Em matemática, uma série infinita de números tem uma convergência absoluta (ou é absolutamente convergente) quando a soma dos valores absolutos for finita. Mais precisamente, uma série real ou complexa diz-se que converge absolutamente se para algum número real Da mesma forma, uma integral imprópria de uma função, diz-se que converge absolutamente se a integral do valor absoluto do integrando for finita - isto é, se Uma série convergente que não é absolutamente convergente é chamada de condicionalmente convergente.
A convergência absoluta é importante para o estudo de séries infinitas, porque sua definição garante que uma série terá alguns comportamentos "bons" de somas finitas que nem todas as séries convergentes possuem. Por exemplo, rearranjos não alteram o valor da soma, o que não é necessariamente verdadeiro para séries condicionalmente convergentes.
Contexto Ao adicionar um número finito de termos, a adição é associativa e comutativa, o que significa que o agrupamento e o rearranjo não alteram a soma final. Por exemplo, é igual a ambos e . Entretanto, associatividade e comutatividade não são necessariamente válidas para somas infinitas. Um exemplo é a série harmônica alternada
cujos termos são frações que se alternam em sinal. Esta série é convergente e pode ser avaliada usando a série de Maclaurin para a função , que converge para todos satisfatório :
Substituindo revela que a soma original é igual a . A soma também pode ser reorganizada da seguinte forma:
Nesse rearranjo, o recíproco de cada número ímpar é agrupado com o recíproco do dobro do seu valor, enquanto os recíprocos de cada múltiplo de 4 são avaliados separadamente. No entanto, a avaliação dos termos dentro dos parênteses produz
ou metade da série original. A violação da associatividade e comutatividade da adição revela que a série harmônica alternada é condicionalmente convergente. Na verdade, a soma dos valores absolutos de cada termo é , ou a série harmônica divergente. De acordo com o teorema da série de Riemann, qualquer série condicionalmente convergente pode ser permutada de modo que sua soma seja qualquer número real finito ou de modo que ela diverge. Quando uma série absolutamente convergente é reorganizada, sua soma é sempre preservada.
Definição para números reais e complexos Uma soma de números reais ou números complexos é absolutamente convergente se a soma dos valores absolutos dos termos converge.
Somas de elementos mais gerais A mesma definição pode ser usada para séries cujos termos não são números, mas sim elementos de um grupo topológico abeliano arbitrário. Nesse caso, em vez de usar o valor absoluto, a definição exige que o grupo tenha uma norma, que é uma função real positiva em um grupo abeliano (escrito aditivamente, com elemento de identidade 0) tal que:
A norma do elemento de identidade de é zero: Para cada implica Para cada Para cada
Neste caso, a função induz a estrutura de um espaço métrico (um tipo de topologia ) em
Então, um série de valores é absolutamente convergente se
Em particular, estas afirmações aplicam-se usando a norma ( valor absoluto ) no espaço de números reais ou números complexos.
Em espaços vetoriais topológicos Se é um espaço vetorial topológico (SVT) e é uma família (possivelmente incontável ) em então esta família é absolutamente somável se
é somável em (isto é, se o limite da rede converge em onde é o conjunto direcionado de todos os subconjuntos finitos de direcionado pela inclusão e ), e para cada seminorma contínua sobre a família é somável em
Se é um espaço normável e se é uma família absolutamente somável em então necessariamente tudo, exceto uma coleção contável de são 0.
Famílias absolutamente somáveis desempenham um papel importante na teoria dos espaços nucleares .
Relação com a convergência Se é completo em relação à métrica então toda série absolutamente convergente é convergente. A prova é a mesma que para séries de valores complexos: use a completude para derivar o critério de Cauchy para convergência — uma série é convergente se e somente se suas caudas podem ser arbitrariamente pequenas na norma — e aplique a desigualdade triangular.
Em particular, para séries com valores em qualquer espaço de Banach, a convergência absoluta implica convergência. O inverso também é verdadeiro: se a convergência absoluta implica convergência em um espaço normado, então o espaço é um espaço de Banach.
Se uma série é convergente, mas não absolutamente convergente, ela é chamada condicionalmente convergente. Um exemplo de uma série condicionalmente convergente é a série harmônica alternada. Muitos testes padrão para divergência e convergência, incluindo principalmente o teste de razão e o teste de raiz, demonstram convergência absoluta. Isso ocorre porque uma série de potências é absolutamente convergente no interior de seu disco de convergência.
Prova de que qualquer série absolutamente convergente de números complexos é convergente Suponha que é convergente. Então, equivalentemente, é convergente, o que implica que e convergem por comparação termo a termo de termos não negativos. Basta mostrar que a convergência destas séries implica a convergência de e pois então, a convergência de seguiria, pela definição da convergência de séries de valores complexos.
A discussão anterior mostra que precisamos apenas provar que a convergência de implica a convergência de
Deixar ser convergente. Desde nós temos Desde é convergente, é uma sequência monotônica limitada de somas parciais, e também devem convergir. Observando que é a diferença de séries convergentes, concluímos que ela também é uma série convergente, como desejado.
Prova alternativa usando o critério de Cauchy e a desigualdade triangular Ao aplicar o critério de Cauchy para a convergência de uma série complexa, podemos também provar este fato como uma implicação simples da desigualdade triangular. Pelo critério de Cauchy, converge se e somente se para qualquer existe de modo que para qualquer Mas a desigualdade triangular implica que para que para qualquer que é exatamente o critério de Cauchy para
O resultado acima pode ser facilmente generalizado para todos os espaços de Banach Deixar seja uma série absolutamente convergente em Como é uma sequência de Cauchy de números reais, para qualquer e números naturais suficientemente grandes ele contém:
Pela desigualdade triangular para a norma , obtém-se imediatamente: o que significa que é uma sequência de Cauchy em portanto a série é convergente em (Theorem 1.3.9)
Rearranjos e convergência incondicional
Números reais e complexos Quando uma série de números reais ou complexos é absolutamente convergente, qualquer rearranjo ou reordenação dos termos dessa série ainda convergirá para o mesmo valor. Esse fato é uma das razões pelas quais séries absolutamente convergentes são úteis: mostrar que uma série é absolutamente convergente permite que os termos sejam pareados ou reorganizados de maneiras convenientes sem alterar o valor da soma.
O teorema de rearranjo de Riemann mostra que o inverso também é verdadeiro: toda série real ou de valor complexo cujos termos não podem ser reordenados para dar um valor diferente é absolutamente convergente.
Séries com coeficientes em espaço mais geral O termo convergência incondicional é usado para se referir a uma série em que qualquer rearranjo de seus termos ainda converge para o mesmo valor. Para qualquer série com valores em um grupo abeliano normalizado , desde que é completa, toda série que converge absolutamente também converge incondicionalmente.
Em termos mais formais:
Para séries com coeficientes mais gerais, o inverso é mais complicado. Conforme declarado na seção anterior, para séries de valores reais e complexos, a convergência incondicional sempre implica convergência absoluta. Entretanto, no caso mais geral de uma série com valores em qualquer grupo abeliano normalizado , o inverso nem sempre é válido: podem existir séries que não são absolutamente convergentes, mas incondicionalmente convergentes.
Por exemplo, no espaço de Banach ℓ ∞, uma série que é incondicionalmente convergente, mas não absolutamente convergente é:
onde é uma base ortonormal. Um teorema de A. Dvoretzky e C. UM. Rogers afirma que todo espaço de Banach de dimensão infinita tem uma série incondicionalmente convergente que não é absolutamente convergente.
Prova do teorema Para qualquer podemos escolher alguns de modo que:
Seja onde para que é o menor número natural tal que a lista inclui todos os termos (e possivelmente outros).
Finalmente para qualquer inteiro deixar para que e assim
Isso mostra que aquilo é:
Q.E.D
Produtos de série O produto de Cauchy de duas séries converge para o produto das somas se pelo menos uma das séries converge absolutamente. Ou seja, suponha que
O produto de Cauchy é definido como a soma dos termos onde:
Se a soma de ou convergir absolutamente, então
Convergência absoluta sobre conjuntos Uma generalização da convergência absoluta de uma série é a convergência absoluta de uma soma de uma função sobre um conjunto. Podemos primeiro considerar um conjunto contável e uma função Daremos abaixo uma definição da soma de sobre escrito como
Primeiramente, observe que, como não há nenhuma enumeração específica (ou "indexação") de ainda não foi especificado, a série não pode ser entendido pela definição mais básica de uma série. Na verdade, para certos exemplos de e a soma de sobre pode não ser definido de forma alguma, já que alguma indexação pode produzir uma série condicionalmente convergente.
Portanto, definimos somente no caso em que exista alguma bijeção de modo que é absolutamente convergente. Observe que aqui, "absolutamente convergente" usa a definição mais básica, aplicada a uma série indexada. Neste caso, o valor da soma de sobre é definido por
Observe que, como a série é absolutamente convergente, cada rearranjo é idêntico a uma escolha diferente de bijeção Como todas essas somas têm o mesmo valor, então a soma de sobre está bem definido.
De forma ainda mais geral, podemos definir a soma de sobre quando é incontável. Mas primeiro definimos o que significa que a soma seja convergente.
Deixar seja qualquer conjunto, contável ou incontável, e uma função. Dizemos que a soma de sobre converge absolutamente se
Existe um teorema que afirma que, se a soma de sobre é absolutamente convergente, então assume valores diferentes de zero em um conjunto que é, no máximo, contável. Portanto, a seguir está uma definição consistente da soma de sobre quando a soma é absolutamente convergente.
Observe que a série final usa a definição de uma série sobre um conjunto contável.
Alguns autores definem uma soma iterada ser absolutamente convergente se a série iterada Isto é de facto equivalente à convergência absoluta de Ou seja, se a soma de sobre converge absolutamente, conforme definido acima, então a soma iterada converge absolutamente, e vice-versa.
Convergência absoluta de integrais A integral de uma função real ou de valor complexo é considerada convergente absolutamente se Diz-se também que é absolutamente integrável. A questão da integralidade absoluta é intrincada e depende se a integral de Riemann, Lebesgue ou Kurzweil-Henstock (gauge) é considerada; para a integral de Riemann, também depende se consideramos apenas a integralidade em seu sentido próprio ( e ambos limitados), ou permitir o caso mais geral de integrais impróprios.