Na matemática, uma categoria de Grothendieck é um certo tipo de categoria abeliana, introduzida no artigo Tôhoku de 1957 de Alexander Grothendieck. Tradução para o inglês. a fim de desenvolver o maquinário da álgebra homológica para módulos e para feixes de maneira unificada. A teoria dessas categorias foi posteriormente desenvolvida na tese de Pierre Gabriel de 1962.

A toda variedade algébrica pode-se associar uma categoria de Grothendieck , consistindo nos feixes quase-coerentes sobre . Esta categoria codifica todas as informações geométricas relevantes sobre , e pode ser recuperada a partir de (o teorema de reconstrução de Gabriel-Rosenberg). Este exemplo dá origem a uma abordagem para a geometria algébrica não comutativa: o estudo das "variedades não comutativas" nada mais é, então, do que o estudo de (certas) categorias de Grothendieck.

Definição

Por definição, uma categoria de Grothendieck é uma categoria AB5 com um gerador. Explicando detalhadamente, isso significa que é uma categoria abeliana; toda família (possivelmente infinita) de objetos em possui um coproduto (também conhecido como soma direta) em ; os limites diretos de sequências exatas curtas são exatos; isso significa que, se for dado um sistema direto de sequências exatas curtas em , então a sequência induzida de limites diretos também é uma sequência exata curta. (Limites diretos são sempre exatos à direita; o ponto importante aqui é que exigimos que eles também sejam exatos à esquerda.) possui um gerador, ou seja, existe um objeto em tal que é um functor fiel de para a categoria dos conjuntos. (Na nossa situação, isso é equivalente a dizer que todo objeto de admite um epimorfismo , onde denota uma soma direta de cópias de , uma para cada elemento do conjunto (possivelmente infinito) .)

O nome "categoria de Grothendieck" não apareceu no artigo Tôhoku de Grothendieck nem na tese de Gabriel; ele passou a ser usado na segunda metade da década de 1960 no trabalho de vários autores, incluindo Jan-Erik Roos, Bo Stenström, Ulrich Oberst e Bodo Pareigis. (Alguns autores usam uma definição diferente, que não exige a existência de um gerador.)

Exemplos O exemplo prototípico de uma categoria de Grothendieck é a categoria de grupos abelianos; o grupo abeliano dos inteiros é um gerador. Mais genericamente, dado qualquer anel (associativo, com , mas não necessariamente comutativo), a categoria de todos os módulos à direita (ou, alternativamente, à esquerda) sobre é uma categoria de Grothendieck; o próprio é um gerador. Dado um espaço topológico , a categoria de todos os feixes de grupos abelianos sobre é uma categoria de Grothendieck. (Mais genericamente: a categoria de todos os feixes de -módulos à direita sobre é uma categoria de Grothendieck para qualquer anel .) Dado um espaço anelado , a categoria de feixes de módulos OX é uma categoria de Grothendieck. Dada uma variedade algébrica (afim ou projetiva) (ou mais genericamente: qualquer esquema ou pilha algébrica (algebraic stack)), a categoria de feixes quase-coerentes sobre é uma categoria de Grothendieck.; . Dado um sítio pequeno (C, J) (ou seja, uma categoria pequena C juntamente com uma topologia de Grothendieck J), a categoria de todos os feixes de grupos abelianos no sítio é uma categoria de Grothendieck.

Construindo outras categorias de Grothendieck

Qualquer categoria que seja equivalente a uma categoria de Grothendieck é em si uma categoria de Grothendieck. Dadas as categorias de Grothendieck , a categoria produto é uma categoria de Grothendieck. Dada uma categoria pequena e uma categoria de Grothendieck , a categoria de functores , consistindo em todos os functores covariantes de para , é uma categoria de Grothendieck. Dada uma categoria pré-aditiva pequena e uma categoria de Grothendieck , a categoria de functores de todos os functores covariantes aditivos de para é uma categoria de Grothendieck. Se é uma categoria de Grothendieck e é uma subcategoria localizante de , então tanto quanto a categoria quociente de Serre são categorias de Grothendieck.

Propriedades e teoremas Toda categoria de Grothendieck contém um cogerador injetivo. Por exemplo, um cogerador injetivo da categoria de grupos abelianos é o grupo quociente .

Todo objeto em uma categoria de Grothendieck tem um envoltório injetivo em . Isso permite a construção de resoluções injetivas e, com isso, o uso das ferramentas da álgebra homológica em , a fim de definir functores derivados. (Note que nem todas as categorias de Grothendieck permitem resoluções projetivas para todos os objetos; exemplos incluem categorias de feixes de grupos abelianos em muitos espaços topológicos, como no espaço dos números reais.)

Em uma categoria de Grothendieck, qualquer família de subobjetos de um dado objeto possui um supremo (ou "soma") bem como um ínfimo (ou "interseção") , ambos sendo novamente subobjetos de . Além disso, se a família for direcionada (ou seja, para quaisquer dois objetos na família, existe um terceiro objeto na família que contém os dois), e for outro subobjeto de , teremosStenström, Prop. V.1.1

As categorias de Grothendieck são bem-potenciadas (às vezes chamadas de localmente pequenas, embora esse termo também seja usado para um conceito diferente), ou seja, a coleção de subobjetos de qualquer objeto dado forma um conjunto (em vez de uma classe própria).

É um resultado bastante profundo que toda categoria de Grothendieck seja completa,Stenström, Cor. X.4.4 ou seja, que limites arbitrários (e, em particular, produtos) existam em . Em contrapartida, segue-se diretamente da definição que é cocompleta, ou seja, que colimites arbitrários e coprodutos (somas diretas) existem em . Coprodutos em uma categoria de Grothendieck são exatos (ou seja, o coproduto de uma família de sequências exatas curtas é novamente uma sequência exata curta), mas os produtos não precisam ser exatos.

Um functor de uma categoria de Grothendieck para uma categoria arbitrária possui um adjunto à esquerda se e somente se ele comuta com todos os limites, e possui um adjunto à direita se e somente se ele comuta com todos os colimites. Isto segue do teorema especial do functor adjunto de Peter Freyd e do seu dual.

O teorema de Gabriel-Popescu afirma que qualquer categoria de Grothendieck é equivalente a uma subcategoria cheia da categoria de módulos à direita sobre algum anel unitário (que pode ser tomado como o anel de endomorfismos de um gerador de ), e pode ser obtida como um quociente de Gabriel de por alguma subcategoria localizante.

Como consequência do teorema de Gabriel-Popescu, pode-se mostrar que toda categoria de Grothendieck é localmente apresentável. Além disso, Gabriel-Popescu pode ser usado para ver que toda categoria de Grothendieck é completa, sendo uma subcategoria reflexiva da categoria completa para algum .

Toda categoria abeliana pequena pode ser mergulhada em uma categoria de Grothendieck da seguinte maneira. A categoria de functores aditivos (covariantes) exatos à esquerda (onde denota a categoria de grupos abelianos) é uma categoria de Grothendieck, e o functor , com , é pleno, fiel e exato. Um gerador de é dado pelo coproduto de todos os , com . A categoria é equivalente à categoria de ind-objetos de e o mergulho corresponde ao mergulho natural . Podemos, portanto, ver como o co-completamento de .

Tipos especiais de objetos e categorias de Grothendieck Um objeto em uma categoria de Grothendieck é chamado de finitamente gerado se, sempre que for escrito como a soma de uma família de subobjetos de , ele já for a soma de uma subfamília finita. (No caso de categorias de módulos, essa noção é equivalente à noção familiar de módulos finitamente gerados.) Imagens epimórficas de objetos finitamente gerados são novamente finitamente geradas. Se e tanto quanto forem finitamente gerados, então também será. O objeto é finitamente gerado se, e somente se, para qualquer sistema direcionado em no qual cada morfismo é um monomorfismo, o morfismo natural for um isomorfismo.Stenström, Prop. V.3.2 Uma categoria de Grothendieck não precisa conter nenhum objeto finitamente gerado não nulo.

Uma categoria de Grothendieck é chamada de localmente finitamente gerada se possuir um conjunto de geradores finitamente gerados (ou seja, se existir uma família de objetos finitamente gerados tal que para todo objeto exista e um morfismo não nulo ; de forma equivalente: é a imagem epimórfica de uma soma direta de cópias dos ). Em tal categoria, todo objeto é a soma de seus subobjetos finitamente gerados. Toda categoria é localmente finitamente gerada.

Um objeto em uma categoria de Grothendieck é chamado de finitamente apresentado se for finitamente gerado e se todo epimorfismo com domínio finitamente gerado tiver um núcleo finitamente gerado. Novamente, isso generaliza a noção de módulos finitamente apresentados. Se e tanto quanto forem finitamente apresentados, então também será. Em uma categoria de Grothendieck localmente finitamente gerada , os objetos finitamente apresentados podem ser caracterizados da seguinte forma:Stenström, Prop. V.3.4 em é finitamente apresentado se, e somente se, para todo sistema direcionado em , o morfismo natural for um isomorfismo.

Uma categoria de Grothendieck é localmente finitamente apresentada se possuir um conjunto de geradores finitamente apresentados, o que equivale a dizer que todo objeto é um limite direto de objetos finitamente apresentados.

Um objeto em uma categoria de Grothendieck é chamado de coerente se for finitamente apresentado e se cada um de seus subobjetos finitamente gerados também for finitamente apresentado. (Isso generaliza a noção de feixes coerentes sobre um espaço anelado.) A subcategoria cheia de todos os objetos coerentes em é abeliana e o functor de inclusão é exato.

Um objeto em uma categoria de Grothendieck é chamado de Noetheriano se o conjunto de seus subobjetos satisfizer a condição de cadeia ascendente, ou seja, se toda sequência de subobjetos de eventualmente se tornar estacionária. Este é o caso se, e somente se, todo subobjeto de for finitamente gerado. (No caso , essa noção é equivalente à noção familiar de módulos noetherianos.) Uma categoria de Grothendieck é chamada de localmente noetheriana se possuir um conjunto de geradores noetherianos; um exemplo é a categoria de módulos à esquerda sobre um anel noetheriano à esquerda.

Uma categoria de Grothendieck é chamada de espectral se toda sequência exata curta cinde. Para uma dada categoria de Grothendieck , pode-se definir uma categoria de Grothendieck espectral e um functor canônico . Os objetos de correspondem, a menos de isomorfismo, aos objetos injetivos de . O functor transforma todos os monomorfismos essenciais em isomorfismos e, assim, identifica cada objeto de com seu envoltório injetivo. Isso permite definir funções úteis semelhantes a dimensões em : para cada objeto injetivo indecomponível em e cada objeto em , o número cardinal mede, a grosso modo, quantos somandos diretos isomorfos a aparecem no envoltório injetivo de .

Referências

Bibliografia

Ligações externas Abelian Categories, notas de Daniel Murfet. A Seção 2.3 aborda categorias de Grothendieck.

Categoria:Teoria das categorias Categoria:Categorias aditivas Categoria:Álgebra homológica