conexões entre as formas modulares e as curvas elípticas. O décimo segundo e o décimo terceiro problemas de Taniyama foram os precursores da conjectura de Taniyama-Shimura, também conhecida como o teorema da modularidade, que seria usada na demonstração de Andrew Wiles do Último Teorema de Fermat em 1995.
História
right|thumb|O matemático francês Jean-Pierre Serre, um dos participantes do simpósio internacional de 1955, chamou a atenção para os problemas de Taniyama no início da década de 1970. Na matemática do período pós-Segunda Guerra Mundial na década de 1950, houve um interesse renovado na teoria das curvas modulares devido ao trabalho de Taniyama e Goro Shimura. Durante o simpósio internacional de 1955 sobre teoria algébrica dos números em Tóquio e Nikkō, Taniyama compilou seus 36 problemas em um documento intitulado "Problemas da Teoria dos Números" e distribuiu cópias em mimeógrafo de sua coleção aos participantes do simpósio. Mais tarde, Serre chamou a atenção para esses problemas no início da década de 1970.
Os mais famosos dos problemas de Taniyama são o seu décimo segundo e o seu décimo terceiro problemas. Esses problemas levaram à formulação da conjectura de Taniyama-Shimura (agora conhecida como o teorema da modularidade), que afirma que toda curva elíptica sobre os números racionais é modular. Essa conjectura desempenhou um papel fundamental na demonstração de Andrew Wiles do Último Teorema de Fermat em 1995.
Os problemas de Taniyama influenciaram o desenvolvimento do Programa de Langlands, da teoria das formas modulares e do estudo das curvas elípticas.
Os problemas O décimo problema de Taniyama abordava as funções zeta de Dedekind e as séries L de Hecke, e embora tenha sido distribuído em inglês na conferência de Tóquio-Nikkō de 1955, que contou com a presença de Serre e André Weil, foi publicado formalmente apenas em japonês nas obras reunidas de Taniyama.
Décimo problema de Taniyama (traduzido) Seja um corpo de números totalmente real, e uma forma modular de Hilbert para o corpo . Então, escolhendo de maneira adequada, podemos obter um sistema de séries L de Erich Hecke com Größencharakter , que se corresponde biunivocamente com esta pelo processo da transformação de Mellin. Isto pode ser provado por uma generalização da teoria do operador de Hecke para funções modulares de Hilbert (cf. Hermann Weyl).
De acordo com Serge Lang, o décimo primeiro problema de Taniyama lida com curvas elípticas com multiplicação complexa, mas não tem relação com o décimo segundo e o décimo terceiro problemas.
Décimo segundo problema de Taniyama (traduzido) Seja uma curva elíptica definida sobre um corpo de números algébricos , e a função L de sobre no sentido de que é a função zeta de sobre . Se a conjectura de Hasse-Weil for verdadeira para , então a série de Fourier obtida de pela transformação de Mellin inversa deve ser uma forma automórfica de dimensão −2 de um tipo especial (veja Hecke). Se assim for, é muito plausível que esta forma seja uma diferencial elíptica do corpo das funções automórficas associadas. Agora, percorrendo estas observações de trás para frente, é possível provar a conjectura de Hasse-Weil encontrando uma forma automórfica adequada a partir da qual pode ser obtida?
A importância do décimo segundo problema de Taniyama reside em sua sugestão de uma profunda conexão entre as curvas elípticas e as formas modulares. Embora a formulação original de Taniyama fosse um tanto imprecisa, ela capturou uma visão profunda que mais tarde seria refinada no teorema da modularidade. O problema propôs especificamente que as funções L das curvas elípticas poderiam ser identificadas com as de certas formas modulares, uma conexão que parecia surpreendente na época.
O colega matemático japonês Goro Shimura notou que a formulação de Taniyama em seu décimo segundo problema não era clara: o método da transformada de Mellin proposto funcionaria apenas para curvas elípticas sobre os números racionais. Para curvas sobre corpos de números, a situação é substancialmente mais complexa e permanece obscura mesmo em nível conjectural hoje.
Décimo terceiro problema de Taniyama (traduzido) Caracterizar o corpo das funções modulares elípticas de nível , e especialmente decompor a variedade jacobiana deste corpo de funções em fatores simples a menos de uma isogenia. Além disso, é bem sabido que se , um número primo, e , então contém curvas elípticas com multiplicação complexa. O que se pode dizer para um geral?
Ver também Problemas de Hilbert Teorema de Shimura-Taniyama-Weil Problemas em aberto da matemática Demonstração de Wiles do Último Teorema de Fermat
Categoria:Teoria dos números Categoria:Geometria algébrica Categoria:Problemas matemáticos